Задача
Доказать сходимость и найти сумму ряда [latex]\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)[/latex].
Код на C++
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
#include <iostream> using namespace std; int main() { double S,s1,s2; s1=(1.0/2.0)/(1.0-(1.0/2.0)); s2=(1.0/3.0)/(1.0-(1.0/3.0)); S=s1+s2; cout << S; return 0; } |
Код на Java
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
import java.util.*; import java.lang.*; import java.io.*; class Ideone { public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception { Scanner in = new Scanner(System.in); double S,s1,s2; s1=(1.0/2.0)/(1.0-(1.0/2.0)); s2=(1.0/3.0)/(1.0-(1.0/3.0)); S=s1+s2; System.out.print(S); } } |
Решение
Разобьем ряд на два: [latex]\frac{1}{2^n}[/latex] и [latex]\frac{1}{3^n}[/latex]. Оба ряда являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями, следовательно они сходятся и сумма этих рядов тоже будет сходиться. Знаменателем первой прогрессии([latex]s_1[/latex]) будет [latex]\frac{1}{2}[/latex], а знаменателем второй([latex]s_2[/latex]) — [latex]\frac{1}{3}[/latex]. Тогда по формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии: [latex]s=\frac{b_1}{1-q}[/latex], где [latex]b_1[/latex] первый член прогрессии, а [latex]q[/latex] — ее знаменатель. Затем суммируем суммы прогрессий и получаем ответ.
Ответ
[latex]\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}=1.5[/latex].Ссылки
В разделе ответ восстановите скобки (в условии они есть) и опишите подробнее. По крайней, мере шаги с разбиением на два сходящихся ряда и суммой каждого из них.