итерация | C++ для приматов

Задача. [latex]\arctan(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots[/latex]

Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента x вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]\varepsilon[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций n (слагаемых или cомножителей), необходимых для достижения заданной точности.

Тесты:

x	[latex]\varepsilon[/latex]	left	right	n	Разность	Комментарий
1	0.3	0,785398	1	0	0,214602	Пройден
0.6	0.02	0.54042	0.528	1	0.0124195	Пройден
0.7	0.0002	0.610726	0.610631	7	9.52374е-05	Пройден
0.7	0.000002	0.610726	0.610728	12	1.67214е-06	Пройден
0.7	0.00000000001	0.610726	0.610726	28	8.34648е-12	Пройден

Код программы:

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
	double x, eps, left, right, d, s;
	cin >> x >> eps;
	int n=0;
	left=atan(x);
	right=x;
	d=fabs(left-right);
	s=x;
	while(d>eps)
	{
		n++;
		s*=(-1)*x*x;
		right+=s/(2*n+1);
		d=fabs(left-right);
	}
	cout << "left=" << left << " right=" << right << " n=" << n << " d=" << d;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

double x, eps, left, right, d, s;

cin >> x >> eps;

int n=0;

left=atan(x);

right=x;

d=fabs(left-right);

s=x;

while(d>eps)

{

n++;

s*=(-1)*x*x;

right+=s/(2*n+1);

d=fabs(left-right);

}

cout << "left=" << left << " right=" << right << " n=" << n << " d=" << d;

return 0;

}

В начале мы подставляем аргумент x в левую часть равенства и подсчитываем ее. Затем проверяем разность между правой частью и левой, если ее модуль меньше заданного [latex]\varepsilon[/latex], то выводим результат, а если нет, то в цикле while мы считаем последовательность до тех пор пока их разность не будет меньше [latex]\varepsilon[/latex]. Последовательность задается в цикле рекурентно, поэтому т.к. первый член последовательности будет равен x, то заведем переменную s, равную x, которая будет определять чему равен числитель дроби, домножая предыдущий на [latex](-1)x^{2}[/latex] . После этого программа выводит значение левой и правой части, их разницу и количество итераций для заданной погрешности.

Код можно проверить здесь.

Решение на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner  in = new Scanner(System.in);
    	double x, eps, left, right, d, s;
    	int n=0;
    	x = in.nextDouble();
    	eps = in.nextDouble();
	    left=Math.atan(x);
	    right=x;
	    d=Math.abs(left-right);
	    s=x;
		while(d>eps)
		{
			n++;
			s*=(-1)*x*x;
			right+=s/(2*n+1);
			d=Math.abs(left-right);
		}
		System.out.print("left="+left+" right="+right+" n="+n+" d="+d); 
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double x, eps, left, right, d, s;

int n=0;

x = in.nextDouble();

eps = in.nextDouble();

left=Math.atan(x);

right=x;

d=Math.abs(left-right);

s=x;

while(d>eps)

{

n++;

s*=(-1)*x*x;

right+=s/(2*n+1);

d=Math.abs(left-right);

}

System.out.print("left="+left+" right="+right+" n="+n+" d="+d);

}

Ссылка на решение.

Related Images:

Задача: Численно убедится в справедливости равенства для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] на заданное значение погрешности [latex]\varepsilon [/latex]. вывести число итераций.

[latex]cosx=1-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } -\dots +{ (-1) }^{ n }\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! }+\dots[/latex]

x		Delta	Value	Step’s
0	[latex]0[/latex]	0.0000001	1	1
3.14	[latex]\pi[/latex]	0.00001	-1	7
1.57	[latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex]	0.00001	0.000795865	5
1.05	[latex]\frac { \pi }{ 3 }[/latex]	0.00001	0.497571	4
2.09	[latex]\frac { 2\pi }{ 3 }[/latex]	0.00001	-0.496189	6

Код программы на С++

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	double x, sum = 1, delta, elem = 1; 
	cin >> x >> delta;
	double co = cos(x), rs = 1 + delta;
	for (int i = 1; rs > delta; i++)
	{
		elem *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1)); //рекурсивно выражаем каждый элемент суммы
		sum += elem; // сумируем
		rs = fabs(co - sum); // вычисляем модуль разницы для оценки точности
		cout << "Step:" << i << " " << sum << endl; // выводим  номер шага и значение суммы на этом шаге
	}
	cout << "Value: " << sum << " ~ " << co; //выводим конечное значение

	return 0;

}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double x, sum = 1, delta, elem = 1;

cin >> x >> delta;

double co = cos(x), rs = 1 + delta;

for (int i = 1; rs > delta; i++)

{

elem *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1)); //рекурсивно выражаем каждый элемент суммы

sum += elem; // сумируем

rs = fabs(co - sum); // вычисляем модуль разницы для оценки точности

cout << "Step:" << i << " " << sum << endl; // выводим номер шага и значение суммы на этом шаге

}

cout << "Value: " << sum << " ~ " << co; //выводим конечное значение

return 0;

}

Код программы на Java

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
import java.lang.Math;

class Main
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		double x, sum = 1, delta, elem = 1; 
		x=in.nextDouble();
		delta=in.nextDouble();
		double co = Math.cos(x), rs = 1 + delta;
		for (int i = 1; rs > delta; i++)
		{
			elem *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1)); //рекурсивно выражаем каждый элемент суммы
			sum += elem; // сумируем
			rs = Math.abs(co - sum); // вычисляем модуль разницы для оценки точности
			System.out.printf("Step: %d  %8.6f  \n", i, sum); // выводим  номер шага и значение суммы на этом шаге
		}
		System.out.printf("Value:  %8.6f ~  %8.6f", sum, co); //выводим конечное значение
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

import java.lang.Math;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in=new Scanner(System.in);

double x, sum = 1, delta, elem = 1;

x=in.nextDouble();

delta=in.nextDouble();

double co = Math.cos(x), rs = 1 + delta;

for (int i = 1; rs > delta; i++)

{

elem *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1)); //рекурсивно выражаем каждый элемент суммы

sum += elem; // сумируем

rs = Math.abs(co - sum); // вычисляем модуль разницы для оценки точности

System.out.printf("Step: %d %8.6f \n", i, sum); // выводим номер шага и значение суммы на этом шаге

}

System.out.printf("Value: %8.6f ~ %8.6f", sum, co); //выводим конечное значение

}

Ссылка на Java

Можно заметить, что каждый последующий член ряда рекурсивно выражается через предыдущий. Это позволяет нам значительно уменьшить количество операций. Суть решения в том, что получая аргумент мы фиксируем левую часть выражения, вычисляя значение косинуса от данного аргумента, а затем проверяем сколько слагаемых нам потребуется, чтобы вторая часть отличалась от первой на заданное значение дельта. Цикл программы выводит значение правой части на каждом шагу, а как ответ показывает значения левой и итоговой правой частей.

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: итерация

Ю3.35

Related Images:

Ю 3.31

Related Images: