D2548. Сходимость и сумма ряда

by

9

Условие

Доказать сходимость ряда и найти его сумму
[latex]\frac { 1 }{ 2 } + \frac { 3 }{ 4 } + \frac { 5 }{ 8 } + \ldots + \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } + \ldots [/latex]

Решение

Для начала докажем, что наш ряд сходится. Докажем это, через признак Даламбера. Суть этого признака заключается в том, что если предел отношения последующего члена к предыдущему меньше [latex]1[/latex](или в частных случаях равен [latex]0[/latex]) то данный ряд будет сходится.
Берем отношение последующего и предыдущего [latex]\lim\limits_{ n\to \infty } \frac { \frac{ 2(n+1)-1 }{ { 2 }^{ n+1 } } }{ \frac{ 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] превратим нашу 4-х этажную дробь в 2-х этажную [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { ({ 2(n+1)-1){ 2 }^{ n } } }{ { (2n-1 }){ 2 }^{ n+1 } }[/latex] раскроем скобки и применим свойство степеней, получим [latex] \lim\limits _{ n\to \infty } \frac { (2n+2-1){ 2 }^{ n } }{ (2n-1){ 2 }^{ n }2 }[/latex] далее приведем подобные сократим дробь и снова раскроим скобки, получим [latex]\lim\limits _{ n\to \infty } \frac { 2n+1 }{ 4n-2 } [/latex] далее чтобы перейти непосредственно к пределу разделим коэффициенты при старших степенях числителя на знаменатель, в ответе получаем [latex]\frac { 2 }{ 4 }[/latex] [latex]=[/latex] [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex].
[latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex] [latex]<[/latex] [latex]1[/latex] из этого следует что данный ряд сходится!
Далее найдем сумму это ряда. [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty } { \frac { 2n-1 }{ { 2 }^{ n } } }[/latex] Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Тесты

[latex]n[/latex] сумма [latex]n[/latex] элементов
1 0.5
2 1.25
3 1.875
23 2.99999
24 3

Код на ideone C++
Код на ideone Java

Related Images:

9 thoughts on “D2548. Сходимость и сумма ряда”

  1. Давайте для начала учтём несколько замечаний:

    1. Во многих языках программирования звёздочка обозначает умножение. Но не в математических формулах. В Вашем случае (между константой и переменной) математики знак умножения не ставят.
    2. После точек и других знаков препинания принято ставить пробел.
    3. Уберите символы кириллицы из постоянных ссылок
    4. Пожалуйста, размещайте указание на то, что куда стремится под знаком предела, а не сбоку. С суммой тоже самое.
    5. Сходимость не доказана. Стремление слагаемых к нулю не гарантирует существование предела суммы.
    6. Не нужно использовать функцию pow(). Мы специально писали функцию для быстрого возведения в целую степень. И на сайте есть статья об этом. Но и это Вам здесь не понадобится — у Вас знаменатель дроби увеличивается в два раза на каждом шаге цикла. Только и всего.
    7. Сумма ряда действительно 3. Но что это за фантазии про геометрическую прогрессию? Откуда Вы взяли знаменатель в 5/6?! Чепуху изволите писать, уважаемый. Понимаю, что Вы еще могли и не дойти до рядов на матанализе. Но я ведь рекомендовал пользоваться математическими веб-приложениями.
    8. С чего Вы взяли, что достаточно в программе просуммировать два члена ряда, чтобы получить окончательный ответ?
    9. Почему не указали категорию?
    10. Почему не указали метки (ключевые слова)?
    11. Оформите указание на ideone в виде осмысленной ссылки. Вы ведь не думаете, что читателю важно увидеть и запомнить текст 2CNaau?
    12. Для кодирования многоточия в latex в Вашем случае используется команда \cdots. Как об этом узнать? Набрать в поисковике следующий текст: «Многоточие в latex». Используете этот полезный способ в будущем. Не жалейте google.
    13. В названиях разделов точки не ставятся.
    14. Придумайте название. Думаю, добавить «Сумма ряда» в номеру задачи будет вполне уместно. Название состоящее из одного кода мало информативно. Даже Лукас ни одной серии не назвал C-3PO и R2-D2.

    Роман, я понимаю, что Вам лень читать инструкцию по выполнению работ, лень конспектировать на занятиях, лень читать учебник, лень смотреть 700 примеров оформления работ на сайте, лень спросить у однокурсников. Но почему я должен писать ревью Ваших опусов по объёму превышающее сам опус? Это не справедливо. Давайте будем оба прилагать усилия для Вашей учебы. Справедливо?

    • Исправил, Игорь Евгеньевич.

    • — А зачем транслитерация «Zadacha» в заголовке?
      — Уберите символы кириллицы из постоянных ссылок.
      — У Вас используется вложенный цикл для вычисления степени. Это очень неэффективно. Знаменатель очередного слагаемого в два раза больше предыдущего. Т.е. достаточно каждый раз домножать (или делить, как решите) на 2.
      — Почему не указали категорию?
      — Почему не указали метки (ключевые слова)?
      — Нужно показать (в таблице), как при разных [latex]n[/latex] сумма приближается к 3.
      — «Ссылка на код в ideone» — что Вы имели в виду?

  2. Кажется можно засчитывать работу 🙂

    Есть только пожелания. Учтете, если посчитаете целесообразным.
    — Стоит использовать cout.precision(15); перед печатью, чтобы выводились все 15 верных цифр при обычных вычислениях с двойной точностью.
    — Интересно найти какая частичная сумма уже не отличима от 3 при доступной нам точности вычислений.

    Если понравится экспериментировать, то можно использовать long double, выяснить сколько этот тип данных даёт верных десятичных цифр, увеличить число слагаемых…
    Что-то я размечтался…

Добавить комментарий