WoW 3: Идем к ним?

Задача Идем к ним?
«У крота и землеройки имеется [latex]n[/latex] зёрен чего-то вкусного. Они по очереди съедают любое количество зерен, но не более половины оставшегося количества. Можно съедать только целое число зёрен. Если игрок не может сделать очередной ход, то он считается проигравшим и ему приходится бежать в магазин за следующей порцией вкусных зёрен. На каждом шаге можно съедать не более [latex]m[/latex]-й части оставшихся зёрен. Составьте программу, которая определяет величину первого выигрышного хода по заданным числам n и m. Если выигрышного хода нет, то нужно вывести [latex]-1[/latex].»

Анализ задачи:

  1. Первыми в голову приходят методы решения, основанные на полном переборе или на поиске производящей функции (к примеру, для [latex]m = 2[/latex] все позиции [latex]n = 2^{k}-1[/latex] — проигрышные), но количество стратегий растет достаточно быстро, а выделение закономерностей в рекурсивных последовательностях — задача нетривиальная. Следовательно, имеет смысл продолжить анализ, но уже с применением теории игр.
  2. Предложенная игра представляет собой версию игры ним. Отличие в том, что множество объектов одно, а количество допустимых на данном шаге ходов зависит от ситуации на игровом поле.
  3. Эффективный поиск выигрышного хода можно провести при помощи функции Шпрага-Гранди.
  4. Выигрышные позиции отличаются только расстоянием до проигрышной для противника (в зернах), следовательно, можно воспользоваться выигрышно-проигрышным разбиением позиций и ввести соответстенные характеристики позиций: [latex]\left\{ 1, -1 \right\}[/latex].
  5. Если все позиции, в которые можно попасть из данной, являются выигрышными для противника (при условии, что он не играет в поддавки), считать её проигрышной.

Алгоритм решения:

  1. Построение базы анализа: позиция [latex]n = m[/latex] — выигрышная (единственным доступным ходом мы заканчиваем игру), следовательно, [latex]n = m + 1[/latex] — проигрышная.
  2. Если на расстоянии [latex]\left\lfloor \frac {step}{m} \right\rfloor [/latex] от текущей позиции [latex]step[/latex] все значения равны [latex]1[/latex], пометить [latex]step[/latex] как [latex]-1[/latex]. В противном случае пометить как [latex]1[/latex].
  3. Если значение для [latex]step = n-1[/latex], то вывести на экран [latex]-1[/latex]. В противном случае вывести расстояние до ближайшей проигрышной для противника позиции.

Результаты тестирования:
Для всех [latex]n[/latex] при [latex]m = 2[/latex] программа предсказуемо выдает последовательность проигрышных ходов при [latex]n = 2^{k}-1[/latex].
На малых значениях [latex]n[/latex] при [latex]m > 2[/latex] установлена корректность алгоритма.

n m Результат
7 2 -1
8 2 1
10 3 3
7 3 -1
12 4 2
10 4 -1

Код программы:

Детали реализации:
Для хранения характеристик позиций использован динамически объявляемый массив (VLA — Variable Length Array). Для упрощения анализа использована булева переменная [latex]good[/latex].При решении применялись методы динамического программирования.
Протестировать работу программы можно по ссылке: http://ideone.com/5nmDxl.
Реализация на Java: http://ideone.com/D5R49n