e-olymp 8651. Браслети (Bangles)

Задача взята з сайту e-olymp

Шпигунам-конкурентам вдалося потрапити на склад запасних частин фірми «Magic & Stupidity», яка виготовляла магічні браслети. Стало зрозуміло, що всі браслети складалися з чотирьох різних деталей, кожна з яких мала на кінцях замки різних типів (розрізнялися за номерами). Вони з’єднувалися по колу, причому у сусідніх частин замки повинні мати однаковий номер. Знайшлося $N$ різних типів замків (позначимо їх номерами від $1$ до $N$) і $М$ типів деталей, які визначаються парою номерів замків (порядок несуттєвий). Напишіть програму, яка б підраховувала скільки існує різних наборів з чотирьох деталей для виготовлення браслетів фірмою «Magic & Stupidity».

Вхідні дані

Програма читає з першого рядка числа $N$ (кількість типів замків) та $M$ (кількість типів деталей). ($4 \leqslant N \leqslant 300$). У $M$ наступних рядках наведені параметри деталей (пара номерів замків). Всі пари різні.

Вихідні дані

Програма визначає кількість варіантів браслетів.

Тести

Inputs Outputs
1
5 7
1 3
1 4
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5
2
2
4 4
1 2
2 3
3 4
1 4
1
3
5 5
1 2
2 3
3 5
1 4
1 5
1

Код

 

Рішення

Зробимо ізоморфний перехід в графи, а саме можна помітити, що визначивши типи запків як вершини матимемо зв’язки між типами, як існуючий елемент браслета, тобто пара $(1, 2)$ насправді задає зв’язок між першим і другим типом. Маэмо граф, залишилось знайти кількість простих циклів завдовшки у чотири ребра (чотири вершини).
Построївши матрицю суміжності ми на справді побудували матрицю де arr[i][j] містить кількість способів дійти від вершини $i$ до вершини $j$ за один хід.
Нехай за х ходів ми потрапили з вершини $i$ у вершину $k$ рівно $a$ способами, а з вершини $k$ у вершину $j$ рівно $b$ способами. Тоді за $2x$ ходів ми можемо потрапити з вершини $i$ у вершину $j$ через вершину $k$ рівно $ab$ способами, що насправді еквівалентно возведенню матриці суміжності у степінь, яка дорівнює кількості ходів
Тепер за два перемноження отримаємо матрицю де arr[i][j] містить кількість способів дійти від вершини $i$ до вершини $j$ за 4 ходи. Сумма елементів на головній діагоналі майже дає нам потрібний результат. Нам треба відняти ходи такого типу 1-2-1-2-1 та 1-2-3-2-1. Щоб відняти ходи першого типу після першого перемноження поставимо на головній діагоналі нулі, що означатиме що ми не можемо у другому ході повернутися у ту вершину з якої прибули. Для другого типу треба помітити, що ми йдемо по тому шляху, по якому вже йшли тобто якщо мі за два ходи дійшли до певної вершини $a$ способами, то повертаючись назад отримаємо $2a$ способів, але з них рівно $a$ нам не підходять, тому після другого перемноження с діагоналі видаляємо сумму на ряді на моменті коли було зроблено усього $2$ ходи, звісно не враховуючи елементи на головній діагоналі. Ми будували неорієнтований граф тому сумму на діагоналі треба поділити на $2,$ а ще в наших циклах по $4$ вершини, тому треба ще поділити на 4.

Посилання

ideone
e-olymp

e-olymp 1485. Серия степеней матриц

Задача

По заданной матрице A размера n×n и положительному целому значению $k$ вычислить сумму $S = A + A^2+ A^3 + … + A^k.$

Входные данные

Первая строка содержит три положительных целых числа $n (n ≤ 30)$, $k (k ≤ 10^9)$ и $m (m < 10^4)$. Каждая из следующих $n$ строк содержит $n$ неотрицательных целых чисел меньших $32768$, задающих элементы матрицы $A$ в порядке возрастания строк.

Выходные данные

Вывести элементы матрицы $S$ по модулю $m$ в таком же виде как и входная матрица $A$.

Тесты

Ввод Вывод
1 2 2 4
0 1
1 1
1 2
2 3
2 4 7 2
3 5 12
10 8 9
2 16 7
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 0 0
0 1 0 0
3 5 10 78
7 6 0 1 6
12 9 1 1 8
1 1 3 1 9
8 5 34 1 7
5 5 5 5 5
2 67 36 32 48
2 6 10 49 65
67 14 58 4 29
64 54 33 45 46
41 4 50 8 55
4 3 2 4
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2 2
2 2 2
2 2 2
5 5 100 1000
1846 4675 8090 4539 1234
4567 7453 9564 6548 1111
5674 9876 5432 1010 1515
0 478 3 11 0
68303 7777 32767 14 8008
614 7 945 925 381
22 332 981 689 527
351 627 130 686 420
340 628 819 758 629
913 426 396 871 91

Код

Решение

Для решения данной задачи опишем матрицу как структуру и функциями зададим простейшие операции над матрицами — сложение и умножение. Результат обеих функций будем будем брать по модулю $m$, чтоб уменьшить числа, с которыми работаем.

Далее создадим функцию быстрого возведения в степень. $A^k$ представим как $\left(A^2\right)^\frac{k}{2}$ при четном  $k$ и $A × \left(A^2\right)^{\frac{k — 1}{2}}$ в противном случае. Такой алгоритм позволяет значительно уменьшить количество умножений.

И, наконец, последняя функция. Тут все зависит от показателя степени. Если он равен единице, ответом будет исходная матрица. Если же нет, функция становится рекурсивной и с помощью всех остальных описанных ранее функций нам удается получить искомую сумму.

Все, что еще необходимо сделать — вывести результат по модулю $m$.

Замечание

Тесты на e-olymp требуют отсутствия пробела после последнего столбца.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Код задачи на Ideone

A708

Задача

Даны квадратная матрица [latex]A[/latex] порядка [latex]m[/latex], натуральное число [latex]n[/latex]. Получить матрицу [latex]E+A+A^2+A^3+\dots+A^n,[/latex] где [latex]E[/latex] — единичная матрица порядка [latex]m[/latex].

Тесты

m, n матрица А результат
3 3 3 2 1

5 7 3

9 7 3

359 358 158

1028 1047 460

1156 1162 513

2 2 6 7

12 54

127 427

732 3055

Код на языке С++:

Ссылка на программу:http://ideone.com/3B9ti7

Код на языке Java:

Ссылка на программу: http://ideone.com/hOFldD

Решение:

Заводим четыре матрицы: исходную, вспомогательную, матрицу в степени [latex]n[/latex] и результирующую;  обнуляем все матрицы, тем самым очищаем память. Дальше возводим матрицу в степень [latex]n[/latex],  добавляем к результирующей и заменяем вспомогательную матрицу. В завершении мы прибавим единичную матрицу к ответы и выведем его.

А706 Алгоритм быстрого возведения в степень

Степень Входная матрица Результирующая матрица
2
0 1
2 3
2 3
6 11
3
0 1
2 3
6 11
22 39

Пусть даны квадратная матрица [latex]A[/latex] порядка [latex]m[/latex] и натуральное число [latex]n[/latex]; требуется найти [latex]A^{n}[/latex]. Алгоритм, основанный на непосредственной применении формулы [latex]A^{n} = A*A*A…*A [/latex]([latex]n[/latex] сомножителей), слишком разорителен. Например, [latex]A^{4}[/latex] экономичнее вычислять как [latex]A^{2^{2}}[/latex]. Идея одного достаточно экономичного алгоритма вычисления [latex]A^{n}[/latex] заключается в следующем: если  [latex]n = 2k[/latex], то [latex]A^{n} = (A^{2})^{k}[/latex]; если же [latex]n = 2k + 1[/latex], то [latex]A^{n} = (A^{2})^{k} * A[/latex]. Степень с показателем [latex]k[/latex] вычисляется с учетом этих же соображений. Итак, надо разделить [latex]n[/latex] на [latex]2[/latex] с остатком:[latex] n = 2k + l [/latex] [latex](0\le l\le 1[/latex]), потом это же проделать с [latex]k[/latex] и т.д. Эти действия приводят, как известно, к построению двоичной записи [latex]n[/latex]. Алгоритм, основанный на этой идее, состоит в том, что последовательно вычисляются [latex]A^{a_{0}}, A^{a_{1}*a_{0}}, …,A^{a_{l}*…*a_{0}}, a_{l}*…*a_{0}[/latex] — двоичная запись числа [latex]n[/latex]. Для этого вычисляется, цифра за цифрой, двоичная запись [latex]n[/latex] и, параллельно, степень за степенью,[latex]A^{(2^{0})}, A^{(2^{1})}, …[/latex] — каждая следующая степень получается из предыдущей возведением в квадрат. Подсчитывается произведение тех из вычисленных степеней, для которых соответствующая цифра двоичного представления равна 1. Например, запись [latex]9[/latex] в двоичной системе есть [latex]1001[/latex][latex](9 = 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1)[/latex]; для вычисления [latex]A^{9}[/latex] достаточно найти [latex]A^{2},A^{4},A^{8},[/latex]([latex]3[/latex] умножения), а затем определить [latex]A*A^{8},[/latex] ([latex]1[/latex] умножение).

Преимущество этого алгоритма в сравнении с простейшим состоит в том, что простейший алгоритм требует числа умножений, растущего как линейная функция от [latex]n[/latex], а здесь число умножений грубо говоря, пропорционально количеству цифр числа [latex]n[/latex] или двоичному логарифму [latex]n[/latex]. Это преимущество весьма ощутимо при работе с матрицами (из-за трудоемкости каждого умножения), хотя, разумеется, этот алгоритм может быть использован и для вычисления степени любого числа.

Написать программу, реализующую предположенный алгоритм.

Суть алгоритма была описана в задании. Реализация была через свою структуру данных, такую как матрица. В ней мы определили умножение и присваивание, для удобства. Есть несколько конструкторов, но нужен по сути только самый первый, остальные для разыгравшейся фантазии. Инициализация при создании матрицы обязательна, поскольку может выдавать неправильный ответ в связи с забытым  в памяти мусором. Как перемножать матрицы можно узнать здесь. Нам понадобятся три матрицы, исходная, временная и матрица для ответа. Само двоичное представление удобно хранить в строке, поскольку идя по ней и находя [latex]1[/latex] мы можем домножить на  временную  матрицу матрицу ответ.

 

link.