e-olymp 8538. Калькулятор

Условие

Калькулятор Ильи выполняет два действия: умножает текущее число на три и прибавляет к нему единицу. На калькуляторе сейчас число $1$. Помогите Илье определить наименьшее количество действий, после которой он получит число $n$.

Входные данные

Одно число $n$ $\left(10\leq n\leq 10^9\right)$.

Выходные данные

Выведите наименьшее количество операций.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1447 16
2 18 3
3 111 6

Код программы

Решение

Решим данную задачу от обратного. А именно, пусть нам дано число $n$ и нам надо из него получить $1$, задействовав как можно меньше операций. Для этого объявим цикл while(), который будет работать до тех пор, пока наше число $n$ не будет равно $1$. Стоит заметить, что наименьшее число операций будет тогда и только тогда, когда изначальное число постоянно будет делиться на $3$ без остатка. Примером таких чисел является $3^a$, где $a$ принимает значения $\left(1; +\infty \right)$. Значит, основной упор мы будем делать на работу с делением числа на $3$, чтоб как можно скорее добраться до $1$. Для начала, стоит проверить, делится ли число $n$ нацело на $3$. Если число имеет остаток при делении, то мы отнимаем от него $1$ и проверяем еще раз. В конце концов, мы получаем $1$, но в ответе задачи нам надо вывести количество задействованных операций. Для этого, в самом начале объявляем переменную $k$, которая будет счетчиком. Она будет увеличиваться каждый раз на $1$ после того, как сработает одно из наших условий.

e-olymp 9104. Плоская земля

Условие

Система образования Вас снова подвела — Ваше предложение о включении модели «Плоская Земля» в программу старшей школы было отклонено в шестой раз подряд. Коррумпированные ученые Круглой Земли отказываются прислушиваться к Вашим аргументам и игнорируют кучу данных, подтверждающих Ваши заявления.

Настало время урегулировать этот конфликт раз и навсегда. Вы путешествовали по всему земному шару и встречались с ведущими учеными Плоской Земли. Вместе Вы разработали блестящий план.

Ради противоречия предположим, что Земля — это сфера в трехмерном пространстве. Тогда, если предположить, что небо является бесконечной плоскостью в пространстве, такая Земля явно бросит на него тень! Эта тень была бы ортогональной проекцией Земли на небо. Поскольку в действительности на небе нет видимой тени, мы достигаем противоречия.

Осталось только выполнить расчеты. По заданным центру и радиусу Земли, а также уравнению небесной плоскости в виде [latex]ax + by + cz + d = 0[/latex] необходимо определить площадь ортогональной проекции Земли на небо. Обратите внимание, что в некоторых Ваших экспериментах Земля может пересекать небо — Вы не хотели бы вводить слишком много ненужных предположений, не так ли?

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов [latex]n[/latex] [latex]\left(1\leqslant n\leqslant 10\right)[/latex]. Далее следует описание тестов.

Каждый тест описывается строкой, содержащей восемь целых чисел [latex] x, y, z, r, a, b, c, d [/latex]. Они обозначают координаты центра Земли, его радиус и уравнение неба соответственно. Все числа от [latex]1[/latex] до [latex]1000[/latex] включительно.

Выходные данные

Для каждого теста выведите одно число: площадь проекции с не менее [latex]6[/latex] десятичными цифрами.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1
2 3 5 7 1 2 4 8
153.938040026
2 2
2 3 5 7 1 2 4 8
4 5 3 9 2 6 8 10
153.938040026
254.469004941
3 3
2 3 5 7 1 2 4 8
4 5 3 9 2 6 8 10
23 45 87 8 100 200 65 89
153.938040026
254.469004941
201.06192983

Код программы

Решение

Для начала, определимся, чего от нас хотят авторы задачи.  По сути, самой важной частью условия является третий абзац, из которого мы узнаем, что Земля — сфера, а также, что ортогональная проекция Земли на небо — это тень от Земли на небесную плоскость. Но, если существует тень, значит существует и светило (Солнце). Для того, что бы стало более понятно, проведём эксперимент. Представим, что Земля — это, к примеру, апельсин, Солнце — это настольная лампа (Важно! Лампа будет давать параллельный пучок лучей), а небесная плоскость — это обычный лист бумаги. (Важно! В данном эксперименте размеры светила и размеры «Земли» будут совпадать). При направлении света на апельсин, на лист бумаги будет отбрасываться тень (площадь которой нам и надо найти). Итак, как мы видим на рисунке, площадь проекции — это ничто иное, как площадь сечения сферы, проходящее по центральной оси этой сферы. А площадь сечения сферы по центральной оси — это площадь круга, которая вычисляется по формуле [latex]S=\pi r^2[/latex]. Таким образом, что бы рассчитать площадь проекции, из всех входящих данных нам понадобится только радиус Земли. Что бы у нас было число [latex]\pi[/latex], мы подключаем библиотеку cmath. Чтобы вывести число с [latex]6[/latex] десятичными знаками после запятой, подключаем библиотеку iomanip .