e-olymp 1503. Вписанные треугольники

26/01/2018 by Мороз Дима

Пример первого теста на графике

На границе окружности с центром в начале координат и радиусом $r$ заданы $n$ различных точек. Поскольку все точки расположены на одной окружности, то любые три из них не коллинеарны, и поэтому образуют треугольник. Вам необходимо вычислить суммарную площадь всех этих $C_{n}^3$ треугольников.

Входные данные
Состоит из не более чем $16$ тестов. Каждый тест начинается двумя целыми числами $n \left(0 ≤ n ≤ 500\right)$ и $r \left(0 < r ≤ 100\right)$. Через $n$ обозначено количество точек, а через $r$ радиус окружности. Центр окружности находится в центре координат. Дальше следуют $n$ строк, каждая из которых содержит действительное число $θ \left(0 ≤ θ < 360 \right)$, которое определяет угол в градусах между точкой и направлением $x$-оси. Например, если $θ$ равно $30$ градусов, то соответствующая точка имеет декартовы координаты $\left(r \cdot \cos(30°), r \cdot \sin(30°) \right)$. Последняя строка содержит $n = r = 0$ и не обрабатывается.

Выходные данные
Для каждого теста в отдельной строке вывести целое число — суммарную площадь (округленную до ближайшего целого) всех возможных треугольников, образованных заданными $n$ точками.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
5 10 10 100 300 310 320 3 20 10 100 300 0 0	286 320
3 5 25 176 243 0 0	25
4 20 30 80 130 330 0 0	822
2 7 30 230 0 0	0

Код программы

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int main(){
    double ang, s, sq, r2, res, M[500];
    int n, r, pts;
    while(cin >> n >> r, n + r != 0){
        for(int i = 0; i < n; i++){
                cin >> M[i];
                M[i] = M[i] * M_PI / 180;
        }
        sort(M, M + n);
        res = M_PI * r * r * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
        r2 = r * r / 2.0;
        sq = M_PI * r * r;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = i + 1; j < n; j++){
                ang = M[j] - M[i];
                if(ang < M_PI){
                        s = r2 * (ang - sin(ang));
                }else{
                    ang = 2 * M_PI - ang;
                    s = sq - r2 * (ang - sin(ang));
                }
                pts = n - (j - i + 1);
                res = res - s * pts;
                pts = n - 2 - pts;
                res = res - (sq - s) * pts;
            }
        }
        printf("%.f\n", res);
    }

    return 0;
}

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

using namespace std;

int main(){

double ang, s, sq, r2, res, M[500];

int n, r, pts;

while(cin >> n >> r, n + r != 0){

for(int i = 0; i < n; i++){

cin >> M[i];

M[i] = M[i] * M_PI / 180;

}

sort(M, M + n);

res = M_PI * r * r * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;

r2 = r * r / 2.0;

sq = M_PI * r * r;

for(int i = 0; i < n; i++){

for(int j = i + 1; j < n; j++){

ang = M[j] - M[i];

if(ang < M_PI){

s = r2 * (ang - sin(ang));

}else{

ang = 2 * M_PI - ang;

s = sq - r2 * (ang - sin(ang));

}

pts = n - (j - i + 1);

res = res - s * pts;

pts = n - 2 - pts;

res = res - (sq - s) * pts;

}

printf("%.f\n", res);

}

return 0;

}

Решение задачи

Радианная мера точек заносится в массив, после чего массив сортируется по возрастанию с помощью функции sort().

В переменную res изначально заносится площадь, равная площади кругов радиуса $r$,
то есть значение $C_{n}^3 \cdot \pi \cdot r^2 = n(n-1)(n-2)(n-2)\pi \cdot \frac{r^2} {6}$. Значение $\frac{r^2} {2}$ присваивается переменной r2, а sq – площадь одного круга, то есть $\pi \cdot r^2$.

Перебираются пары точек, а затем вычисляется угол.
Если угол меньше, то проходимся по меньшему сегменту, площадь которого равна $\pi r^2-0.5r^2(\alpha-\sin \alpha)$, $\alpha = 2\pi -\alpha$. В ином случае мы проходим по большему сегменту.
В любом случае переменной s присваивается площадь сегмента, который мы проходим от $P_{i}$ к $P_{j}$ при движении против часовой стрелки.

Количество точек, лежащих на сегменте, равно $n-(j-i+1)$.
Значит, из переменной res необходимо вычесть площадь сегмента s такое количество раз, которому равно количество точек, то есть pts .

Количество точек, которые лежат на сегменте площади s , равно $n-2- $ pts.
Площадь противоположного сегмента равна разности площади круга и сегмента. Для получения ответа вычитаем площадь противоположного сегмента из переменной res такое количество раз, которое равно значению переменной pts и выводим полученное значение.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com
Решение задачи ideone.com

Related Images:

Площадь поверхности

11/12/2016 by Тимур Фирсов

Задача

Найти площадь поверхности, которая является трёхмерным графиком функции [latex]f\left( x, y\right)[/latex], в пределах от [latex]a[/latex] до [latex]b[/latex] по оси [latex]x[/latex] и от [latex]c[/latex] до [latex]d[/latex] по оси [latex]y[/latex] c величиной шага [latex]h[/latex].

Входные данные:

Четыре целых числа: [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex], [latex]d[/latex].
Вещественное число: [latex]h[/latex].

Выходные данные:

Площадь поверхности [latex]S[/latex].

Тесты

№	[latex]f\left( x, y\right)[/latex]	Входные данные					Выходные данные
		[latex]a[/latex]	[latex]b[/latex]	[latex]c[/latex]	[latex]d[/latex]	[latex]h[/latex]	[latex]S[/latex]
1	[latex]x+y[/latex]	-10	10	-10	10	0.001	692.82
2	[latex]\left\| x \right\| +\left\| y \right\|[/latex]	-2	2	-2	2	0.005	27.7128
3	[latex]1[/latex]	0	100	0	100	0.1	10000
4	[latex]{x}^{2}+{y}^{2}[/latex]	-1	1	-1	1	0.0005	7.44626

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double z(double x, double y){
    return abs(x)+abs(y);//<-- место для ввода функции z=f(x, y).
}
double dl(double x, double y, double z){
    return sqrt(x*x+y*y+z*z);//Длина вектора.
}
double ras(double xi, double xj, double yi, double yj){
    double zii, zjj, zij, zji, v1x=0, v1y=0, v1z=0, v2x=0, v2y=0, v2z=0;
    zii=z(xi, yi); //Найдём координату z каждой вершины треугольников.
    zjj=z(xj, yj);
    zij=z(xi, yj);
    zji=z(xj, yi);
    v1x=(yi-yj)*(zji-zii);  //Вычислим векторное произведение векторов.
    v1y=(zii-zij)*(xj-xi);
    v1z=(yj-yi)*(xj-xi);
    v2x=(yj-yi)*(zji-zjj);
    v2y=(zjj-zij)*(xi-xj);
    v2z=(yi-yj)*(xi-xj);
    return (dl(v1x, v1y, v1z)+dl(v2x, v2y, v2z))/2;//Найдём площадь треугольников.
}

int main(){
    double xi, xj, yi, yj, s=0, h;
    int a, b, c, d;
    cin >> a >> b >> c >> d >> h;
    xi = a;
    while(xi<=(b-h)){
        yi=c;
        xj=xi+h;
        while(yi<(d-h)){
            yj=yi+h;
            s+=ras(xi,xj,yi,yj);
            yi=yj;
        }
        xi=xj;
    }
    cout<<s;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double z(double x, double y){

return abs(x)+abs(y);//<-- место для ввода функции z=f(x, y).

}

double dl(double x, double y, double z){

return sqrt(x*x+y*y+z*z);//Длина вектора.

}

double ras(double xi, double xj, double yi, double yj){

double zii, zjj, zij, zji, v1x=0, v1y=0, v1z=0, v2x=0, v2y=0, v2z=0;

zii=z(xi, yi); //Найдём координату z каждой вершины треугольников.

zjj=z(xj, yj);

zij=z(xi, yj);

zji=z(xj, yi);

v1x=(yi-yj)*(zji-zii); //Вычислим векторное произведение векторов.

v1y=(zii-zij)*(xj-xi);

v1z=(yj-yi)*(xj-xi);

v2x=(yj-yi)*(zji-zjj);

v2y=(zjj-zij)*(xi-xj);

v2z=(yi-yj)*(xi-xj);

return (dl(v1x, v1y, v1z)+dl(v2x, v2y, v2z))/2;//Найдём площадь треугольников.

}

int main(){

double xi, xj, yi, yj, s=0, h;

int a, b, c, d;

cin >> a >> b >> c >> d >> h;

xi = a;

while(xi<=(b-h)){

yi=c;

xj=xi+h;

while(yi<(d-h)){

yj=yi+h;

s+=ras(xi,xj,yi,yj);

yi=yj;

}

xi=xj;

}

cout<<s;

return 0;

}

Решение

Представим поверхность в виде множества геометрических фигур. Тогда её площадь будет суммой площадей этих фигур. В качестве фигур, покрывающих данную поверхность, возьмём треугольники, поскольку через любые [latex]3[/latex] точки в пространстве можно провести плоскость и только одну (а значит и треугольник). Координатную плоскость [latex]xy[/latex] условно поделим на квадраты, где сторона квадрата будет равняться заданному шагу [latex]h[/latex]. Будем рассматривать только квадраты, что лежат в заданных пределах. Условно проведём одну из диагоналей у каждого квадрата — получим треугольники на плоскости. Поочередно будем искать координату [latex]z[/latex] вершин каждой пары треугольников, подставляя уже известные координаты [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] в указанную формулу. Зная координаты треугольников в пространстве, найдём площадь каждого, сумма данных площадей и будет площадью поверхности. Чтоб найти площадь треугольника, зная координаты его вершин, найдем векторное произведение его координат. Возьмем треугольник с координатами вершин [latex]\left( x_i,y_i,z_{ii} \right) [/latex], [latex]\left( x_i, y_j, z_{ij} \right) [/latex] и [latex]\left( x_j, y_i, z_{ji} \right) [/latex], возьмём произвольные два вектора, которые образуют данный треугольник — [latex]\overrightarrow { a } =\left ( x_i-x_i, y_j-y_i, z_{ij}-z_{ii} \right)[/latex], [latex]\overrightarrow { b } =\left ( x_j-x_i, y_i-y_i, z_{ji}-z_{ii} \right)[/latex].
[latex]\overrightarrow { a } =\left ( 0, y_j-y_i, z_{ij}-z_{ii} \right)[/latex], [latex]\overrightarrow { b } =\left ( x_j-x_i, 0, z_{ji}-z_{ii} \right)[/latex].
Тогда векторное произведение [latex]\left [ \overrightarrow { a }, \overrightarrow { b } \right] =\left ( (y_i-y_j)( z_{ji}-z_{ii}), (z_{ii}-z_{ij})(z_{ji}-z_{ii} ), ( y_j-y_i)(x_j-x_i) \right)[/latex].
Поскольку длина вектора равного векторному произведения двух векторов в пространстве равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами — найдём его длину и разделим пополам, чтоб получить площадь треугольника, образованного исходными векторами. Значит площадь каждого треугольника можно вычислить по формуле:
[latex]s =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt{({(y_i-y_j)}^{2}{( z_{ji}-z_{ii})}^{2}+{(z_{ii}-z_{ij})}^{2}{(z_{ji}-z_{ii} )}^{2}+{( y_j-y_i)}^{2}{(x_j-x_i)}^{2})}[/latex] Тогда площадь поверхности в пределах заданных точек можно вычислить, сложив площади этих треугольников.

Модификация

Модифицируем данную программу для нахождения приблизительной площади поверхности, заданной функцией с корнем чётной степени.

Тесты

№	[latex]f\left( x, y\right)[/latex]	[latex]z_0[/latex]	Входные данные					Выходные данные
			[latex]a[/latex]	[latex]b[/latex]	[latex]c[/latex]	[latex]d[/latex]	[latex]h[/latex]	[latex]S[/latex]
1	[latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex]	[latex]1[/latex]	-1	1	-1	1	0.00011	6.28734
2	[latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex]	[latex]7y[/latex]	-1	1	-1	1	0.00011	23.0803
3	[latex]\sqrt { 1-{ x }^{ 2 }-\frac{ { y }^{ 2 }}{ 2 } }[/latex]	[latex]0[/latex]	-1	1	-2	2	0.00015	8.08214
4	[latex]\sqrt { 2-{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }[/latex]	[latex]-1[/latex]	-2	2	-2	2	0.0005	12.5835

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double z(double x,  double y,  double &z0){
    z0=7*y; //<-- место для ввода слагаемых функции f(x, y) не под корнем чётной степени.
    return (1-x*x-y*y)<0? z0:sqrt(1-x*x-y*y)+z0;//<-- место для ввода функции z=f(x, y).
}
long double  dl(double x,  double y,  double z){
    return sqrt(x*x+y*y+z*z);//Длина вектора.
}
double ras(double xi,  double xj,  double yi,  double yj){
    double zii,  zjj,  zij,  zji,  v1x=0,  v1y=0,  v1z=0,  v2x=0,  v2y=0,  v2z=0,  z0=0;
    zii=z(xi,  yi,  z0); //Найдём координату z каждой вершины треугольников.
    zjj=z(xj,  yj,  z0);
    zij=z(xi,  yj,  z0);
    zji=z(xj,  yi,  z0);
    if(z(xi,  yi,  z0)!=z0||z(xi,  yj,  z0)!=z0||z(xj,  yi,  z0)!=z0){//Используем функцию z(),  потому что z0 может оказаться переменной.
        v1x=(yj-yi)*(zji-zii);  //Вычислим векторное произведение векторов.
        v1y=(zij-zii)*(xj-xi);
        v1z=(yi-yj)*(xj-xi);
    }
    if(z(xj,  yj,  z0)!=z0||z(xi,  yj,  z0)!=z0||z(xj,  yi,  z0)!=z0){
        v2x=(yi-yj)*(zji-zjj);
        v2y=(zij-zjj)*(xi-xj);
        v2z=(yj-yi)*(xi-xj);
    }
    return (dl(v1x,  v1y,  v1z)+dl(v2x,  v2y,  v2z))/2;//Найдём площадь треугольников.
}

int main(){
    double xi,  xj,  yi,  yj,  s=0,  h,  z0=0;
    int a,  b,  c,  d;
    cin >> a >> b >> c >> d >> h;
    xi = a;
    while(xi<=(b-h)){
        yi=c;
        xj=xi+h;
        while(yi<=(d-h)){
            yj=yi+h;
            s+=ras(xi, xj, yi, yj);
            yi=yj;
        }
        xi=xj;
    }
    cout<<s;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double z(double x, double y, double &z0){

z0=7*y; //<-- место для ввода слагаемых функции f(x, y) не под корнем чётной степени.

return (1-x*x-y*y)<0? z0:sqrt(1-x*x-y*y)+z0;//<-- место для ввода функции z=f(x, y).

}

long double dl(double x, double y, double z){

return sqrt(x*x+y*y+z*z);//Длина вектора.

}

double ras(double xi, double xj, double yi, double yj){

double zii, zjj, zij, zji, v1x=0, v1y=0, v1z=0, v2x=0, v2y=0, v2z=0, z0=0;

zii=z(xi, yi, z0); //Найдём координату z каждой вершины треугольников.

zjj=z(xj, yj, z0);

zij=z(xi, yj, z0);

zji=z(xj, yi, z0);

if(z(xi, yi, z0)!=z0||z(xi, yj, z0)!=z0||z(xj, yi, z0)!=z0){//Используем функцию z(), потому что z0 может оказаться переменной.

v1x=(yj-yi)*(zji-zii); //Вычислим векторное произведение векторов.

v1y=(zij-zii)*(xj-xi);

v1z=(yi-yj)*(xj-xi);

}

if(z(xj, yj, z0)!=z0||z(xi, yj, z0)!=z0||z(xj, yi, z0)!=z0){

v2x=(yi-yj)*(zji-zjj);

v2y=(zij-zjj)*(xi-xj);

v2z=(yj-yi)*(xi-xj);

}

return (dl(v1x, v1y, v1z)+dl(v2x, v2y, v2z))/2;//Найдём площадь треугольников.

}

int main(){

double xi, xj, yi, yj, s=0, h, z0=0;

int a, b, c, d;

cin >> a >> b >> c >> d >> h;

xi = a;

while(xi<=(b-h)){

yi=c;

xj=xi+h;

while(yi<=(d-h)){

yj=yi+h;

s+=ras(xi, xj, yi, yj);

yi=yj;

}

xi=xj;

}

cout<<s;

return 0;

}

Условно отделим от функцию [latex]f\left( x, y\right)[/latex] слагаемые, что не под корнем, если такие имеются. Тогда [latex]z_0[/latex] равно части функции, что не под корнем. Для того, чтоб рассматривать площади треугольников, вершины которых выходят за область определения функции, доопределим их в [latex]z_0[/latex] по оси [latex]z[/latex]. Затем вычислим площадь треугольников, у которых как минимум одна вершина не лежит на [latex]z=z_0[/latex] .

Ссылки

Related Images:

А58б. Нахождение значения функции

28/09/2016 by Эммануил Прокопов

Задача. Дано действительное число [latex]a[/latex]. Для функций [latex]f\left( x \right)[/latex], графики которых представлены на рис. 1,а-1,г, вычислить [latex]f\left( a \right) [/latex].

Тесты.

[latex]a[/latex]	[latex]y[/latex]
-1	1
0	0
2	4
-2	0.25
1.6	2.56
7	4

Код программы (C++).

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    double a, y;
    cin >> a;
    if (a<-1)
    {
        y = 1/(a*a);
    }
    else
    {
        if (a>=-1 && a<=2)
        {
             y = a*a;
        }
        else
        {
            y = 4;
        }
    }
    cout << y;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double a, y;

cin >> a;

if (a<-1)

{

y = 1/(a*a);

}

else

{

if (a>=-1 && a<=2)

{

y = a*a;

}

else

{

y = 4;

}

cout << y;

return 0;

}

Код программы (Java).

import java.util.*;
 
class Main
{
    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double a, y;
        a = in.nextDouble();
        if (a < -1){
            y = 1/(a*a);
        }
        else{
            if (a >= -1 && a <= 2) y = a*a;
            else y = 4;
        }
        System.out.printf("%.8f\n", y);
    }
}

import java.util.*;

class Main

{

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double a, y;

a = in.nextDouble();

if (a < -1){

y = 1/(a*a);

}

else{

if (a >= -1 && a <= 2) y = a*a;

else y = 4;

}

System.out.printf("%.8f\n", y);

}

Решение.
На графике функции указано, чему равна [latex]f\left( x \right)[/latex] на каждом участке. В данной программе мы по очереди проверяем, какому из них принадлежит [latex]f\left( a \right)[/latex] и выбираем соответствующую формулу для расчёта [latex]y[/latex]. Поскольку участков всего три, достаточно проверить, принадлежит ли точка к двум из них. Ели нет, то она, очевидно, лежит на третьем.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

Related Images:

А57г. Функция

07/10/2015 by Александр Коломеец

Постановка задачи

Дано действительное число [latex]a[/latex]. Вычислить [latex]f(a)[/latex], если
[latex]f(x) = \begin{cases}0, & x \le 0;\\x^2 — x, & 0 < x \le 1;\\x^2 — \sin(\pi \cdot x^2), & x > 1 \end{cases}[/latex]

Алгоритм решения

Находим промежуток, которому принадлежит [latex]a[/latex]. Если [latex]a \in (-\infty;0][/latex], то [latex]f(a) = 0[/latex], если [latex]a \in (0;1][/latex], то [latex]f(a) = a^2 — a[/latex], в остальных случаях [latex]f(a) = a^2 — \sin(\pi \cdot a ^ 2)[/latex].

График функции:

Тесты

Входные данные	Выходные данные
0	0
1	0
2	4

Реализация

ideone: ссылка

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	double a;
	cin >> a;
	cout << (a <= 0 ? 0 : a <= 1 ? a * a - 1 : a * a - sin(M_PI * a * a)) << endl;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double a;

cin >> a;

cout << (a <= 0 ? 0 : a <= 1 ? a * a - 1 : a * a - sin(M_PI * a * a)) << endl;

return 0;

}

Related Images:

Ю11.12

21/10/2014 by Бронфен-Бова Роман

Задача:
Интерполяционный многочлен Лагранжа. Значения функции [latex]y=f\left(x\right)[/latex] заданы таблично в массиве [latex]Y\left(x\right)[/latex] при соответствующих значениях аргумента в упорядоченном массиве [latex]X\left(x\right)[/latex]. Найти значение функции в произвольной точке [latex]x[/latex] по формуле Лагранжа:
[latex]y={L}_{n}\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}{{y}_{i}\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}}[/latex]

Вводимые значения:

X:	-1	0	1	2
Y:	1	2	3	-1

Код программы:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

double LP(double x, vector<double> xv, vector<double> yv) { //Lagrange polynomial
	int size = xv.size(); //Количество точек (для удобства)
	double sum = 0; //Значение функции
	for(int i = 0; i < size; i++){
		double mul = 1; //Произведение
		for(int j = 0; j < size; j++){
			if(i!=j) mul *= (x - xv[j])/(xv[i]-xv[j]);
		}
		sum += yv[i]*mul;
	}
	return sum;
}

int main() {
	int counter = 0;
	double a = -3; //Левая грань
	double b = 3; //Правая грань
	int fragments = 101; //Разбиение
	vector<double> xv {};
	vector<double> yv {};
	double inp;
	while(cin >> inp) counter++%2 ? yv.push_back(inp) : xv.push_back(inp); //Заполнение
	for(int i = 0; i < fragments; i++){
		double x = a + (b-a)/(fragments-1)*i;
		printf("%6.3lf\t%6.3lf\n", x, LP(x, xv, yv));
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <vector>

using namespace std;

double LP(double x, vector<double> xv, vector<double> yv) { //Lagrange polynomial

int size = xv.size(); //Количество точек (для удобства)

double sum = 0; //Значение функции

for(int i = 0; i < size; i++){

double mul = 1; //Произведение

for(int j = 0; j < size; j++){

if(i!=j) mul *= (x - xv[j])/(xv[i]-xv[j]);

}

sum += yv[i]*mul;

}

return sum;

}

int main() {

int counter = 0;

double a = -3; //Левая грань

double b = 3; //Правая грань

int fragments = 101; //Разбиение

vector<double> xv {};

vector<double> yv {};

double inp;

while(cin >> inp) counter++%2 ? yv.push_back(inp) : xv.push_back(inp); //Заполнение

for(int i = 0; i < fragments; i++){

double x = a + (b-a)/(fragments-1)*i;

printf("%6.3lf\t%6.3lf\n", x, LP(x, xv, yv));

}

return 0;

}

Код программы на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class Main
{
 
	static double LP(double x, double[] xv, double[] yv){
		int size = xv.length;
		double sum = 0;
		for(int i = 0; i < size; i++){
			double mul = 1;
			for(int j = 0; j < size; j++){
				if(i != j){
					mul *= (x-xv[j])/(xv[i]-xv[j]);
				}
			}
			sum += yv[i]*mul;
		}
		return sum;
	}
 
	static Scanner sc = new Scanner(System.in);
 
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		int counter = 0;
		double a = -3;
		double b = 3;
		int fragments = 101;
		ArrayList<Double> xvinp = new ArrayList<Double>();
		ArrayList<Double> yvinp = new ArrayList<Double>();
		double[] xv;
		double[] yv;
		while(sc.hasNext()){
			double inp = sc.nextDouble();
			if(counter%2 == 0){
				xvinp.add(inp);
			}else{
				yvinp.add(inp);
			}
			counter++;
		}
		xv = new double[xvinp.size()];
		yv = new double[yvinp.size()];
		for(int i = 0; i < xvinp.size(); i++){
			xv[i] = xvinp.get(i);
			yv[i] = yvinp.get(i);
		}
		for(int i = 0; i < fragments; i++){
			double x = a + (b-a)/(fragments-1)*i;
			System.out.println(x + "\t" + LP(x, xv, yv));
		}
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

static double LP(double x, double[] xv, double[] yv){

int size = xv.length;

double sum = 0;

for(int i = 0; i < size; i++){

double mul = 1;

for(int j = 0; j < size; j++){

if(i != j){

mul *= (x-xv[j])/(xv[i]-xv[j]);

}

sum += yv[i]*mul;

}

return sum;

}

static Scanner sc = new Scanner(System.in);

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int counter = 0;

double a = -3;

double b = 3;

int fragments = 101;

ArrayList<Double> xvinp = new ArrayList<Double>();

ArrayList<Double> yvinp = new ArrayList<Double>();

double[] xv;

double[] yv;

while(sc.hasNext()){

double inp = sc.nextDouble();

if(counter%2 == 0){

xvinp.add(inp);

}else{

yvinp.add(inp);

}

counter++;

}

xv = new double[xvinp.size()];

yv = new double[yvinp.size()];

for(int i = 0; i < xvinp.size(); i++){

xv[i] = xvinp.get(i);

yv[i] = yvinp.get(i);

}

for(int i = 0; i < fragments; i++){

double x = a + (b-a)/(fragments-1)*i;

System.out.println(x + "\t" + LP(x, xv, yv));

}

Идея решения:
Использование отдельной функции, которой надо передать 3 параметра: значение аргумента, массив исходных значений аргумента и массив исходных значений функции при соответствующих аргументах. Эта функция возвращает значение многочлена Лагранжа при подстановки вместо [latex]x[/latex] конкретного значения.

В функции был использован внешний цикл for для вычисления суммы в формуле и внутренний цикл for для вычисления произведения [latex]\prod _{\underset{j\neq i}{j=1}}^{n}{\frac{x-{x}_{j}}{{x}_{i}-{x}_{j}}}[/latex].

В программе мы разбиваем отрезок [-3, 3] на 101 отдельную точку и вычисляем значение полинома Лагранжа для каждой из этих точек. Выводим на экран.

График:

Комментарии: Точки выбраны специально. Мне просто захотелось увидеть, как выглядит график функции, которую мы разбирали на паре (кстати по той же самой теме =) ). График сделан в xls. Векторы выбраны по причине ограниченности массива.

Related Images:

А58г

16/10/2014 by Швандт Максим Альбертович

Задача: Дано действительное число [latex]a[/latex]. Для функции [latex]f(x)[/latex], график которой представлен на рисунке, вычислить [latex]f(a)[/latex].
График:

Тесты:

a	f(a)
1	1
3.2	-0.015371
6	-0.027469
0	0
-1	1
-2.5	2.5
1.5	1
1.8	1
1.001	1

Код программы:

#include <stdio.h>

int main(void) {
	
   // Объявление переменных a, y, k, b типа float для хранения данных
   double a;
   double y;	
   double k;
   double b;	

   // Ввод пользователем значений переменной а с помощью scanf
   scanf("%lf", &a);
    
   // Вычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значения а,
   if( a <= 0 )
   { k = -1; b = 0; }
   else if ( a <= 1 )
   { k = 1; b = 0; }
   else if ( a < 2 )
   { k = 0; b = 1; }
   else 
   { k = -2; b = 5; }
   y = k*a + b;
    
   printf("result is %lf", y);
   // Завершение программы
   return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void) {

// Объявление переменных a, y, k, b типа float для хранения данных

double a;

double y;

double k;

double b;

// Ввод пользователем значений переменной а с помощью scanf

scanf("%lf", &a);

// Вычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значения а,

if( a <= 0 )

{ k = -1; b = 0; }

else if ( a <= 1 )

{ k = 1; b = 0; }

else if ( a < 2 )

{ k = 0; b = 1; }

else

{ k = -2; b = 5; }

y = k*a + b;

printf("result is %lf", y);

// Завершение программы

return 0;

}

Код программы на языке Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class GraphicApp
{
   public static Double scanDouble( Scanner in )
   {
       return ( ( in.hasNextDouble() ) ? in.nextDouble() : null );
   }
   
   public static void main( String[] args )
   {
      
      // ќбъ¤вление переменных a, y, k, b типа double дл¤ хранени¤ данных
      double a;
      double y;    
      double k;
      double b;    
      
      Scanner in = new Scanner(System.in);
      
      a = scanDouble( in );
       
      in.close(); 
       
      // ¬ычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значени¤ а,
      if( a <= 0 )
      { k = -1; b = 0; }
      else if ( a <= 1 )
      { k = 1; b = 0; }
      else if ( a < 2 )
      { k = 0; b = 1; }
      else 
      { k = -2; b = 5; }
      y = k*a + b;
       
      System.out.printf("result is %f\n", y);
   }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class GraphicApp

{

public static Double scanDouble( Scanner in )

{

return ( ( in.hasNextDouble() ) ? in.nextDouble() : null );

}

public static void main( String[] args )

{

// ќбъ¤вление переменных a, y, k, b типа double дл¤ хранени¤ данных

double a;

double y;

double k;

double b;

Scanner in = new Scanner(System.in);

a = scanDouble( in );

in.close();

// ¬ычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значени¤ а,

if( a <= 0 )

{ k = -1; b = 0; }

else if ( a <= 1 )

{ k = 1; b = 0; }

else if ( a < 2 )

{ k = 0; b = 1; }

else

{ k = -2; b = 5; }

y = k*a + b;

System.out.printf("result is %f\n", y);

}

Ссылка:http://ideone.com/e6UFys

Результат вычисляем по формуле:
[latex]y = ka + b[/latex] Программа состоит из следующих частей:

Объявление переменных a, y, k, b типа float для хранения данных
Ввод пользователем значений переменной а с помощью scanf
Вычисление и вывод результата по формуле с предварительным сравнением значения а
Завершение программы

Программа сравнивает значение переменной [latex]a[/latex] с значениями переменной [latex]x[/latex] на четырёх диапазонах, и в зависимости от диапазона использует для функции [latex]y = ka + b[/latex] нужные значения [latex]k[/latex] и [latex]b[/latex]. Так вычисляется [latex]f(a)[/latex].
Ссылка на ideone.com : http://ideone.com/N2toyp

Related Images:

А60б

23/09/2014 by Марченко Філіп Олександрович

Задача: Пусть [latex]D[/latex] — заштрихованная часть плоскости и пусть [latex]u[/latex] определяется по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] следующим образом ( запись [latex](x, y)\epsilon D[/latex] означает, что точка с координатами [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] принадлежит [latex]D[/latex]):

[latex]u=\left\{\begin{matrix}-3, \text{if} (x, y)\epsilon D\\ y^{2} \end{matrix}\right.[/latex]

Даны действительные числа [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]. Определить [latex]u[/latex].

Код на С++:

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	double x, y;  
	scanf (" %lf%lf ", &x, &y); // чтение из стандартного потока ввода.
	if (( x*x + y*y <= 1) && (y<=x/2)) {	//утверждение
		printf ("u=-3");		//истина
	}
	else {
		printf ("u = %2.2lf", y*y); 	//ложь
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double x, y;

scanf (" %lf%lf ", &x, &y); // чтение из стандартного потока ввода.

if (( x*x + y*y <= 1) && (y<=x/2)) { //утверждение

printf ("u=-3"); //истина

}

else {

printf ("u = %2.2lf", y*y); //ложь

}

return 0;

}

Тесты:

[latex]x[/latex]	[latex]y[/latex]	Результат [latex]u[/latex]
[latex]0[/latex]	[latex]0[/latex]	[latex]-3[/latex]
[latex]0[/latex]	[latex]1[/latex]	[latex]1. 00[/latex]
[latex]1[/latex]	[latex]0[/latex]	[latex]-3[/latex]
[latex]-1[/latex]	[latex]0[/latex]	[latex]0. 00[/latex]
[latex]0[/latex]	[latex]-1[/latex]	[latex]-3[/latex]
[latex]0,6[/latex]	[latex]0,8[/latex]	[latex]0. 64[/latex]
[latex]0,5[/latex]	[latex]-0,5[/latex]	[latex]-3[/latex]

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class circle {
	public static void main (String [] args){
		Scanner sc = new Scanner (System.in);
		double x, y;
		x = sc.nextDouble();
		y = sc.nextDouble();
		System.out.println ((( x*x + y*y <= 1) && (y <= x/2))? ("u = -3"):("u = " + y*y));
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class circle {

public static void main (String [] args){

Scanner sc = new Scanner (System.in);

double x, y;

x = sc.nextDouble();

y = sc.nextDouble();

System.out.println ((( x*x + y*y <= 1) && (y <= x/2))? ("u = -3"):("u = " + y*y));

}

Для того, чтобы определить находится ли нужная точка с координатами [latex](x,y)[/latex] в заштрихованной части графика, нужно задать такое условие, чтобы эта точка находилась в круге [latex]x^{2}+y^{2}=1[/latex] и была ниже прямой [latex]y=\frac{x}{2}[/latex].

Отсюда следует, что если [latex]x^{2}+y^{2}\leqslant1[/latex] и [latex]y\leqslant\frac{x}{2}[/latex], то точка принадлежит заштрихованной части круга.

Результат [latex]u[/latex] выводится с точностью до двух знаков после запятой.

Запустить код и проверить тесты можно тут: http://ideone.com/N3UoQ7.