e-olymp 9414. Убить всех термитов

Условие задачи

На дереве живут термиты. Ваша задача убить их всех. Дерево является неориентированным связным графом с $n$ вершинами и $n — 1$ ребрами. Чтобы убить термитов, Вам следует отравить некоторые вершины. Если термит попадает на вершину с ядом, то он немедленно умирает. Вы не знаете, где изначально находятся термиты. Но Вы знаете, что термиты каждый раз попадают в случайную соседнюю вершину. Однако если термит прошел ребро $(u, v)$, то следующее ребро должно отличаться от $(v, u)$ за исключением случая, когда термит попадает в лист (в этом случае термит поворачивается и возвращается назад). Вам следует отравить минимальное количество вершин так, чтобы термиты попали в отравленные вершины после конечного числа шагов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ $(1 \leqslant n \leqslant 100000)$. Следующая строка содержит $n — 1$ целое число  $p_{i} (2 \leqslant i \leqslant n)$, означающее что ребро соединяет $p_{i}$ и $i$.

Выходные данные

Выведите минимальное количество отравленных вершин.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1 1
2 2
1
1
3 8
1 1 2 1 2 3 2
2
4 5
1 2 1 4
1
5 16
1 2 3 4 5 3 7 1 9 9 11 11 13 13 15
3
6 10
1 2 3 3 1 2 3 7 9
2
7 8
1 1 3 3 1 6 6
2

Код

Решение задачи

Поскольку в задаче речь идет о дереве, циклов в нем нет по определению. Значит, единственным способом для термита ходить «вечно» будет путь между двумя листами, в которых он сможет разворачиваться. Фактически, задача сводится к вопросу «Какое минимальное количество вершин в дереве нужно отравить, чтобы нельзя было добраться из любого листа в другой лист не пройдя через отравленные?».

Определим для этого $3$ типа вершин: лист, развилка и обычная вершина. Листом назовем вершину, у которой нет детей (всего $1$ связь с другой вершиной). Обычные вершины — те, у которых ровно $2$ связи (для нашего термита это пути вниз или вверх). Развилкой назовем вершину, у которой $3$ или больше связей с другими. Будем считать корень тоже развилкой, даже если у него всего $2$ связи, или листом, если одна. Через развилки можно ходить из одного листа в другой, либо «вверх» — в сторону корня.

Типы вершин

$1$ — корень; $5,6,3$ — листья; $4$ — развилка; $2$ — обычная;

Первый этап

Очевидно, выгоднее всего «закрывать» развилки. А среди них — те, которые соединяют несколько листов напрямую. Пусть каждый лист отправляет «запрос» вверх по дереву на закрытие ближайшей к нему развилки. Когда «запрос» доходит до развилки, он тут же записывается на её счёт. Таким образом, в дереве выше вершина $4$ будет иметь $2$ запроса — от листов $5$ и $6$, а корень — $1$ запрос от листа $3$.

Теперь, просто считаем количество вершин с количеством запросов $\geqslant2$ и «закрываем» их.

Второй этап

Увы, первый этап не идеален и может «не донести» запросы в нужное место, т.к. некоторые развилки (а именно — соединяющие лист и другую развилку) могут остаться с одним запросом и не быть закрытыми. Если таких много, термит все еще может ходить между листами. Например, в таком дереве:

Дерево 2

Дерево, в котором необходим второй этап

Вершина $2$ и корень получают по $1$ запросу и остаются открытыми, а у термита остается путь между листами $10$ и $6$.

Для предотвращения таких случаев, пробежимся по дереву «снизу вверх» — от самого нижнего уровня до верхнего и для каждой развилки, у которой ровно $1$ запрос, сместим его вверх аналогично первому этапу — до ближайшей развилки. Будем выполнять этот шаг, пока есть такие вершины (с $1$ запросом).

В итоге, все запросы «соединятся» в нужных развилках, значение в них станет $\geqslant2$ и эти развилки нужно будет тоже закрыть. Для дерева выше, будет закрыт корень.

Осталось посчитать кол-во закрытых.

Описание алгоритма

Дерево будем хранить в массиве векторов tree. Количество запросов для вершины $i$ хранится в killed[i]. Стандартный вектор used для поиска в ширину и dist- вектор расстояний от корня до вершин, которые и будут определяться с помощью BFS.

Функция kills предназначена для того, чтобы донести запрос от листа до развилки. Она рассматривает $3$ случая:

  1.   v == p — текущая вершина совпадает с той, из которой пришли. Это крайний случай, говорящий о том, что мы только начали и находимся в листе. Тогда, идем в единственно возможном направлении — tree[v][0].
  2. tree[v].size == 2 — вершина обычного типа, просто идем «вверх», выбирая из двух путей тот, что не совпадает с предыдущей вершиной.
  3. tree[v].size >= 3 — попали в развилку. Увеличиваем ее значение killed[v] и выходим из рекурсии.

Функция goup отличается от kills лишь тем, что при v == p выбирает из всех направлений то, которое ближе к корню, используя dist.

Подготовка

Можно заметить, что для всех деревьев из $5$ или менее вершин ответ будет $1$. Проверим это сразу при вводе n. Далее, осторожно считываем дерево в массив векторов (см. Входные данные). В следующем цикле, определяем листья и запоминаем их в вектор leaves. Нужно учесть то, что корень может быть листом, если у него всего $2$ связи — одна с деревом, а другая — искусственно созданная нами в $0$ вершину.  Последний шаг — запустить поиск в ширину из корня, который заполнит вектор dist расстояниями от корня до вершин.

Первый этап

Просто запускаем kills (l, l) из каждого листа l для «отправки» запросов в ближайшие развилки.

Второй этап

Определяем максимальную «глубину» дерева — максимальное расстояние вершины от корня. Далее, для каждого уровня от самого нижнего до корня, при определении вершины со значением killed[i] == 1 запускаем goup (i, i), а в переменной wentup считаем количество таких случаев. Как только их не останется — while выйдет из цикла.

Наконец, осталось просто посчитать количество вершин, у которых значение killed[i] >= 2.
Задача на e-olymp
Код решения на ideone
Засчитанное решение на e-olymp

2 thoughts on “e-olymp 9414. Убить всех термитов

  1. Хорошее решение. И понятное описание. Следующую задачу выдал, но исправьте, пожалуйста:
    — Уберите все span style=»color: #fcb03e» и прочие раскраски.
    — У Вас должно быть только H1 для основных заголовков и H2 для подзаголовков этапов. Вы добрались до H4. Такой глубокой структуры в работе нет.

Добавить комментарий