КМ 29. Монеты

Задача

Задача из журнала «Квант» №6 1970 г. стр. 28 В.И.Арнольд

[latex]n[/latex] одинаковых монет лежат на столе, образую замкнутую цепочку. Сколько оборотов сделает монета [latex]M[/latex] такого же размера за то время, пока она один раз обкатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке (монета [latex]M[/latex] =2 коп.)?
Как изменится ответ, если монета [latex]M[/latex] будет иметь радиус, отличающийся в [latex]k[/latex] раз от радиуса каждой из монет в цепочке?

Условие
Представлю вам предложенное для данной задачи изображение из самого журнала.

Тесты

Входные данные Выходные данные
 № [latex]n[/latex] [latex]k[/latex]  Количество оборотов
 1  3  1  3
 2  12  1  6
 3  182  1  62.667
4  12  2.22 3.19998
 5  145  2.28101  22
 6  8  0.53884  8

 

Код.

 

Решение.

Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. За то время, пока монета радиуса [latex]k[/latex] прокатится по дуге [latex]\alpha[/latex] неподвижной окружности радиуса 1, она повернется на угол [latex]\alpha(1+1/k)[/latex] следовательно весь угол на который повернётся монета, равен [latex]\alpha+\alpha/k[/latex](в частности, при [latex]k[/latex]=1 этот угол равен 2[latex]\alpha[/latex]).
Теперь найдем сумму дуг,состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета [latex]M[/latex] касалась при качении по цепочке. Если принять центры монет цепочки за точки [latex]O_1[/latex], [latex]O_2[/latex], … , [latex]O_n[/latex], то сумма дуг, лежащих внутри многоугольника [latex]O_1[/latex][latex]O_2[/latex]…[latex]O_n[/latex], равна сумме его внутренних углов, то есть [latex]\pi(n-2)[/latex]. Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна [latex]\pi(n+2)[/latex].Из неё нужно вычесть ещё сумму дуг лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые [latex]M[/latex] не попадает. В каждом из [latex]n[/latex] углублений сумма двух таких дуг равна [latex]2\pi/3[/latex] при [latex]k[/latex]=1 и [latex]2arccos\frac{1}{k+1}[/latex] в общем случае. Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета [latex]M[/latex], равна [latex]\pi(n+2)-2\pi n/3[/latex] (в общем случае [latex]\pi(n+2)-2n\arccos\frac{1}{k+1}[/latex]. Чтобы узнать искомое число оборотов, нужно умножить эту велечину на [latex]2[/latex]( в общем случае на [latex]1+1/k[/latex]) и разделить на 2[latex]\pi[/latex].
А значит ответ ([latex]\frac{n}{3}+2[/latex]) оборота при k=1, и [latex]\frac{k+1}{2k}(n-\frac{2}{\pi}n \arccos\frac{1}{k+1}+2)[/latex] оборота в общем случае.

Ссылка на решение:Ideone

Герман Веранян
Герман Веранян

Latest posts by Герман Веранян (see all)

5 thoughts on “КМ 29. Монеты

  1. — Не нужно так по-дизайнерски выделять слово «Задача» — это не название кинофильма.
    — Почувствуйте разницу [latex]narccosx[/latex] и [latex]n\arccos x.[/latex]
    — Сделайте, пожалуйста, правильные отступы в программе.
    — Вы забыли указать метки (ключевые слова).
    — Не следует делать видимым текст URL. Вряд ли пользователю интересно, что идентификатор программы именно mI2aOt.
    — Арнольд не придумал название для этой задачи. Исправьте это досадное упущение великого одессита.

  2. Очень хорошо. Молодец. Теперь поговорим не о таких важных вещах.
    — Маленький новогодний квест — найдите не исправленный арккосинус.
    — Никакой условный оператор в этой задаче не нужен. Прочтите внимательно решение.
    — Я полагал, что основная сложность в этой задаче будет состоять в изготовлении многочисленных рисунков. Целых 6 штук. Три из них можно было изготовить просто сфотографировав монетки. Три оставшиеся являются чертежами и их нужно изготовить в формате SVG. Вы сильно сократили текст пояснения и убрали рисунки. Давайте я сделаю для Вас заготовки фотографий с монетами (чтобы не вмешивать деньги в учебный процесс), а дальше Вы уже как-то сами:

Добавить комментарий