e-olymp 1210. Очень просто!!!

04/12/2017 by Вадим Гордийчук

Задача

По заданным числам [latex]n[/latex] и [latex]a[/latex] вычислить значение суммы: [latex]\sum\limits_{i=1}^{n} {i \cdot a^i}[/latex]

Входные данные

Два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]a[/latex].

Выходные данные

Значение суммы. Известно, что оно не больше [latex]10^{18}[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 3	102
4 4	1252
9 3	250959
7 14	785923166
1009 1	509545

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    unsigned long long int n, a, answer;
    cin >> n >> a;
    if (a > 1)
    {
        answer = n*a;
        for(unsigned long long int i = n-1; i > 0; --i)
            answer = (answer+i)*a;
    }
    else
        answer = n*(n+1)/2;
    cout << answer;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

unsigned long long int n, a, answer;

cin >> n >> a;

if (a > 1)

{

answer = n*a;

for(unsigned long long int i = n-1; i > 0; --i)

answer = (answer+i)*a;

}

else

answer = n*(n+1)/2;

cout << answer;

return 0;

}

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

public class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long n = in.nextInt(), a = in.nextInt(), ans;
        if (a > 1)
        {
            ans = n*a;
            for(long i = n-1; i > 0; --i)
                ans = (ans+i)*a;
        }
        else
            ans = n*(n+1)/2;
        System.out.println(ans);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

public class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

long n = in.nextInt(), a = in.nextInt(), ans;

if (a > 1)

{

ans = n*a;

for(long i = n-1; i > 0; --i)

ans = (ans+i)*a;

}

else

ans = n*(n+1)/2;

System.out.println(ans);

}

Решение задачи

Данную задачу можно решить прямым линейным вычислением значений элементов заданного ряда, то есть получать значение элемента ряда с индексом [latex]i[/latex] умножением [latex]a[/latex] (которое необходимо возвести в степень [latex]i[/latex]) на индекс [latex]i[/latex] и накапливать сумму этих значений в выделенной переменной.
Но безусловно такое решение не является качественным (даже если будет использован алгоритм бинарного возведения в степень).

Для получения качественного решения распишем ряд подробно:
[latex]A[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\sum\limits_{i=1}^{n} {i \cdot a^i}[/latex] [latex]=[/latex] [latex]a+2a^2+3a^3+\ldots+\left( n-1 \right) a^{n-1}+na^{n}[/latex] [latex]=[/latex] [latex]na^{n}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]\left( n-1 \right)a^{n-1}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]\ldots[/latex] [latex]+[/latex] [latex]3a^{3}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]2a^2[/latex] [latex]+[/latex] [latex]a[/latex].
Очевидно, что из полученного выражения можно вынести [latex]a[/latex] за скобки. Применим данную операцию:
[latex]A[/latex] [latex]=[/latex] [latex] \left( na^{n-1}+\left( n-1 \right)a^{n-2}+\ldots+3a^{2}+2a+1\right) \cdot a[/latex] Из полученной формулы видно, что аналогичное действие можно применить вновь, для внутреннего выражения [latex]na^{n-1}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]\left( n-1 \right)a^{n-2}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]\ldots[/latex] [latex]+[/latex] [latex]3a^{2}[/latex] [latex]+[/latex] [latex]2a[/latex]. Получим:
[latex]A[/latex] [latex]=[/latex] [latex] \left( \left( na^{n-2}+\left( n-1 \right)a^{n-3}+\ldots+3a+2 \right) \cdot a +1 \right) \cdot a[/latex].
После конечного количества вынесений за скобки, получим:
[latex]A[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\left( \left( \ldots \left( \left(na+\left(n-1\right)\right) \cdot a + \left(n-2\right) \right) \ldots+2\right) \cdot a +1\right) \cdot a[/latex].

Таким образом, решение данной задачи сводится к вычислению суммы «изнутри» скобок.

Но из-за того, что в условии подано ограничение только на сумму, программа с реализованным вычислением суммы изнутри и асимптотикой [latex]O \left( n \right)[/latex] не пройдёт все тесты системы www.e-olymp.com в силу частного случая [latex]a = 1[/latex], так как значение [latex]n[/latex] может быть для него достаточно большим, ибо числа [latex]a[/latex] и [latex]n[/latex] компенсируют друг-друга по отношению к максимальному значению суммы. Но в случае [latex]a = 1[/latex] сумма данного ряда является суммой арифметической прогрессии, а именно — натурального ряда. Для вычисления этой суммы существует формула [latex]\sum\limits_{i=1}^{n} {i} = \frac{n \left( n+1 \right)}{2}[/latex]. Этот частный случай легко отсеять.

Асимптотика программы: [latex]const[/latex] при [latex]a = 1[/latex], и [latex]O \left( n \right)[/latex] иначе.

Ссылки

Related Images:

e-olymp 4496. Приключение Незнайки и его друзей

09/05/2017 by Эммануил Прокопов

Задача с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

Все мы помним историю о том, как Незнайка со своими друзьями летали на воздушном шаре путешествовать. Но не все знают, что не все человечки влезли в шар, так как у него была ограниченная грузоподъемность.

В этой задаче Вам необходимо узнать, сколько же человечков улетело путешествовать. Известно, что посадка в шар не является оптимальной, а именно: человечки садятся в шар в той очереди, в которой они стоят, как только кому-то из них не хватает места, он и все оставшиеся в очереди разворачиваются и уходят домой.

Входные данные

В первой строке содержится количество человечков [latex]n (1 ≤ n ≤ { 10 }^{ 6 })[/latex] в цветочном городе. Во второй строке заданы веса каждого из человечков в том порядке, в котором они будут садиться в шар. Все веса натуральные числа и не превышают [latex]{ 10 }^{ 9 }[/latex]. Далее следует количество запросов [latex]m (1 ≤ m ≤ { 10 }^{ 5 })[/latex]. Каждый запрос представляет собой одну строку. Если первое число в строке равно единице, то далее следует еще одно число [latex]v (1 ≤ v ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] – грузоподъемность воздушного шара. Если же оно равно двум, то далее следует два числа [latex]x (1 ≤ x ≤ n)[/latex] и [latex]y (1 ≤ y ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] — это значит, что вес человечка, стоящего на позиции [latex]x[/latex], теперь равен [latex]y[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса с номером один выведите в отдельной строке количество человечков, поместившихся в шар.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 1 2 3 4 5 5 1 7 1 3 2 1 5 1 7 1 3	3 2 2 0
2	2 1 2 3 1 4 2 1 10 1 4	2 0
3	2 999999999 1000000000 4 1 999999999 2 1 1000000000 1 999999999 1 1000000000	1 0 1

Код на C++

#include <iostream>
using namespace std;

//Дерево отрезков.
struct segment_tree{
    long *tree;
    
    //Конструктор.
    segment_tree(int length){
        tree = new long[4*length+1];
    }
    
    //Построение дерева отрезков по массиву a.
    void build(int *a, int v, int tree_l, int tree_r){
        if(tree_l == tree_r) tree[v] = a[tree_l];
        else{
            int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
            build(a, v*2, tree_l, tree_m);
            build(a, v*2+1, tree_m+1, tree_r);
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Присваивание человечку на позиции pos веса new_val.
    void update(int v, int tree_l, int tree_r, int pos, int new_val){
        if(tree_l == tree_r) tree[v] = new_val;
        else{
            int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
            if(pos <= tree_m){
                update(v*2, tree_l, tree_m, pos, new_val);
            }
            else{
                update(v*2+1, tree_m+1, tree_r, pos, new_val);
            }
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Нахождение количества поместившихся человечков.
    int find_numb_of_p(int v, int tree_l, int tree_r, int max_w){
        if(tree_l == tree_r) return tree[v] <= max_w;
        int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
        if(tree[v*2] > max_w)
            return find_numb_of_p(v*2, tree_l, tree_m, max_w);
        else
            return tree_m - tree_l + 1 + find_numb_of_p(v*2+1, tree_m+1, tree_r, max_w-tree[v*2]);
    }
};
 
int main() {
    int n, m, *weights;
    cin >> n;
    //Заполнение массива весов человечков.
    weights = new int[n+1];
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        cin >> weights[i];
    }
    //Построение дерева отрезков.
    segment_tree tr(n);
    tr.build(weights, 1, 1, n);
    //Обработка запросов.
    cin >> m;
    int type, x, y, v;
    for(int i = 0; i < m; ++i){
        cin >> type;
        if(type == 2){
            cin >> x >> y;
            tr.update(1, 1, n, x, y);
        }
        else{
            cin >> v;
            cout << tr.find_numb_of_p(1, 1, n, v) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

//Дерево отрезков.

struct segment_tree{

long *tree;

//Конструктор.

segment_tree(int length){

tree = new long[4*length+1];

}

//Построение дерева отрезков по массиву a.

void build(int *a, int v, int tree_l, int tree_r){

if(tree_l == tree_r) tree[v] = a[tree_l];

else{

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

build(a, v*2, tree_l, tree_m);

build(a, v*2+1, tree_m+1, tree_r);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Присваивание человечку на позиции pos веса new_val.

void update(int v, int tree_l, int tree_r, int pos, int new_val){

if(tree_l == tree_r) tree[v] = new_val;

else{

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

if(pos <= tree_m){

update(v*2, tree_l, tree_m, pos, new_val);

}

else{

update(v*2+1, tree_m+1, tree_r, pos, new_val);

}

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Нахождение количества поместившихся человечков.

int find_numb_of_p(int v, int tree_l, int tree_r, int max_w){

if(tree_l == tree_r) return tree[v] <= max_w;

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

if(tree[v*2] > max_w)

return find_numb_of_p(v*2, tree_l, tree_m, max_w);

else

return tree_m - tree_l + 1 + find_numb_of_p(v*2+1, tree_m+1, tree_r, max_w-tree[v*2]);

}

};

int main() {

int n, m, *weights;

cin >> n;

//Заполнение массива весов человечков.

weights = new int[n+1];

for(int i = 1; i <= n; ++i){

cin >> weights[i];

}

//Построение дерева отрезков.

segment_tree tr(n);

tr.build(weights, 1, 1, n);

//Обработка запросов.

cin >> m;

int type, x, y, v;

for(int i = 0; i < m; ++i){

cin >> type;

if(type == 2){

cin >> x >> y;

tr.update(1, 1, n, x, y);

}

else{

cin >> v;

cout << tr.find_numb_of_p(1, 1, n, v) << '\n';

}

return 0;

}

Код на Java

import java.util.*;
import java.io.*;
//Для решения задачи требуется читать целые числа быстрее, чем это можно делать при помощи Scanner.
class FastIntReader extends BufferedReader
{
    int cur, res;
    
    FastIntReader(InputStream s){super(new InputStreamReader(s));}
    
    int getNextInt() throws IOException
    {
        cur = read();
        res = 0;
        while(cur!=32 && cur!=-1 && cur != '\n'){
            res*=10;
            res += (int)(cur-'0');
            cur = read();
        }
        return res;
    }
}
//Дерево отрезков.
class SegmentTree
{
    static long []tree;
    //Конструктор.
    SegmentTree(int length){tree = new long[4*length+1];}
    
    void build(int v, int treeL, int treeR, FastIntReader in) throws IOException
    {
        
        if(treeL == treeR) tree[v] = in.getNextInt();
        else{
            int treeM = (treeL + treeR)/2;
            build(v*2, treeL, treeM, in);
            build(v*2+1, treeM+1, treeR, in);
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Присваивание человечку на позиции pos веса newVal.
    void update(int v, int treeL, int treeR, int pos, int newVal)
    {
        if(treeL == treeR) tree[v] = newVal;
        else{
            int treeM = (treeL + treeR)/2;
            if(pos <= treeM){
                update(v*2, treeL, treeM, pos, newVal);
            }
            else{
                update(v*2+1, treeM+1, treeR, pos, newVal);
            }
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Нахождение количества поместившихся человечков.
    int findNumberOfPeople(int v, int treeL, int treeR, long max_w)
    {
        if(treeL == treeR){
            if(tree[v] <= max_w) return 1;
            else return 0;
        }
        int treeM = (treeL + treeR)/2;
        if(tree[v*2] > max_w)
            return findNumberOfPeople(v*2, treeL, treeM, max_w);
        else
            return treeM - treeL + 1 + findNumberOfPeople(v*2+1, treeM+1, treeR, max_w-tree[v*2]);
    }
}

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        FastIntReader in = new FastIntReader(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        //Построение дерева отрезков.
        int n, m;
        n = in.getNextInt();
        SegmentTree tr = new SegmentTree(n);
        tr.build(1, 1, n, in);
        //Обработка запросов.
        m = in.getNextInt();
        int type, x, y, v;
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            type = in.getNextInt();
            if(type == 2){
                x = in.getNextInt();
                y = in.getNextInt();
                tr.update(1, 1, n, x, y);
            }
            else{
                v = in.getNextInt();
                out.print(tr.findNumberOfPeople(1, 1, n, v));
                out.print('\n');
            }
        }
        out.flush();
    }
}

100

101

import java.util.*;

import java.io.*;

//Для решения задачи требуется читать целые числа быстрее, чем это можно делать при помощи Scanner.

class FastIntReader extends BufferedReader

{

int cur, res;

FastIntReader(InputStream s){super(new InputStreamReader(s));}

int getNextInt() throws IOException

{

cur = read();

res = 0;

while(cur!=32 && cur!=-1 && cur != '\n'){

res*=10;

res += (int)(cur-'0');

cur = read();

}

return res;

}

//Дерево отрезков.

class SegmentTree

{

static long []tree;

//Конструктор.

SegmentTree(int length){tree = new long[4*length+1];}

void build(int v, int treeL, int treeR, FastIntReader in) throws IOException

{

if(treeL == treeR) tree[v] = in.getNextInt();

else{

int treeM = (treeL + treeR)/2;

build(v*2, treeL, treeM, in);

build(v*2+1, treeM+1, treeR, in);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Присваивание человечку на позиции pos веса newVal.

void update(int v, int treeL, int treeR, int pos, int newVal)

{

if(treeL == treeR) tree[v] = newVal;

else{

int treeM = (treeL + treeR)/2;

if(pos <= treeM){

update(v*2, treeL, treeM, pos, newVal);

}

else{

update(v*2+1, treeM+1, treeR, pos, newVal);

}

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Нахождение количества поместившихся человечков.

int findNumberOfPeople(int v, int treeL, int treeR, long max_w)

{

if(treeL == treeR){

if(tree[v] <= max_w) return 1;

else return 0;

}

int treeM = (treeL + treeR)/2;

if(tree[v*2] > max_w)

return findNumberOfPeople(v*2, treeL, treeM, max_w);

else

return treeM - treeL + 1 + findNumberOfPeople(v*2+1, treeM+1, treeR, max_w-tree[v*2]);

}

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

FastIntReader in = new FastIntReader(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

//Построение дерева отрезков.

int n, m;

n = in.getNextInt();

SegmentTree tr = new SegmentTree(n);

tr.build(1, 1, n, in);

//Обработка запросов.

m = in.getNextInt();

int type, x, y, v;

for(int i = 0; i < m; ++i){

type = in.getNextInt();

if(type == 2){

x = in.getNextInt();

y = in.getNextInt();

tr.update(1, 1, n, x, y);

}

else{

v = in.getNextInt();

out.print(tr.findNumberOfPeople(1, 1, n, v));

out.print('\n');

}

out.flush();

}

Описание

В данной задаче требуется эффективно выполнять две операции: изменять значение одного из элементов массива и находить, сколько человечков поместится в шар при заданной грузоподъёмности. Это было реализовано при помощи структуры segment_tree. В функции main сначала вводится значение n и заполняется массив весов человечков weights, после чего по нему выполняется построение дерева отрезков tr. В его вершинах хранятся частичные суммы элементов массива. Да и в целом функции для построения и выполнения запроса модификации у него такие же, как и у обычного дерева отрезков для нахождения суммы на отрезке. Для удобства в массиве weights и в самом дереве используются элементы с первого по [latex]n[/latex]-й, а не с нулевого по [latex]\left( n-1 \right) [/latex]-й. Далее в ходе работы функции main в цикле выполняется обработка запросов. Сначала вводится тип запроса type. Если запрос второго типа, вводятся позиция человечка x, его новый вес y и вызывается метод update, пересчитывающий значения суммы в вершинах, на которые влияет это изменение. Иначе вводится грузоподъемность воздушного шара v и вызывается метод find_numb_of_p, который находит количество человечков, поместившихся в шар. Работает он следующим образом: если выполняется условие tree_l == tree_r, значит, рассматриваемый отрезок состоит из одного элемента, и функция возвращает [latex]1[/latex], если человечек может поместиться в шар, и [latex]0[/latex], если он слишком тяжёлый. Если отрезок больше, вычисляется индекс элемента, находящегося посередине tree_m. Далее, если сумма весов человечков в левом поддереве tree[v*2] больше, чем грузоподъёмность шара, то никто из правого поддерева уже не поместится, и искать следует только в левом поддереве. Иначе в шар следует посадить всех человечков из левого поддерева (их количество равно tree_m - tree_l + 1) и посмотреть, сколько поместится человечков из правого поддерева. При этом необходимо от максимально допустимого веса отнять вес человечков из левого поддерева, уже сидящих в шаре ( max_w-tree[v*2]).

Код на ideone.com. (C++)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (C++)
Код на ideone.com. (Java)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (Java)
При решении задачи был использован материал с сайта e-maxx.ru.

Related Images:

e-olymp 3358. Чёрный ящик

05/05/2017 by Вадим Гордийчук

Задача

В черный ящик кладутся листки с написанными на них числами. На каждом листке — ровно одно целое число. Иногда некоторые листки исчезают из ящика. После каждого события (когда в ящик положили листок, или когда из ящика исчез листок), нужно вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в данный момент в ящике. Если таких чисел несколько, выведите наименьшее.

Входные данные

Первая строка содержит количество событий [latex]n[/latex] [latex]\left(1 \le n \le 2 \times 10^{5} \right)[/latex]. Каждая из следующих n строк содержит описание одного события:

[latex]+ x[/latex] — положен листок с числом [latex]x[/latex] [latex]\left(1 \le x \le 10^{6} \right)[/latex];
[latex]- x[/latex] — исчез листок с числом [latex]x[/latex] (гарантируется, что в ящике был хотя бы один листок с числом [latex]x[/latex]).

Выходные данные

Вывести в точности [latex]n[/latex] строк — по одной для каждого события. Каждая строка должна содержать одно число — ответ к задаче. Если после какого-то события ящик оказался пуст, следует вывести [latex]0[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 + 1 — 1 + 2	1 0 2
6 + 1 + 1000000 — 1 + 4 + 4 — 1000000	1 1 1000000 4 4 4
8 + 71 + 91 + 99 + 71 — 71 — 91 — 71 — 99	71 71 71 71 71 71 99 0

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree
{
    TYPE *SegmentTree;
    POINTER_TYPE base_capacity = 0;
    TYPE (*g)(TYPE, TYPE);
    TYPE neutral;
 
    TYPE result_on_segment_in
    (
        POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,
        POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,
        POINTER_TYPE r
    )
    {
        if (l > r) return neutral;
        else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];
        else
        {
            POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;
            return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),
            result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));
        }
    }
 
    void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)
    {
        g = f;
        neutral = neutr;
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)
        {
            NewTree[i] = neutral;
        }
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)
        {
            NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);
        }
        SegmentTree = NewTree;
    }
 
    void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)
    {
        for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);
    }
 
    public:
    void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(const POINTER_TYPE&), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        fix_capacity(amount_of_elements);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function(i);
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);
    }
 
    void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)
    {
        SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;
        for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)
        {
            SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);
        }
    }
 
    TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)
    {
        return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);
    }
};

struct leaf
{
    unsigned int number, amount;
    leaf()
    {
        number = 2000000;
        amount = 0;
    }

    leaf(unsigned int a)
    {
        number = a, amount = 0;
    }
};

leaf max_leafs(leaf a, leaf b)
{
    return
    (a.amount == b.amount) ?
        (a.number < b.number) ? a : b
    :
        (a.amount > b.amount) ? a : b;
}

leaf constructor(const unsigned int &i)
{
    return leaf(i);
}

int main()
{
    segment_tree <unsigned int, leaf> box;
    box.read_and_construct(1000001, constructor, max_leafs, leaf());

    unsigned int n, index;
    char operation;
    leaf tmp;

    scanf("%u\n", &n); ++n;
    while (--n)
    {
        scanf("%c %u\n", &operation, &index);
        tmp = box.result_on_segment(index, index);
        if (operation == '+') ++tmp.amount;
        else --tmp.amount;
        box.assign(index, tmp);
        printf("%u\n", (box.result_on_segment(0, 1000000)).number);
    }
    return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

#include <iostream>

using namespace std;

template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree

{

TYPE *SegmentTree;

POINTER_TYPE base_capacity = 0;

TYPE (*g)(TYPE, TYPE);

TYPE neutral;

TYPE result_on_segment_in

(

POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,

POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,

POINTER_TYPE r

)

{

if (l > r) return neutral;

else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];

else

{

POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;

return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),

result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));

}

void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)

{

g = f;

neutral = neutr;

for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)

{

NewTree[i] = neutral;

}

for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)

{

NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);

}

SegmentTree = NewTree;

}

void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)

{

for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);

}

public:

void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(const POINTER_TYPE&), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

fix_capacity(amount_of_elements);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function(i);

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);

}

void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)

{

SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;

for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)

{

SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);

}

TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)

{

return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);

}

};

struct leaf

{

unsigned int number, amount;

leaf()

{

number = 2000000;

amount = 0;

}

leaf(unsigned int a)

{

number = a, amount = 0;

}

};

leaf max_leafs(leaf a, leaf b)

{

return

(a.amount == b.amount) ?

(a.number < b.number) ? a : b

(a.amount > b.amount) ? a : b;

}

leaf constructor(const unsigned int &i)

{

return leaf(i);

}

int main()

{

segment_tree <unsigned int, leaf> box;

box.read_and_construct(1000001, constructor, max_leafs, leaf());

unsigned int n, index;

char operation;

leaf tmp;

scanf("%u\n", &n); ++n;

while (--n)

{

scanf("%c %u\n", &operation, &index);

tmp = box.result_on_segment(index, index);

if (operation == '+') ++tmp.amount;

else --tmp.amount;

box.assign(index, tmp);

printf("%u\n", (box.result_on_segment(0, 1000000)).number);

}

return 0;

}

Решение задачи

Проанализируем задачу: так как требуется вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в ящике после запроса удаления/добавления, а если таких чисел несколько, то вывести наименьшее, то задачу можно переформулировать следующим образом:

«Даётся последовательность (массив) объектов leaf [latex]x_{1}[/latex], [latex]x_{2}[/latex], [latex]x_{3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{999999}[/latex], [latex]x_{1000000}[/latex], представляющих из себя пару (number, amount)[latex]=x_{i}=\left(i, a_{i}\right) \in {\mathbb{N}_{0}}^{2}[/latex], где первые элементы пар [latex]i[/latex] представляет из себя число/номер листка, а вторые элементы [latex]a_{i}[/latex] — число листков с этим номером. Изначально все элементы пар [latex]a_{i}[/latex] равны нулю (так как изначально ящик пуст). Для запросов первого типа [latex]+ x[/latex] необходимо увеличивать на единицу число [latex]a_{i}[/latex] объекта, у которого номер [latex]i[/latex] равен [latex]x[/latex], а для запросов второго типа — уменьшать. Для каждого запроса необходимо вывести число [latex]j[/latex], удовлетворяющее условию [latex]j = \min\limits_{i \in \mathbb{K}}{i}[/latex], где [latex]\mathbb{K} = \{i \mid a_{i} = \max\limits_{k \in \{1, 2, \ldots, 1000000\}}{a_{k}} \}[/latex]».

Иными словами, число [latex]i[/latex] соответствует некоторому элементу [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex], который в свою очередь определяется операцией такой, что [latex]i[/latex] и [latex]a_{i}[/latex] удовлетворяют приведённым выше условиям. Очевидно, что данная операция является ассоциативной (как объединение минимума и максимума на заданных множествах), а потому для решения задачи воспользуемся универсальным деревом отрезков.

Создадим дерево отрезков box методом read_and_construct из объектов leaf. Так как нумерация листков начинается с единицы, а их число не превышает [latex]10^{6}[/latex], зададим размер базы дерева отрезков [latex]10^{6}+1[/latex], добавив неё элемент с индексом [latex]0[/latex]. Модифицируем метод read_and_construct таким образом, чтобы в функцию-препроцессор передавался номер элемента [latex]i[/latex], дабы была возможность задавать элементам [latex]x_{i}[/latex] их первоначальные значения [latex]\left(i, 0\right)[/latex]. Вышеупомянутую операцию назовём max_leafs и определим таким образом, чтобы она принимала два аргумента [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex] и [latex]x_{j} = \left(j, a_{j}\right)[/latex] и возвращала тот из них, у которого значение [latex]a[/latex] является большим, а в случае равенства этих значений — аргумент с меньшим индексом. Нейтральным элементом относительно данной операции будет, очевидно, пара [latex]\left(+\infty, 0\right)[/latex], но в силу того, что номера элементов не превышают [latex]10^6[/latex], вместо неё мы будем пользоваться парой [latex]\left(2 \times 10^{6}, 0\right)[/latex].

Далее при запросах вида [latex]+ x[/latex] будем увеличивать соответствующее значение [latex]a_{x}[/latex] пары [latex]\left(x, a_{x}\right)[/latex] на единицу, а при запросах вида [latex]- x[/latex] — уменьшать. Для обоих запросов будем выводить номер заданного листка, который удовлетворяет приведённым в задаче условиям, с использованием метода result_on_segment на всём отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex]. Ответом для каждого запроса будет значение number пары, которую вернёт метод.

Примечание: ситуация когда ящик становится пустым нигде не обрабатывается, но в силу того, что мы определили массив на отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex] вместо [latex]\left[1, 10^{6}\right][/latex] в нём всегда есть пара [latex]\left(0, 0\right)[/latex] (листки с номером [latex]0[/latex], число (значение [latex]b[/latex]) которых всегда равно [latex]0[/latex] в силу того, что листки с номером [latex]0[/latex] в ящик не добавляются). Так как определённая нами операция всегда возвращает минимальный номер листка, число которого максимально, то в случае, когда ящик пуст (т.е. значения всех [latex]a_{i} = 0, i = 0, 1, \ldots, 10^{6}[/latex]) будет выводится номер листка [latex]0[/latex]. Этот побочный эффект данного нами определения массива решает эту ситуацию и завершает решение задачи.

Ссылки

Related Images:

MS2. Сумма чисел во входном потоке

23/04/2017 by Роман Саркисян

Условие

Сосчитайте сумму чисел во входном потоке.

Тесты

Ввод	Вывод
1 2 3 4 5 6	21
12 13 14	39
1-100	5050

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    double x, S=0;
    while( cin>>x){
        S+=x;
    }
    cout<<S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double x, S=0;

while( cin>>x){

S+=x;

}

cout<<S;

return 0;

}

import java.util.*;
import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
import java.util.Scanner;
class Ideone
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        double sum = 0;
        double number = 0;
        while(scan.hasNext()){
            number=scan.nextInt();
            sum+=number;
        }
        System.out.println(sum);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

import java.util.Scanner;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception {

Scanner scan = new Scanner(System.in);

double sum = 0;

double number = 0;

while(scan.hasNext()){

number=scan.nextInt();

sum+=number;

}

System.out.println(sum);

}

Решение

Делаем цикл который будет работать, пока не закончиться входной поток, и считаем нашу сумму, затем печатаем ее.

Код на ideone C++
Код на ideone Java

Related Images:

Просто RSQ

15/04/2017 by Вадим Гордийчук

Задача RSQ (Range Sum Query). Вам дан массив, необходимо отвечать на запросы получения суммы на отрезке и изменение одного элемента массива.

Ссылка на задачу на codeforces.com.

Имя входного файла: rsq.in
Имя выходного файла: rsq.out
Ограничение по памяти: 2 секунды
Ограничение по времени: 256 мегабайт

Формат входного файла

Входной файл в первой строке содержит два числа [latex]n[/latex] [latex]\left(1 \le n \le 10^{5} \right)[/latex] — размер массива и [latex]m[/latex] [latex]\left(1 \le m \le 10^{5} \right)[/latex] — количество запросов. Во второй строке задано начальное состояние массива [latex]a_{1}[/latex], [latex]a_{2}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]a_{n}[/latex] [latex]\left( -10^{5} \le a_{i} \le 10^{5} \right)[/latex].

Далее идёт [latex]m[/latex] строк с запросами вида [latex]t[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex] [latex]\left( 0 \le t \le 1 \right)[/latex]. Если [latex]t = 0[/latex], тогда на запрос нужно вывести сумму элементов массива с индексами от [latex]x[/latex] до [latex]y[/latex] (в данном случае [latex]1 \le x \le y \le n[/latex]). Если [latex]t = 1[/latex], тогда надо присвоить элементу массива с индексом [latex]x[/latex] значение [latex]y[/latex] (в этом случае [latex]1 \le x \le n[/latex], [latex]-10^{5} \le y \le 10^{5}[/latex]).

Формат выходного файла

На каждый запрос суммы отрезка выведите одно число в новой строке — запрашиваемая сумма.

Примеры

rsq.in	rsq.out
5 3 1 2 3 4 5 0 1 5 1 1 -14 0 1 5	15 0
8 2 7 3 -10 4 1 2 5 6 0 2 4 0 5 7	-3 8

Код программы

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

int main()
{
    ifstream cin("rsq.in");
    ofstream cout("rsq.out");
    ios::sync_with_stdio(false);
    unsigned int n, m, i;
    long long sum = 0, sum_k;
    int *a, x, y;
    bool t;
    cin >> n >> m; n++;
    a = new int[n];
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    const unsigned int ndiv2 = n/2;
    while (m--)
    {
        cin >> t >> x;
        if (t)
        {
            sum -= a[x];
            cin >> a[x];
            sum += a[x];
        }
        else
        {
            cin >> y;
            y++;
            if (y - x > ndiv2)
            {
                sum_k = sum;
                for (i = 1; i < x; i++)
                {
                    sum_k -= a[i];
                }
                for (i = y; i < n; i++)
                {
                    sum_k -= a[i];
                }
            }
            else
            {
                sum_k = 0;
                for (; x < y; x++)
                {
                    sum_k += a[x];
                }
            }
            cout << sum_k << endl;
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <fstream>

using namespace std;

int main()

{

ifstream cin("rsq.in");

ofstream cout("rsq.out");

ios::sync_with_stdio(false);

unsigned int n, m, i;

long long sum = 0, sum_k;

int *a, x, y;

bool t;

cin >> n >> m; n++;

a = new int[n];

for (i = 1; i < n; i++)

{

cin >> a[i];

sum += a[i];

}

const unsigned int ndiv2 = n/2;

while (m--)

{

cin >> t >> x;

if (t)

{

sum -= a[x];

cin >> a[x];

sum += a[x];

}

else

{

cin >> y;

y++;

if (y - x > ndiv2)

{

sum_k = sum;

for (i = 1; i < x; i++)

{

sum_k -= a[i];

}

for (i = y; i < n; i++)

{

sum_k -= a[i];

}

else

{

sum_k = 0;

for (; x < y; x++)

{

sum_k += a[x];

}

cout << sum_k << endl;

}

return 0;

}

Решение задачи

Основная идея приведённого выше решения этой задачи заключается в оптимизации обработки запросов суммы построением дерева отрезков.
Сохраним сумму всех элементов массива в переменной sum. Теперь, если нам дан запрос суммы на отрезке [latex]\left[ x; y \right][/latex], то если [latex]y — x > \frac{n}{2}[/latex] (то есть если данный отрезок содержит больше элементов, чем половина всего отрезка) то считаем сумму элементов на отрезке [latex]\left[ 1; x-1 \right] \cup \left[ y+1; n \right] = \left[ 1; n \right] \setminus \left[ x; y \right][/latex] и отнимаем от суммы всех элементов, иначе (если [latex]y — x \le \frac{n}{2}[/latex], то) просто считаем сумму элементов на отрезке [latex]\left[ x; y \right][/latex]. Если же поступает запрос на замену значения элемента, то вычитаем из sum старое значение и прибавляем новое.

Таким образом, максимальная сложность запросов суммы (при простом подходе к задаче) уменьшается вдвое.

Ссылки

Related Images:

D2574. Сумма ряда

27/02/2017 by Андреев Даниил

Задача

Найти сумму сходящегося ряда: [latex]\sum \limits_{n=1}^{n}\frac{\sin{nx}}{2^{n}}[/latex].

Входные данные

[latex]n[/latex] — количество шагов;
[latex]x[/latex] — значение [latex]x[/latex].

Выходные данные

Сумма ряда [latex]\sum \limits_{n=1}^{n}\frac{sin(nx)}{2^{n}}[/latex].

Тесты

Входные данные		Выходные данные
[latex]n[/latex]	[latex]x[/latex]
10	0.523598	0.651170
25	3.141592	0
15	1.570796	0.399994

Код программы на C++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() 
{
    int e=1, n;
    double x, t, o=0;
 
    cin >> n >> x;
 
    for (int j=1; j<(n+1); j++)
    {
        t=sin(j*x);
        e*=2;
        o+=t/e;
    }
 
    cout << fixed << o;
 
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main()

{

int e=1, n;

double x, t, o=0;

cin >> n >> x;

for (int j=1; j<(n+1); j++)

{

t=sin(j*x);

e*=2;

o+=t/e;

}

cout << fixed << o;

return 0;

}

Код программы на Java

import java.util.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int e=1;
        double t, o=0;
        int n = scan.nextInt();
        double x = scan.nextDouble();
        
        for (int j=1; j<(n+1); j++){
            t=Math.sin(j*x);
            e*=2;
            o+=t/e;
        }
        
        System.out.printf("%1$.6f", o);
    }
}

import java.util.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner scan = new Scanner(System.in);

int e=1;

double t, o=0;

int n = scan.nextInt();

double x = scan.nextDouble();

for (int j=1; j<(n+1); j++){

t=Math.sin(j*x);

e*=2;

o+=t/e;

}

System.out.printf("%1$.6f", o);

}

Решение

Проверим решение с WolframAlpha.

Ссылки

Ideone на C++;
Ideone на Java;
WolframAlpha.

Related Images:

A320. Вложенный цикл

25/12/2016 by Андреев Даниил

Задача

Вычислить [latex]\sum\limits_{k=1}^{n}\left( k^{3}\sum\limits_{l=1}^{m}\left(k-l\right)^{2}\right).[/latex]

Входные данные

Произвольные [latex]n[/latex] и [latex]m.[/latex]

Выходные данные

Значение [latex]\sum\limits_{k=1}^{n}\left( k^{3}\sum\limits_{l=1}^{m}\left(k-l\right)^{2}\right).[/latex]

Тесты

Входные данные		Выходные данные
[latex]n[/latex]	[latex]m[/latex]
10	15	983455
2	5	150
3	6	816

Код программы на C++

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    long double sum_1=0, sum_2=0;
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        for(int l=1;l<=m;l++)
        {
            sum_2+=(k-l)*(k-l);
        }
        sum_1+=k*k*k*sum_2;
        sum_2-=sum_2;
    }
    cout << sum_1;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

long double sum_1=0, sum_2=0;

int n, m;

cin >> n >> m;

for(int k=1;k<=n;k++)

{

for(int l=1;l<=m;l++)

{

sum_2+=(k-l)*(k-l);

}

sum_1+=k*k*k*sum_2;

sum_2-=sum_2;

}

cout << sum_1;

return 0;

}

Код программы на Java

import java.util.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        double sum_1=0, sum_2=0;
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        
        for(int k=1; k<=n; k++){
            for(int l=1; l<=m; l++)  sum_2+=(k-l)*(k-l);
            sum_1+=k*k*k*sum_2;
            sum_2-=sum_2;
        }
        
        System.out.print(sum_1);
    }
}

import java.util.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner scan = new Scanner(System.in);

double sum_1=0, sum_2=0;

int n = scan.nextInt();

int m = scan.nextInt();

for(int k=1; k<=n; k++){

for(int l=1; l<=m; l++) sum_2+=(k-l)*(k-l);

sum_1+=k*k*k*sum_2;

sum_2-=sum_2;

}

System.out.print(sum_1);

}

Решение

Проверим решение с WolframAlpha.

Ссылки

Ideone C++;
Ideone Java;
WolframAlpha.

Related Images:

A322. Максимальная сумма делителей

17/12/2016 by Валентина Андриеш

Задача. Найти натуральное число с максимальной суммой делителей на заданном промежутке.

Входные данные:
— [latex]n[/latex] — промежуток чисел(от 1 до [latex]n[/latex]);

Выходные данные:
— [latex]max[/latex] _ [latex]sum[/latex] — максимальная сумма делителей числа на этом промежутке;
— [latex]max[/latex] _ [latex]number[/latex] — натуральное число с этой суммой;

Тесты:

[latex]n[/latex]	[latex]max[/latex] _ [latex]number[/latex]	[latex]max[/latex] _ [latex]sum[/latex]
100	96	252
8743	8400	30752
23000	22680	87120

Код на языке C++:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int sum_dividers(int n){
    int sum=0;
    for(int i=1; i<sqrt(n); i++){
        if((n%i)==0)sum+=i+(n/i);
    }
    int i=sqrt(n);
    if(i*i==n)sum+=i;
    return sum;
}
 
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    int max_sum=0;
    int max_number=0;
    int j;
    for(j=1; j<=n; j++){
        int s=sum_dividers(j);
        if(max_sum<s){
            max_sum=s;
            max_number=j;
        }
    }
    cout<<max_number<<" "<<max_sum;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int sum_dividers(int n){

int sum=0;

for(int i=1; i<sqrt(n); i++){

if((n%i)==0)sum+=i+(n/i);

}

int i=sqrt(n);

if(i*i==n)sum+=i;

return sum;

}

int main() {

int n;

cin>>n;

int max_sum=0;

int max_number=0;

int j;

for(j=1; j<=n; j++){

int s=sum_dividers(j);

if(max_sum<s){

max_sum=s;

max_number=j;

}

cout<<max_number<<" "<<max_sum;

return 0;

}

Код на языке Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
    static int sum_dividers(int n){
        int sum=0;
            for(int i=1; i<Math.sqrt(n); i++){
                    if((n%i)==0)sum+=i+(n/i);
            }
            double i=Math.round(Math.sqrt(n));
            if(i*i==n)sum+=i;
            return sum;
    }
    
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n=in.nextInt();
        int max_sum=0;
        int max_number=0;
        int j;
        for(j=1; j<=n; j++){
            int s=sum_dividers(j);
            if(max_sum<s){
                        max_sum=s;
                        max_number=j;
            }
        }
        System.out.println(max_number+" "+max_sum);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

static int sum_dividers(int n){

int sum=0;

for(int i=1; i<Math.sqrt(n); i++){

if((n%i)==0)sum+=i+(n/i);

}

double i=Math.round(Math.sqrt(n));

if(i*i==n)sum+=i;

return sum;

}

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

int n=in.nextInt();

int max_sum=0;

int max_number=0;

int j;

for(j=1; j<=n; j++){

int s=sum_dividers(j);

if(max_sum<s){

max_sum=s;

max_number=j;

}

System.out.println(max_number+" "+max_sum);

}

Решение задачи:
Для нахождения суммы делителей используется функция [latex]sum[/latex] _ [latex]dividers[/latex], которая в созданном цикле сначала находит все делители числа, а после суммирует их, присваивая значение переменной [latex]sum[/latex]. Создав в главной функции [latex]main[/latex] еще один цикл со счетчиком от 1 до [latex]n[/latex], подставляю в предыдущую функцию [latex]sum[/latex] _ [latex]dividers[/latex] все натуральные числа на выбранном промежутке. C помощью свободных переменных [latex]max[/latex] _ [latex]sum[/latex] и [latex]max[/latex] _ [latex]number[/latex] нахожу максимальное значение сумм и соответствующее ему натуральное число.

Код программы на C++: Ideone
Код программы на Java: Ideone
Условия задачи(стр.134): 322

Related Images:

A334(б). Сумма в сумме

22/11/2016 by Роман Саркисян

Условие

Вычислить [latex]\sum\limits _{ i=1 }^{ k }{ \sum\limits _{ j=1 }^{ t }{ \sin { ({ i }^{ 3 }+{ j }^{ 4 }) } } } [/latex] .

Решение

В данной задаче нам необходимо сделать два цикла, а конкретней — цикл в цикле.

Тесты

[latex]k[/latex]	[latex]t[/latex]	[latex]S[/latex]
1	1	0.9092
10	15	1.4908
20	30	8.8956
60	100	41.9133

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main() {
    double S=0;
    int k,t;
    cin >>k>>t;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        for(int j=1;j<=t;j++){
            S+=sin(i*i*i+j*j*j*j);
        }
    }
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

double S=0;

int k,t;

cin >>k>>t;

for(int i=1;i<=k;i++){

for(int j=1;j<=t;j++){

S+=sin(i*i*i+j*j*j*j);

}

cout << S;

return 0;

}

Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Ссылки

Задачник Абрамова
Код на ideone

Related Images:

A334(а). Вложенная сумма

16/11/2016 by Антон Куперман

Задача

Вычислить: [latex]\sum \limits_{i=1}^{m}\sum \limits_{j=1}^{n}\frac{1}{i+j^2}[/latex], где [latex]m,n[/latex] — вводимые нами числа.

Тесты

Вход([latex]m,n[/latex])	Выход([latex]S[/latex])
40 20	13.6458
100 50	24.6458
200 25	31.7764
1000 282	89.8078

Код на C++

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    double x, S=0, m, n;
    cin >> m >> n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            x=1.0/(i+j*j);
            S+=x;
        }
    }
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double x, S=0, m, n;

cin >> m >> n;

for(int i=1;i<=m;i++)

{

for(int j=1;j<=n;j++)

{

x=1.0/(i+j*j);

S+=x;

}

cout << S;

return 0;

}

Код на Java

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double S=0, m, n;
        m=in.nextInt();
        n=in.nextInt();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                S+=1.0/(i+j*j);
            }
        }
        System.out.print(S);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double S=0, m, n;

m=in.nextInt();

n=in.nextInt();

for(int i=1;i<=m;i++){

for(int j=1;j<=n;j++){

S+=1.0/(i+j*j);

}

System.out.print(S);

}

Решение

Вводим два оператор цикла for, один вложенный в другой. Задаем наше выражение, а затем суммируем его, согласно циклу.

Ссылки

Related Images:

D2548. Сходимость и сумма ряда

27/10/2016 by Роман Саркисян

Условие

Доказать сходимость ряда и найти его сумму
[latex]\frac { 1 }{ 2 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 8 } + \ldots + \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } + \ldots [/latex]

Решение

Для начала докажем, что наш ряд сходится. Докажем это, через признак Даламбера. Суть этого признака заключается в том, что если предел отношения последующего члена к предыдущему меньше [latex]1[/latex](или в частных случаях равен [latex]0[/latex]) то данный ряд будет сходится.
Берем отношение последующего и предыдущего [latex]\lim\limits_{ n\to \infty } \frac { \frac{ 2(n+1)-1 }{ { 2 }^{ n+1 } } }{ \frac{ 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] превратим нашу 4-х этажную дробь в 2-х этажную [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { ({ 2(n+1)-1){ 2 }^{ n } } }{ { (2n-1 }){ 2 }^{ n+1 } }[/latex] раскроем скобки и применим свойство степеней, получим [latex] \lim\limits _{ n\to \infty } \frac { (2n+2-1){ 2 }^{ n } }{ (2n-1){ 2 }^{ n }2 }[/latex] далее приведем подобные сократим дробь и снова раскроим скобки, получим [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { 2n+1 }{ 4n-2 } [/latex] далее чтобы перейти непосредственно к пределу разделим коэффициенты при старших степенях числителя на знаменатель, в ответе получаем [latex]\frac { 2 }{ 4 }[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex].
[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [latex]<[/latex] [latex]1[/latex] из этого следует что данный ряд сходится!
Далее найдем сумму это ряда. [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty } { \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Тесты

[latex]n[/latex]	сумма [latex]n[/latex] элементов
1	0.5
2	1.25
3	1.875
23	2.99999
24	3

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int a,n;
    double s=0,q=1;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        q=q*2;  
        s+=(2*i-1)/q;
    }
    cout<<s;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a,n;

double s=0,q=1;

cin>>n;

for(int i=1;i<=n;i++){

q=q*2;

s+=(2*i-1)/q;

}

cout<<s;

return 0;

}

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
  public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
  {
    int a,n;
    double s=0,q=1;
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    n=in.nextInt();
    for(int i=1;i<=n;i++){
      q=q*2;  
      s+=(2*i-1)/q;
    }
    System.out.println(s);

  }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int a,n;

double s=0,q=1;

Scanner in = new Scanner(System.in);

n=in.nextInt();

for(int i=1;i<=n;i++){

q=q*2;

s+=(2*i-1)/q;

}

System.out.println(s);

}

Код на ideone C++
Код на ideone Java

Related Images:

D2655Б. Сумма ряда с заданной точностью

23/10/2016 by Вадим Гордийчук

Задача

Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до [latex]10^{-5}[/latex], если [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{\left(n+1\right)!}[/latex]?

Входные данные

Заданная точность.

Выходные данные

Количество взятых членов ряда и их сумма.

Тесты

Входные данные Выходные данные

[latex]\varepsilon[/latex] [latex]k[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^{k} \frac{2^n}{\left(n+1\right)!}[/latex]

1e-5 11 2.194527283416172

1 2 1.666666666666667

0.5 3 2.000000000000000

Код программы

Программа для решения задачи D2655b
C++

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; int main() { double Xn = 1, Sn = 0, epsilon; unsigned int n = 0; cin >> epsilon; while (Xn >= epsilon) { n++; Xn *= 2.0 / (n+1); Sn += Xn; } cout << fixed << setprecision(15) << n << " " << Sn << endl; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
    double Xn = 1, Sn = 0, epsilon; unsigned int n = 0;
    cin >> epsilon;
    while (Xn >= epsilon)
    {
        n++;
        Xn *= 2.0 / (n+1);
        Sn += Xn;
    }
    cout << fixed << setprecision(15) << n << " " << Sn << endl;
    return 0;
}

Решение задачи

Для удобства введём обозначение: [latex]x_{n}=\frac{2^n}{\left(n+1\right)!}[/latex].
Чтобы доказать, что данный нам ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{\left(n+1\right)!}[/latex] сходится, воспользуемся признаком Даламбера:
Пускай [latex]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = D[/latex]. Ряд [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty x_n[/latex] сходится, если [latex]D < 1[/latex]. В частности, если [latex]D = 0[/latex]
Найдём [latex]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}[/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{2^{n+1}}{\left( n+2 \right)!} \div \frac{2^{n}}{\left( n+1 \right)!} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{2 \cdot 2^{n}}{\left( n+1 \right)! \cdot \left( n+2 \right)} \cdot \frac{\left( n+1 \right)!}{2^{n}} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n+2} = 0[/latex] Для доказательства последнего равенства [latex]\left( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n+2} = 0 \right)[/latex] воспользуемся определением предела последовательности:
Число [latex]a[/latex] называют пределом последовательности, если для любой точности [latex]\varepsilon>0[/latex] найдётся/существует такой номер, зависящий от [latex]\varepsilon[/latex], начиная с которого все элементы последовательности попадают в интервал [latex]\left( a-\varepsilon; a+\varepsilon \right)[/latex].
В нашем случае число [latex]a[/latex] равно нулю. Поэтому доказательство будет следующим:
[latex]\forall \varepsilon>0[/latex] [latex]\exists N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}[/latex]: [latex]\forall n\ge N_{\varepsilon}[/latex], [latex]\left| \frac{2}{n+2} \right| < \varepsilon[/latex]. Находим [latex]N_{\varepsilon}[/latex]:
[latex]\left| \frac{2}{n+2} \right| < \left| \frac{2}{n} \right| = \frac{2}{n} < \varepsilon [/latex]
[latex]\frac{2}{n} < \varepsilon[/latex]
[latex]n > \frac{2}{\varepsilon} \Rightarrow N_{\varepsilon} = \left[ \frac{2}{\varepsilon} \right] + 1 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{n+2} = 0[/latex].

Итог:
Так как ряд сходится, сумма ряда стремится к некоторой константе, и можно определить точный номер [latex]k[/latex], при котором элемент (а следовательно — и сумма) ряда будет удовлетворять заданной точности. Этой точностью будет значение переменной epsilon, которое задаёт пользователь.

Ссылки

Условие задачи (страница 259);

Оригинал кода программы.

Related Images:

Входные данные	Выходные данные
[latex]\varepsilon[/latex]	[latex]k[/latex]	[latex]\sum\limits_{n=1}^{k} \frac{2^n}{\left(n+1\right)!}[/latex]
1e-5	11	2.194527283416172
1	2	1.666666666666667
0.5	3	2.000000000000000

Posted in 3. Циклы. Tagged последовательность, сумма, циклы.

KM2. Радиус окружностей, удовлетворяющих условию

19/10/2016 by Вадим Гордийчук

1

Задача

Дана сфера радиуса [latex]1[/latex]. На ней расположены равные окружности [latex]\gamma_0[/latex], [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex] радиуса [latex]r \left(n \ge 3\right)[/latex]. Окружность [latex]\gamma_0[/latex] касается всех окружностей [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex]; кроме того, касаются друг друга окружности [latex]\gamma_1[/latex] и [latex]\gamma_2[/latex]; [latex]\gamma_2[/latex] и [latex]\gamma_3[/latex]; [latex]\ldots[/latex]; [latex]\gamma_n[/latex] и [latex]\gamma_1[/latex].
При каких [latex]n[/latex] это возможно? Вычислить соответствующий радиус [latex]r[/latex].

Входные данные

Количество окружностей [latex]n[/latex].

Выходные данные

Радиус окружностей [latex]r[/latex].

Тесты

Входные данные ([latex]n[/latex]) Выходные данные ([latex]r[/latex])

3 0.816497

4 0.707107

5 0.525731

6 Solution does not exist.

Код программы

Программа для решения задачи KM2
C++

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { unsigned int n; double s_2, r; cin >> n; if ((n < 3) || (n > 5)) cout << "Solution does not exist." << endl; else { s_2 = sin(M_PI/n); s_2 *= s_2; //Возведение синуса во вторую степень. r = sqrt(1 - 1/(4.0*s_2)); cout << r << endl; } return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    unsigned int n; double s_2, r;
    cin >> n;
    if ((n < 3) || (n > 5)) cout << "Solution does not exist." << endl;
    else
    {
        s_2 = sin(M_PI/n);
        s_2 *= s_2; //Возведение синуса во вторую степень.
        r = sqrt(1 - 1/(4.0*s_2));
        cout << r << endl;
    }
    return 0;
}

Программа для решения задачи KM2
Java

import java.util.*; public class Main { public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception { Scanner in = new Scanner(System.in); int n = in.nextInt(); if ((n < 3) || (n > 5)) System.out.println("Solution does not exist."); else { double s_2 = Math.sin(Math.PI / n); s_2 *= s_2; double r = Math.sqrt(1-1/(4.0*s_2)); System.out.println(r); } } }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

import java.util.*;

public class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();

        if ((n < 3) || (n > 5)) System.out.println("Solution does not exist.");
        else
        {
            double s_2 = Math.sin(Math.PI / n);
            s_2 *= s_2;
            double r = Math.sqrt(1-1/(4.0*s_2));
            System.out.println(r);
        }
    }
}

Решение задачи

Каждой окружности на сфере можно сопоставить её «центр на сфере» — конец радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере). Эту точку мы будем называть «центром» окружности в кавычках, подчёркивающих, что это не «обычный» центр (рис. 2, а).

Заметим для точности, что такого определённого «центра» нет у окружностей больших кругов сферы. Но окружности, о которых идёт речь в условии задачи, заведомо не могут иметь радиус [latex]1[/latex], потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга касаться, — они всегда пересекают друг друга в двух диаметрально противоположных точках сферы.

Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см. рис. 2, б), лежит в плоскости [latex]P[/latex], проходящей через центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричны относительно плоскости [latex]P[/latex], и если бы они имели общую точку по одну сторону плоскости [latex]P[/latex], то должны были бы иметь и симметричную ей общую точку по другую сторону [latex]P[/latex], а у них всего одна общая точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус [latex]r[/latex], то расстояние между их «центрами» равно [latex]2r[/latex], потому что на окружности большого круга, получающейся в пересечении сферы и плоскости [latex]P[/latex] (рис. 2, в), диаметры наших окружностей (чёрные отрезки) и отрезок, соединяющий их «центры» (красный), стягивают равные дуги.

Пусть [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]A_2[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex] — «центры» окружностей [latex]\gamma_0[/latex], [latex]\gamma_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\gamma_n[/latex], о которых идёт речь в условии задачи. Тогда [latex]A_0 A_1=A_0 A_2=\ldots=A_0 A_n=A_1 A_2=A_2 A_3=\ldots=A_n A_1=2r[/latex], другими словами, [latex]A_0 A_1 A_2 \ldots A_n[/latex] — правильная [latex]n[/latex]-угольная пирамида с вершиной [latex]A_0[/latex], у которой все боковые грани — равносторонние треугольники со сторонами равными [latex]2r[/latex]. Итак, достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда точки [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex] будут определять окружности радиуса [latex]r[/latex], с «центрами» [latex]A_0[/latex], [latex]A_1[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]A_n[/latex], которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи.

Поскольку сумма плоских углов выпуклого [latex]n[/latex]-гранного угла с вершиной [latex]A_0[/latex] меньше [latex]360^\circ[/latex]:
[latex]n\cdot60^\circ=[/latex]∠[latex]A_1 A_0 A_2+[/latex]∠[latex]A_2 A_0 A_3+\ldots+[/latex]∠[latex]A_n A_0 A_1<360^\circ[/latex], то [latex]n<6[/latex]. Для [latex]n=3[/latex], [latex]4[/latex] и [latex]5[/latex] нетрудно построить нужные пирамиды.

Пусть [latex]O[/latex] — центр сферы. Высота пирамиды [latex]h[/latex] и длина её рёбер [latex]2r[/latex] находятся из следующих соображений: радиус [latex]K A_1[/latex] основания пирамиды — катет [latex]\bigtriangleup A_0 K A_1[/latex] и боковая сторона [latex]\bigtriangleup A_1 K A_2[/latex], где ∠[latex]A_1 K A_2=2 \pi / n[/latex] (рис. 3, а , б),
[latex]\sqrt{4 r^2-h^2 \sin \frac{\pi}{n}}=r[/latex]
Из [latex]\bigtriangleup A_0 O A_1[/latex] имеем [latex]r=\frac{h}{2r}[/latex].

Отсюда [latex]h=2 r^2[/latex], [latex]r=\sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}[/latex]
Таким образом,
при [latex]n=3[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{2}{3}}[/latex] [latex]\left( \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \right)[/latex]
при [latex]n=4[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{1}{2}}[/latex] [latex]\left( \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \right)[/latex]
при [latex]n=5[/latex]: [latex]r=\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}[/latex]
(формулу [latex]\sin \frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4}[/latex] можно вывести из рисунка 4, с помощью которого строятся правильный десятиугольник и правильный пятиугольник).

Рисунки, использованные в решении

Рисунок 2:

Рисунок 3:

Рисунок 4:

Научно-популярный журнал «Квант», 1970 год, №7, страницы 51-53

Итоги:
Выведенная во время решения формула [latex]r=\sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}[/latex] справедлива только при [latex]n=3[/latex], [latex]4[/latex], [latex]5[/latex]. В случае, если задать значения больше этих, то выражение под корнем примет отрицательное значение, а в рамках данной задачи это будет говорить об отсутствии решения. Значения же меньше будут недопустимы, что было указано в условии.
Таким образом, программа выведет сообщение об отсутствии решения, если заданные значения [latex]n[/latex] отличны от вышеупомянутых. Если же условия будут соблюдаться, то задача выведет соответствующее значение радиуса.

Ссылки

Условие задачи (страница 52);

Оригинал кода программы (C++).

Оригинал кода программы (Java).

Related Images:

Posted in 2. Программы с ветвлением. Tagged ветвления, радиус, сумма.

D2655B. Cумма ряда с заданной точностью

15/10/2016 by Эммануил Прокопов

4

Задача
Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до
[latex]\varepsilon [/latex], если [latex]\sum\limits _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ (2n-1)! } } [/latex]
Тесты

№ Входные данные Выходные данные

Точность Кол-во взятых членов ряда Значение суммы

1 1 2 1.1666666667

2 1е-5 5 1.1752011684

3 100 1 1

4 1e-10 7 1.1752011936

Код на C++

C++

#include <iostream> #include <iomanip> #include <cmath> using namespace std; double e = exp(1); double bin_pow(double x, int n){ if(n == 1) return x; if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x; double b = bin_pow(x, n/2); return b*b; } double Rn(int n){ double v = e/(2*n+1); return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v); } int main() { double eps, sum = 0, last=0; int n = 0; cin >> eps; do{ n++; if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1); else last = 1; sum += last; } while(Rn(n) > eps); cout << fixed << setprecision(10) << "Количество взятых членов ряда: " << n << "\nЗначение суммы: " << sum; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

double e = exp(1);

double bin_pow(double x, int n){
    if(n == 1) return x;
    if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;
    double b = bin_pow(x, n/2);
    return b*b;
}

double Rn(int n){
    double v = e/(2*n+1);
    return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);
}

int main() {
    double eps, sum = 0, last=0;
    int n = 0;
    cin >> eps;
    do{
        n++;
        if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);
        else last = 1;
        sum += last;
    } while(Rn(n) > eps);
    cout << fixed << setprecision(10) << "Количество взятых членов ряда: " << n << "\nЗначение суммы: " << sum;
    return 0;
}

Код на Java

Java

import java.util.*; class Main { static double e = Math.exp(1); static double bin_pow(double x, int n){ if(n == 1) return x; if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x; double b = bin_pow(x, n/2); return b*b; } static double Rn(int n){ double v = e/(2*n+1); return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v); } public static void main (String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); double eps, sum = 0, last=0; int n = 0; eps = in.nextDouble(); do{ n++; if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1); else last = 1; sum += last; } while(Rn(n) > eps); System.out.print("Количество взятых членов ряда: " + n + "\nЗначение суммы: " + String.format("%.10f",sum)); } }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

import java.util.*;

class Main
{
    static double e = Math.exp(1);

    static double bin_pow(double x, int n){
        if(n == 1) return x;
        if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;
        double b = bin_pow(x, n/2);
        return b*b;
    }

    static double Rn(int n){
        double v = e/(2*n+1);
        return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);
    }

    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double eps, sum = 0, last=0;
        int n = 0;
        eps = in.nextDouble();
        do{
            n++;
            if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);
            else last = 1;
            sum += last;
        } while(Rn(n) > eps);
        System.out.print("Количество взятых членов ряда: " + n + "\nЗначение суммы: " + String.format("%.10f",sum));
    }
}

Решение
Очевидно, ряд является положительным, и общий член ряда стремится к нулю. Ряд сходится по признаку Д’аламбера:
[latex] \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n+1} }{a_{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{ \big(2n-1\big)! }{ \big(2n+1\big)! } = \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n \big(2n+1\big) } =0 < 1[/latex].
Оценим остаток ряда, исходя из того, что [latex]k! > \left( \frac{k}{e} \right) ^{k} , \big(k=1,2,\dots\big) [/latex]:
[latex]R_{N}<\sum\limits_{n=N+1}^\infty \left(\frac{e}{2n-1}\right)^{2n-1}\leq\sum\limits_{n=N+1}^\infty \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2n-1}=\left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2N+1}\sum\limits_{i=0}^\infty \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2i}[/latex] Поскольку при [latex]N\geq1[/latex] [latex]\frac{e}{2N+1}<1[/latex]:
[latex]R_{N} < \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2N+1}\frac{1}{1-\left(\frac{e}{2N+1}\right)^2}[/latex]
В переменной sum хранится текущее значение суммы ряда, в last — последний рассмотренный член ряда. В начале работы программы вводится требуемая точность eps. Можно заметить, что для получения [latex]n[/latex]-го члена ряда достаточно разделить предыдущий на [latex]\left(2n-2\right)\cdot\left(2n-1\right)[/latex], однако необходимо отдельно рассмотреть случай, когда [latex]n = 1[/latex]. В цикле увеличиваем [latex]n[/latex], находим значение следующего члена ряда и прибавляем к sum, пока остаток ряда не станет достаточно маленьким. Оцениваем остаток ряда при помощи функции Rn(int n). Во время её работы может потребоваться возведение числа в большую степень, делаем это по алгоритму бинарного возведения в степень.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).
Условие задачи (стр. 259)

Related Images:

Posted in 3. Циклы. Tagged последовательность, сумма, факториал, циклы.

e-olymp 2941. Дима и массив

27/06/2016 by Кондратюк Настя

2

Задача взята с сайта e-olymp.com

Условие задачи

Мама подарила мальчику Диме массив длины [latex]n[/latex]. Массив этот не простой, а особенный. Дима может выбрать два числа [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex] ([latex]1\leq i\leq n[/latex], [latex]-1000\leq d\leq 1000[/latex]), и элемент с индексом [latex]i[/latex] магически становится равным [latex]d[/latex]. Дима играет со своим массивом, а мама время от времени задает ему вопросы — какова сумма всех чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex]? Дима легко справился с этими вопросами, сможете ли Вы?

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа [latex]n[/latex] и [latex]q[/latex] [latex]1\leq n\leq 5\cdot 10^{5},~1\leq q\leq 10^{5}[/latex] — количество элементов в массиве и суммарное количество операций и запросов соответственно. В следующей строке дано [latex]n[/latex] чисел [latex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/latex] [latex]\left ( -1000\leq a_{i}\leq 1000 \right )[/latex] — начальное состояние массива. В следующих [latex]q[/latex] строках заданы операции и запросы. Первый символ в строке может быть [latex]=[/latex] или [latex]?[/latex]. Если строка начинается с [latex]=[/latex], то это операция присваивания. Далее следуют [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex], ограничения на которые описаны в условии. Если строка начинается с [latex]?[/latex], то это запрос. Далее следуют числа [latex]f[/latex] и [latex]t[/latex] [latex]\left (1\leq f,~t\leq n \right )[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса выведите сумму чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex], по одному результату в строке.

Тесты

Входные данные Выходные данные

3 3
1 2 3
? 1 3
= 3 2
? 1 3 6
5

5 3
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 7
? 1 3 15
12

5 6
1 2 3 4 5
? 1 5
= 1 0
? 1 5
= 2 7
? 1 5
? 1 3 15
14
19
10

Код программы

C++

#include <iostream> using namespace std; // построение дерева void build (int tree[], int arr[], int v, int left, int right) { if (left != right) { int middle = (left + right) / 2; build (tree, arr, v*2, left, middle); build (tree, arr, v*2+1, middle+1, right); tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1]; } else tree[v] = arr[left];} // запрос суммы int sum (int tree[], int v, int left, int right, int from, int to) { if (from > to) return 0; if (from == left && to == right) return tree[v]; int middle = (left + right) / 2; return sum(tree,v*2,left,middle,from,min(to,middle))+sum(tree,v*2+1,middle+1,right,max(from,middle+1),to); } // операция присваивания void update (int tree[], int v, int left, int right, int index, int new_val) { if (left != right) { int middle = (left + right) / 2; if (index <= middle) update (tree, v*2, left, middle, index, new_val); else update (tree, v*2+1, middle+1, right, index, new_val); tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1]; } else tree[v] = new_val; } int main() { int n, q, i, d, from, to; char query; cin >> n >> q; int size = 2*n; /* максимальный размер дерева*/ int arr[n], tree[size]; for(int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i]; /* передаем функции построения массив для записи дерева, исходный массив, корень и границы отрезка, принадлежащего корню */ build(tree, arr, 1, 0, n-1); for (q; q>0; q--) { cin >> query; if (query == '=') { cin >> i >> d; update(tree, 1, 0, n-1, i-1, d); } else if (query == '?') { cin >> from >> to; cout << sum(tree, 1, 0, n-1, from-1, to-1) << endl; } } }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51

#include <iostream>
using namespace std;

// построение дерева
void build (int tree[], int arr[], int v, int left, int right) {
    if (left != right) {
        int middle = (left + right) / 2;
        build (tree, arr, v*2, left, middle);
        build (tree, arr, v*2+1, middle+1, right);
        tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
    } else tree[v] = arr[left];}

// запрос суммы
int sum (int tree[], int v, int left, int right, int from, int to) {
    if (from > to) return 0;
    if (from == left && to == right) return tree[v];
    int middle = (left + right) / 2;
    return sum(tree,v*2,left,middle,from,min(to,middle))+sum(tree,v*2+1,middle+1,right,max(from,middle+1),to);
}

// операция присваивания
void update (int tree[], int v, int left, int right, int index, int new_val) {
    if (left != right) {
        int middle = (left + right) / 2;
        if (index <= middle) update (tree, v*2, left, middle, index, new_val);
        else update (tree, v*2+1, middle+1, right, index, new_val);
        tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
    } else tree[v] = new_val;
}

int main() {
    int n, q, i, d, from, to;
    char query;
    cin >> n >> q;
    int size = 2*n; /* максимальный размер дерева*/
    int arr[n], tree[size];
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];
    /* передаем функции построения массив для записи дерева, исходный массив,
       корень и границы отрезка, принадлежащего корню */
    build(tree, arr, 1, 0, n-1);
    for (q; q>0; q--) {
        cin >> query;
        if (query == '=') {
            cin >> i >> d;
            update(tree, 1, 0, n-1, i-1, d);
        } else if (query == '?') {
            cin >> from >> to;
            cout << sum(tree, 1, 0, n-1, from-1, to-1) << endl;
        }
    }
}

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться структурой данных «дерево отрезков».

Для построения дерева считываем исходный массив, затем запускаем функцию построения от корня дерева. Если длина массива не равна единице или функция была запущена не от листа, то она вызывается рекурсивно от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения. Если функция построения была вызвана от листа, то значения элементов массива записываются в дерево.

Для операции присваивания передаем рекурсивной функции текущую вершину дерева и она выполняет вызов от одного из своих сыновей, который содержит элемент с данным индексом. Пересчитывает суммы и доходит до листа, которому присваивается новое значение.

Для выполнения запроса суммы также используется рекурсивная функция. Она запускается либо от правого, либо от левого сына текущей вершины, если границы исходного запроса лежат в одном из их отрезков. Либо запускается от обоих сыновей, если границы исходного запроса принадлежат пересечению их отрезков, суммируя результаты двух запросов. Таким образом функция доходит до отрезка, границы которого совпадают с текущим запросом или до листа и возвращает их значение.

Для решения данной задачи были использованы материалы сайта e-maxx.ru.

Related Images:

Posted in E. Дерево отрезков. Tagged segment tree, sum, tree, дерево, дерево отрезков, сумма.

e-olymp 1210. Очень просто!!!

26/06/2016 by Кирилл Демиденко

1

Задача

Даны значения чисел [latex]n[/latex] и [latex]a[/latex]. Вычислить [latex]\sum_{i=1}^{n}
i* a^{i}[/latex].

Тесты

Ввод: 3 2 6 4 10 2

Вывод: 34 30948 18434

C++

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int n, a; long long sum = 0; cin >> n >> a; for (int i = 1; i <= n; i++){ //пока i не будет равно n sum += pow(a,i)*i ; //программа будет суммировать эту формулу } //с увеличением значения переменной i на 1 if (n=1){ cout<<a; } cout << sum; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n, a;
    long long sum = 0;
    cin >> n >> a;
    for (int i = 1; i <= n; i++){ //пока i не будет равно n
        sum += pow(a,i)*i ;   //программа будет суммировать эту формулу
    }                             //с увеличением значения переменной i на 1
        if (n=1){
         cout<<a;
}
    cout << sum;
    return 0;
}

Вводим два числа [latex]n[/latex],[latex]a[/latex] и [latex]sum[/latex] . Задаем цикл и суммируем до тех пор, пока [latex]i[/latex] не будет равно значению [latex]n[/latex].

Related Images:

Posted in 3. Циклы. Tagged сумма.

A278

16/03/2016 by Кудымовская Вика

5

Задача A278

Условие задачи

Даны натуральные числа [latex]n_{1},\dots,n_{m}[/latex], действительные числа [latex]x_{1},\dots,x_{m}[/latex]. Вычислить [latex]\frac{n_{1}\cdot x_{1}+\dots+n_{m}\cdot x_{m}}{n_{1}+\dots+n_{m}}[/latex].

Тестирование

№ Входные данные Выходные данные

1. 1 2 4 -1 -0.4

2. 1 2 3 4 5 0.6 1.88889

3. 5 -2 1 0.2 3 -3 2 0 -1.70909

4. 10 3.3 4 0.4 6 0.01 8 1 1 8 1.7469

5. 3 -0.5 2 -0.4 1 -0.3 5 32 11 5 20 -1 4.58095

Реализация (класс vector)

A278
C++

#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { vector<int> n; vector<double> x; int a, sum2 = 0; double b, res = 0, sum1 = 0; while (cin >> a >> b) { n.push_back(a); x.push_back(b); } for (int i=0; i < x.size(); i++) { sum1 += n[i] * x[i]; sum2 += n[i]; res = sum1 / sum2; } cout << res << endl; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
vector<int> n;
vector<double> x;
int a, sum2 = 0;
double b, res = 0, sum1 = 0;
while (cin >> a >> b)
{
n.push_back(a);
x.push_back(b);
}
for (int i=0; i < x.size(); i++)
{
sum1 += n[i] * x[i];
sum2 += n[i];
res = sum1 / sum2;
}
cout << res << endl;
return 0;
}

Алгоритм решения (класс vector)

Считываем все натуральные числа до конца входного потока и записываем их в вектор [latex]n[/latex]. Аналогично, считываем все действительные числа до конца входного потока и записываем их в вектор [latex]x[/latex].

Вычисляем значение выражения [latex]n_1\cdot x_1+\dots+n_m\cdot x_m[/latex], накапливая сумму sum1.

Вычисляем значение выражения [latex]n_1+\dots+n_m[/latex], накапливая сумму sum2.

Находим результат res от деления sum1 на sum2.

Реализация (потоковая обработка)

А278
C++

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int member1, sum2 = 0; double member2, res = 0, sum1 = 0; while (cin >> member1 >> member2) { if (member1=='e') break; sum1 += member1 * member2; sum2 += member1; } res = sum1 / sum2; cout<< res << endl; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
int member1, sum2 = 0;
double member2, res = 0, sum1 = 0;
while (cin >> member1 >> member2)
{
if (member1=='e') break;
sum1 += member1 * member2;
sum2 += member1;
}
res = sum1 / sum2;
cout<< res << endl;
return 0;
}

Алгоритм решения (потоковая обработка)

Считываем все натуральные числа до конца входного потока и записываем их в переменную member1. Аналогично, считываем все действительные числа до конца входного потока и записываем их в переменную member2.
Пока вводятся данные:

Вычисляем значение выражения [latex]n_1\cdot x_1+\dots+n_m\cdot x_m[/latex], накапливая сумму sum1.

Вычисляем значение выражения [latex]n_1+\dots+n_m[/latex], накапливая сумму sum2.

Находим результат res от деления sum1 на sum2.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (класс vector).

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (потоковая обработка).

Related Images:

Posted in 4. Потоковая обработка, 9. Последовательные контейнеры. Tagged действительные числа, натуральные числа, произведение, сумма.

e-olymp 7. Римские числа

28/11/2015 by Александр Коломеец

0

Постановка задачи

e-olymp 7. Римские числа

Посчитать сумму двух натуральных чисел A и B, записанных в римской системе счисления. Ответ также записать в римской системе счисления.
M = 1000, D = 500, C = 100, L = 50, X = 10, V = 5, I = 1. Все числа – не превышают 2000.

Входные данные

В строке записано два числа в римской системе счисления, между которыми стоит знак + .

Выходные данные

Единственное число – сумма чисел, записанное также в римской системе счисления. Числа в римской системе счисления записаны большими латинскими буквами.

Алгоритм решения

Считываем два числа и представляем каждое из них в десятичной системе счисления. Чтобы перевести число из римской системы в десятичную, нужно изначально считать, что в десятичной системе оно равно нулю. Это число будет нашим результатом. Далее, нужно перебрать все цифры римского числа, следуя таким правилам:

если цифра, стоящая слева от даной цифры, больше нее, то вычитаем ее из результата;

если цифра, стоящая слева от даной цифры, меньше нее, то прибавляем ее к результату;

если слева от даной цифры нет цифр, ничего не делаем.

После перебора всех цифр римского числа, значение результата будет совпадать со значением даного римского числа в десятичной системе счисления. Теперь нам необходимо сложить два полученый числа и представить сумму уже в римской системе. Для этого нам понадобятся вспомогательные числа, представленые ниже как в римской, так и в десятичной системе счисления в порядке возрастания.

Вспомогательные числа

В римской системе счисления В десятичной системе счисления

1 I

4 IV

5 V

9 IX

10 X

40 XL

50 L

90 XC

100 C

400 CD

500 D

900 CM

1000 M

Выбираем самое последнее число из таблицы, которое является самым большим, и, пока оно не превышает суммы, вычитаем из суммы это число и выводим выбраное число в римской системе счисления. Далее выбираем предыдущее число и проделываем аналогичные действия. Эти действия проделываем до тех пор, пока сумма не окажется равной нулю. Таким образом мы получим сумму, представленную в римской системе счисления.

Тесты

Входные данные Выходные данные

I+I II

IV+VIII XII

MM+CXC MMCXC

CXCIX+I CC

Реализация

ideone: ссылка
Засчитаное решение на e-olymp: ссылка

C++

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; int parse(char digit) { int result; switch(digit) { case 'I': result = 1; break; case 'V': result = 5; break; case 'X': result = 10; break; case 'L': result = 50; break; case 'C': result = 100; break; case 'D': result = 500; break; case 'M': result = 1000; break; default: result = 0; } return result; } int parse(char *number) { int result = 0, previous = parse(number[0]), current; for(int i = 1; (current = parse(number[i])) != 0; i++) { result += previous < current ? -previous : previous; previous = current; } result += previous; return result; } void print(int number) { char result[1000]{'\0'}; const int values[] = { 1, 4, 5, 9, 10, 40, 50, 90, 100, 400, 500, 900, 1000 }; const char *symbols[] = { "I", "IV", "V", "IX", "X", "XL", "L", "XC", "C", "CD", "D", "CM", "M" }; int counter = sizeof(symbols) / sizeof(symbols[0]) - 1 // last array element while(counter >= 0) { while(number >= values[counter]) { number -= values[counter]; strcat(result, symbols[counter]); } counter--; } cout << result << endl; } int main() { char line[1000]; cin >> line; char *a = strtok(line, "+"); char *b = strtok(NULL, ""); print(parse(a) + parse(b)); return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int parse(char digit) {
int result;
switch(digit) {
case 'I': result = 1; break;
case 'V': result = 5; break;
case 'X': result = 10; break;
case 'L': result = 50; break;
case 'C': result = 100; break;
case 'D': result = 500; break;
case 'M': result = 1000; break;
default: result = 0;
}
return result;
}

int parse(char *number) {
int result = 0, previous = parse(number[0]), current;
for(int i = 1; (current = parse(number[i])) != 0; i++) {
result += previous < current ? -previous : previous;
previous = current;
}
result += previous;
return result;
}

void print(int number) {
char result[1000]{'\0'};
const int values[] = { 1, 4, 5, 9, 10, 40, 50, 90, 100, 400, 500, 900, 1000 };
const char *symbols[] = { "I", "IV", "V", "IX", "X", "XL", "L", "XC", "C", "CD", "D", "CM", "M" };
int counter = sizeof(symbols) / sizeof(symbols[0]) - 1 // last array element
while(counter >= 0) {
while(number >= values[counter]) {
number -= values[counter];
strcat(result, symbols[counter]);
}
counter--;
}
cout << result << endl;
}

int main() {
char line[1000];
cin >> line;
char *a = strtok(line, "+");
char *b = strtok(NULL, "");
print(parse(a) + parse(b));
return 0;
}

Related Images:

Posted in 7. Строки c-string. Tagged Система счисления, сумма.

e-olymp 141. Минимальная сумма цифр

10/11/2015 by Антон Локтев

2

Условие задачи:

Сколько натуральных чисел из промежутка [latex][M,N][/latex] имеют наименьшую сумму цифр ?

Задачу также можно найти здесь.

Входные данные:

Во входном файле два числа [latex]M[/latex] и [latex]N[/latex] ( [latex]1\le M\le N\le 1000000[/latex] ) .

Выходные данные:

В выходной файл нужно записать ответ — одно число.

Тесты

№ M N Вывод

1 1 100 3

2 2 17 1

3 32 1024 2

4 1 1000000 7

5 10 10 1

Код программы

C++

#include <iostream> using namespace std; int sumOfDigits(int a){ int sum = 0; while (a > 0){ sum += a%10; a /= 10; } return sum; } int main() { int m, n, sumMin, counter = 1; cin >> m >> n; sumMin = sumOfDigits(m); for(int i = m + 1; i <= n; i++){ if (sumOfDigits(i) < sumMin){ sumMin = sumOfDigits(i); counter = 1; } else if (sumOfDigits(i) == sumMin) counter++; } cout << counter; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

#include <iostream>
using namespace std;

int sumOfDigits(int a){
int sum = 0;
while (a > 0){
sum += a%10;
a /= 10;
}
return sum;
}

int main() {
int m, n, sumMin, counter = 1;
cin >> m >> n;
sumMin = sumOfDigits(m);
for(int i = m + 1; i <= n; i++){
if (sumOfDigits(i) < sumMin){
sumMin = sumOfDigits(i);
counter = 1;
}
else if (sumOfDigits(i) == sumMin)
    counter++;
}
cout << counter;
return 0;
}

Алгоритм решения

Для решения данной задачи зададим функцию, которая возвращает сумму чисел вводимого нами числа. После ввода границ необходимого промежутка присваиваем минимальную сумму (sumMin) сумме цифр первого числа [latex] M [/latex]. Теперь задаём цикл со счётчиком [latex] i [/latex] от [latex] M + 1 [/latex] до [latex]\le N[/latex]. В случае, когда сумма чисел счётчика меньше сумме цифр числа [latex] M [/latex], присваиваем ей (сумме цифр счётчика i) минимальную сумму цифр и выводим единицу. В противном случае увеличиваем счётчик на единицу и выводим полученный результат. Выводимое число и будет количеством натуральных чисел на промежутке, имеющих наименьшую сумму цифр.

Код программы можно найти здесь.

Ссылка на полностью засчитанное решение на сайте e-olymp.

Related Images:

Posted in 3. Циклы. Tagged натуральное число, промежуток, сумма, сумма цифр, циклы, число.

e-olymp 931. Отношение произведения к сумме

30/09/2015 by Алина Гончарова

9

Задача

Вычислить отношение произведения цифр натурального числа к их сумме.

Входные данные

Натуральное число [latex]n[/latex], не превышающее 2·10⁹.

Выходные данные

Вывести отношение произведения цифр числа [latex]n[/latex] к их сумме с 3 десятичными цифрами.

Решение

Для решения поставленной задачи нам нужно выделить отдельные цифры в записи данного числа, чтобы сосчитать их произведение и сумму. Для этого прочитаем это число из входного потока данных и реализуем разбиение числа на цифры с помощью цикла while. Благодаря остатку от деления числа на 10 получаем последнюю цифру текущего числа, затем делим это число на 10. Если полученное число не 0, повторяем все действия, постепенно накапливая произведение и сумму. Найденные значения произведения и суммы цифр данного числа разделим, предварительно воспользовавшись явным преобразованием к типу double. Это и будет ответом, но так как в задаче указано вывести ответ с тремя десятичными цифрами, я использовала функцию <code>setprecision(3)</code>. В итоге получаем решение этой задачи.

Код

C++

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; int main() { int number, sumOfDigits = 0, multOfDigits = 1; cin >> number; while (number) { multOfDigits *= number % 10; sumOfDigits += number % 10; number /= 10; } cout << fixed << setprecision(3) << (double)multOfDigits / sumOfDigits << endl; return 0; }

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main() {
    int number, sumOfDigits = 0, multOfDigits = 1;
    cin >> number;
    while (number) {
        multOfDigits *= number % 10;
sumOfDigits += number % 10;
        number /= 10;
    }
    cout << fixed << setprecision(3) << (double)multOfDigits / sumOfDigits << endl;
    return 0;
}

Тесты

Входные данные Выходные данные

36 2.000

3456 20.000

1645 7.500

Задача взята отсюда.

Код программы на Ideone.com.

Related Images:

Posted in 3. Циклы. Tagged отношение, отношение произведения к сумме, произведение, сумма.

Post navigation

← Older posts

Newer posts →

Входные данные ([latex]n[/latex])	Выходные данные ([latex]r[/latex])
3	0.816497
4	0.707107
5	0.525731
6	Solution does not exist.

Search

1. Линейные вычисления

2. Программы с ветвлением

3. Циклы

4. Потоковая обработка

5. Массивы

6. Многомерные массивы

7. Строки c-string

8. Строки string

9. Последовательные контейнеры

A. Сортировки и жадность

B. Стеки-деки-очереди

C. Ассоциативные контейнеры

D. Графы

E. Дерево отрезков

F. Динамическое программирование

Игры программистов

Спортивное программирование

Творческие задачи

Численный анализ

⌂ Организационные

Студенты 2020

Введите адрес для отправки новостей

E-mail

Іванов Вячеслав Володимирович (22)
Ілларіонова Марія Валеріївна (20)
Зелінський Вячеслав Олександрович (19)
Вустянюк Ігор Дмитрович (19)
Сплошнов Кирилл (18)
Таран Таня (17)
Гордийчук Вадим (15)
Денисова Ольга (14)
Калачьов Андрій Сергійович (14)
Сорокіна Поліна Юріївна (14)
Студенты 2019

Студенты 2018

Студенты 2017

Студенты 2016

Студенты 2015

Студенты 2014

Proudly powered by WordPress | Theme: Sunspot by WordPress.com.

№	Входные данные	Выходные данные
	Точность	Кол-во взятых членов ряда	Значение суммы
1	1	2	1.1666666667
2	1е-5	5	1.1752011684
3	100	1	1
4	1e-10	7	1.1752011936

Входные данные	Выходные данные
3 3 1 2 3 ? 1 3 = 3 2 ? 1 3	6 5
5 3 1 2 3 4 5 ? 1 5 = 1 7 ? 1 3	15 12
5 6 1 2 3 4 5 ? 1 5 = 1 0 ? 1 5 = 2 7 ? 1 5 ? 1 3	15 14 19 10

№	Входные данные	Выходные данные
1.	1 2 4 -1	-0.4
2.	1 2 3 4 5 0.6	1.88889
3.	5 -2 1 0.2 3 -3 2 0	-1.70909
4.	10 3.3 4 0.4 6 0.01 8 1 1 8	1.7469
5.	3 -0.5 2 -0.4 1 -0.3 5 32 11 5 20 -1	4.58095

Вспомогательные числа
В римской системе счисления	В десятичной системе счисления
1	I
4	IV
5	V
9	IX
10	X
40	XL
50	L
90	XC
100	C
400	CD
500	D
900	CM
1000	M

Входные данные	Выходные данные
I+I	II
IV+VIII	XII
MM+CXC	MMCXC
CXCIX+I	CC

Входные данные	Выходные данные
36	2.000
3456	20.000
1645	7.500