Минимальная реализация алгоритма RSA на C++

Описание программы

Алгоритм асимметричного шифрования RSA основан на практической сложности факторизации больших чисел, что делает его на сегодняшний день одним из самых популярных криптографических алгоритмов.
Однако он имеет свои отрицательные стороны, например среди них достаточно низкая скорость шифрования, поэтому зачастую используют смешанную криптосистему, в которой сначала две стороны передают симметричный ключ с помощью RSA, а затем шифруют сообщение с помощью какого-либо симметрического алгоритма, например AES.
О самом алгоритме можно почитать например тут.
RSA может шифровать числа до так называемого модуля, который является частью ключа. В настоящее время используются модули длиной в 1024, 2048 и даже 4096 бит. В нашей реализации без длинной арифметики получится иметь дело максимум с 64-битными ключами, однако для наглядности этого хватит. Для того, чтобы сообщение при шифровании многократно не увеличивалось в размере, шифровать его надо блоками по $k — 1$ бит, где $k$ — битность ключа. При этом каждый блок перейдет в $k$-битное число, то есть на больших файлах прирост размера составит всего лишь $\frac{k}{k-1}$ раз, и чем больше ключ — тем меньше этот прирост.
В программе делением массива чисел одной битности на числа другой битности занимается функция resize, дополняя недостающие биты нулями.
Шифрованием и одновременно дешифрованием занимается функция process_bytes, так как в RSA оба этих процесса имеют идентичные алгоритмы, отличающиеся только размером блока входа и выхода. Для этого используется алгоритм быстрого возведения в степень.
Также программа может генерировать ключи на основании предустановленных простых чисел (в будущем случайных), или на основании простых чисел, введенных пользователем. Для этого используется нахождении обратного в кольце по модулю расширенным алгоритмом Евклида.
Программа реализована в интерактивном виде, список команд можно вызвать командой h.

Continue reading

e-olymp 419. Задача 3n + 1

Задача

Рассмотрим следующий алгоритм генерации последовательности чисел:

Например, для [latex]n[/latex] = 22 будет сгенерирована следующая последовательность чисел:

22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1

Полагают (но это еще не доказано), что этот алгоритм сойдется к [latex]n[/latex] = 1 для любого целого [latex]n[/latex]. По крайней мере, это предположение верно для всех целых [latex]n[/latex], для которых 0 < [latex]n[/latex] < 1,000,000.

Длиной цикла числа n будем называть количество сгенерированных чисел в последовательности включая 1. В приведенном примере длина цикла числа 22 равна 16.

Для двух заданных чисел [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] необходимо найти максимальную длину цикла среди всех чисел между [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] включительно.

Входные данные

Каждый тест задается в отдельной строке и содержит пару целых чисел [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex]. Входные числа будут меньше 1000000 и больше 0. Считайте, что для вычислений достаточно использовать 32 битный целочисленный тип.

Выходные данные

Для каждой пары чисел [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] выведите числа [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] в том же порядке, в каком они поступили на вход. После чего выведите максимальную длину цикла среди всех целых чисел между [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] включительно. Для каждого теста три числа следует выводить в отдельной строке, разделяя одним пробелом.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 10
100 200
201 210
900 1000
1 10 20
100 200 125
201 210 89
900 1000 174
1 10
10 1
1 10 20
10 1 20
5 25
70 54
38 250
5 25 24
70 54 113
38 250 128

Код программы:

Решение задачи

Алгоритм, описанный в условии задачи используется для построения сиракузской последовательности. Интересный факт — какое бы число не взять, в конце получаем единицу. Нам же надо посчитать сколько раз должен сработать алгоритм для подсчитывания «длины цикла». Считывая пару чисел из потока ввода я высчитывал «длину цикла» для каждого числа из заданного введенной парой промежутка. После чего сравнивал количество итераций для каждого такого числа и находил максимальное. И так для каждой пары чисел.

Ссылки

  • Задача на сайте e-olymp
  • Код решения в Ideone

A1038. Дейкстра?

Задача: Имеется [latex]n [/latex] городов. Некоторые из них соединены дорогами известной длины. Вся система дорог задана квадратной матрицей порядка  [latex]n [/latex], элемент [latex]a_{ij} [/latex] которой равен некоторому отрицательному числу, если город [latex]i [/latex] не соединен напрямую дорогой с городом [latex]j [/latex] и равен длине дороги в противном случае latex [/latex].

  1. Для 1-го города найти кратчайшие маршруты в остальные города.
  2. В предположении, что каждый город соединен напрямую с каждым, найти кратчайший маршрут, начинающийся в 1-м городе и проходящий через все остальные города.

Входные данные:

4
-1 2 4 -1
2 -1 1 6
4 1 -1 1
-1 6 1 -1

Выходные данные:

1 > 2 = 2

1 > 3 = 3

1 > 4 = 4

Длина кратчайшей цепи, проходящей через все вершины 4

Ссылка на ideone: http://ideone.com/iXjoLZ

Решение:

Алгоритм: Для решения задачи применим алгоритм Дейкстры. Применяя этот алгоритм мы считаем что у нас нету ребер с отрицательным весом. Если вес ребра отрицательный, то его просто не существует (по условию задачи). Вводим матрицу смежности графа и проверяем является ли граф полным (для задания 2). Если граф является полным, то ищем для каждой вершины инцидентное ребро с минимальным весом и суммируем (задание 2). В цикле каждой вершине присваиваем минимально расстояние до нее от первой вершины и записываем в массив (задание 1).

e-olimp 4852. Кратчайшее расстояние

Задача

Дан ориентированный граф. Найдите кратчайшее расстояние от вершины x до всех остальных вершин графа.

Входные данные

В первой строке содержатся два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]x[/latex]  [latex]\left ( 1\leq n\leq 1000,1\leq x\leq n \right )[/latex] — количество вершин в графе и стартовая вершина соответственно. Далее в [latex]n[/latex] строках по [latex]n[/latex] чисел — матрица смежности графа: в [latex]i[/latex]-ой строке на [latex]j[/latex]-ом месте стоит [latex]1[/latex], если вершины [latex]i[/latex] и [latex]j[/latex] соединены ребром, и [latex]0[/latex], если ребра между ними нет. На главной диагонали матрицы стоят нули.

Выходные данные

Выведите через пробел числа [latex]d_1,d_2,[/latex][latex]\ldots[/latex][latex],d_i[/latex], где [latex]d_i[/latex] равно[latex]-1[/latex], если путей между [latex]x[/latex] и [latex]i[/latex] нет, в противном случае это минимальное расстояние между [latex]x[/latex] и [latex]i[/latex].

Тесты 

 Входные данные  Выходные данные
3 1
0 1 0
0 0 0
0 0 0
 0 1 -1
6 5
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
2 2 1 1 0 -1
3 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
0 1 2

 

Реализация

Засчитанное решение на e-olimp.com

Код на ideone.com

Решение

Для решения данной задачи необходимо применить  алгоритм Дейкстры . А именно, мы храним в массиве текущую длину наиболее короткого пути из заданной вершины во все остальные вершины графа. Положим, что изначально длина такого пути равна бесконечности ( при реализации просто используем достаточно большое число). А длина пути из заданной вершины до самой себя равна нулю. Обозначим, что вершина может быть помечена или не помечена. Изначально все вершины являются не помеченными. Далее выбираем  вершину [latex]v[/latex] с наименьшей длиной пути до заданной вершины и помечаем ее. Тогда просматриваем все ребра, исходящие из вершины [latex]v[/latex]. Пусть эти ребра имеют вид  [latex]\left ( v,t_0 \right )[/latex]. Тогда для каждой такой вершины [latex]t_0[/latex] пытаемся найти наиболее коротки путь из заданной вершины. После чего снова выбираем еще не помеченную вершину и проделываем вышеописанный алгоритм снова до тех пор, пока не останется не помеченных вершин. Найденные расстояния и будут наименьшими.

e-olymp 975

Задача: 

Дан ориентированный взвешенный граф. Найти пару вершин, кратчайшее расстояние от одной из которых до другой максимально среди всех пар вершин.

Входные данные 

В первой строке содержится количество вершин графа n (1n100). В следующих n строках находится по n чисел, которые задают матрицу смежности графа. В ней -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число — присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы всегда расположены нули.

Выходные данные

Вывести искомое максимальное кратчайшее расстояние.

Задача на e-olimp

Тесты

input output
4
0 5 9 -1
-1 0 2 8
-1 -1 0 7
4 -1 -1 0
16
5
0 5 5 6 -1
-1 0 9 8 4
-1 -1 0 3 8
6 -1 -1 0 5
-1 2 5 6 0
14

Решение:

По алгоритму Флойда (это алгоритм который способствует нахождению кротчайших расстояний между всеми вершинами взвешенного графа, благородя ему мы берем вершину и проверяем если возможно пройти через нее и это будет короче чем идти напрямик, то сохраняем длину пути через эту вершину ) мы проверяем на прочность все связи, иными словами — мы проходим все ребра и проверяем условие. Если существует альтернативный путь от одной вершины к другой, то будет ли он будет короче если да, то мы его заменяем. Таким алгоритмом мы находим все кротчайшие пути через вершины. Но в ответе должен быть максимальный из путей через вершины, поэтому приходится снова пройтись по путям через вершины (но это уже не ребра, а оптимальные длины путей) и найти кратчайший путь максимальной длины.

e-olimp 4856. Кратчайший путь

Задача e-olimp.com №4856. Ссылка на засчитанное решение.

Дан неориентированный взвешенный граф. Найти кратчайший путь между двумя данными вершинами.

Входные данные

Первая строка содержит натуральные числа [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] [latex]\left(n\leq 2000, m\leq 50000 \right)[/latex] — количество вершин и рёбер графа. Вторая строка содержит натуральные числа [latex]s[/latex] и [latex]f[/latex] [latex]\left(1\leq s, f\leq n, s\neq f \right)[/latex] — номера вершин, длину пути между которыми требуется найти. Следующие [latex]m[/latex] строк содержат по три числа [latex]b_{i}[/latex], [latex]e_{i}[/latex] и [latex]w_{i}[/latex]- номера концов [latex]i[/latex]-ого ребра и его вес соответственно [latex]\left(1 \leq b_{i}, e_{i}\leq n, 0\leq w_{i}\leq 100000\right)[/latex].

Выходные данные

Первая строка должна содержать одно число — длину минимального пути между вершинами [latex]s[/latex] и [latex]f[/latex]. Во второй строке через пробел выведите вершины на кратчайшем пути из [latex]s[/latex] в [latex]f[/latex] в порядке обхода. Если путь из [latex]s[/latex] в [latex]f[/latex] не существует, выведите -1.

Код программы:

Для решения использовался алгоритм Дейкстры, подробнее в комментариях к коду.