разложение в ряд | C++ для приматов

Условие:

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f(x)=e^x[/latex]. При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Входные данные:

В единственной строке указаны два числа, разделенные пробелом: аргумент функции [latex]x[/latex] и точность [latex]\varepsilon[/latex].

Тесты:

Входные данные		Выходные данные
[latex]x[/latex]	[latex]\varepsilon[/latex]	Результат
1	0.1	2.70833
1	0.001	2.71825
12	0.072	2.4155e+07

Решение:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double x, e;
    cin>>x>>e;
    double result=1;
    double component=1;
    for (int i=1; abs(component)>=e; i++)
    {
        component*=(x/i);
        result+=component;
    }
    cout<<result<<endl;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double x, e;

cin>>x>>e;

double result=1;

double component=1;

for (int i=1; abs(component)>=e; i++)

{

component*=(x/i);

result+=component;

}

cout<<result<<endl;

return 0;

}

Описание решения:

Для нахождения значения функции [latex]f(x)=e^x[/latex] (экспоненты) с точностью [latex]\varepsilon[/latex] воспользуемся формулой разложения Тейлора: [latex]f(x)=e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum_{n=0}^{x^n}, x\in \mathbb{C}[/latex]. Запишем рекуррентное соотношение для нахождения каждого последующего члена: [latex]x_{n}=x_{n-1}\cdot\frac{x}{n}[/latex].Для нахождения искомого результата, будем прибавлять к значению [latex]result[/latex] новые члены до тех пор, пока они по модулю не станут меньше, чем [latex]\varepsilon[/latex].

Ссылка на код.

Related Images:

Задача

Вычислите с точностью $\epsilon$ значение функции $f\left( x \right) = \tan x$ . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Решение

Функцию [latex]f(x)=\tan x [/latex] можно представить в виде: [latex]f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}[/latex] (по свойствам тангенса). Поэтому будем раскладывать в ряд две функции: [latex]\sin x[/latex] и [latex]\cos x[/latex].

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора с опорной точкой $x_{0}=0$ (ряд Маклорена). Для функции [latex]f(x)=\sin x[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]f(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

А для [latex]f(x)=\cos x[/latex]:

[latex]f(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/latex]

Далее нам нужно найти рекуррентные формулы для членов данных рядов.

[latex]\frac{a_n}{a_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+2)(2n+3)}[/latex];

[latex]\frac{b_n}{b_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+1)(2n+2)}[/latex]

При помощи функции fmod удалим период, так как тангенс [latex]\pi[/latex] периодичная функция.

Затем необходимо накапливать сумму текущих членов ряда для синуса и косинуса соответственно до тех пор, пока слагаемое не будет меньше заданной точности.

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
double tangent(double x, double accuracy) {
	int i = 1;
	double cos = 1, sin = x, intermediateValueCos = 1, intermediateValueSin = x;
	x = fmod(x, M_PI);
	while (fabs(intermediateValueCos *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1))) > accuracy 
		&& fabs(intermediateValueSin *= - x * x / (2 * i * (2 * i + 1))) > accuracy) {
		cos += intermediateValueCos;
		sin += intermediateValueSin;
		i++;
	}
	return sin / cos;
}
 
int main() {
	double x, accuracy;
	cin >> x >> accuracy;
	cout << tangent(x, accuracy);
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double tangent(double x, double accuracy) {

int i = 1;

double cos = 1, sin = x, intermediateValueCos = 1, intermediateValueSin = x;

x = fmod(x, M_PI);

while (fabs(intermediateValueCos *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1))) > accuracy

&& fabs(intermediateValueSin *= - x * x / (2 * i * (2 * i + 1))) > accuracy) {

cos += intermediateValueCos;

sin += intermediateValueSin;

i++;

}

return sin / cos;

}

int main() {

double x, accuracy;

cin >> x >> accuracy;

cout << tangent(x, accuracy);

return 0;

}

Тесты

Входные данные	Выходные данные
0.42 0.001	0.446569
1.52 0.001	19.9377
3.1415 0.0001	-0.000113798

Задача взята отсюда.

Код программы на Ideone.com.

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: разложение в ряд

MLoop 8

Related Images:

MLoop7

Related Images: