e-olymp 4493. Трое из Простоквашино 3

19/05/2017 by Иванна Ялымова

Задача

[latex]-[/latex] Печкин, а я научился работать с деревом отрезков.

[latex]-[/latex] Заняться тебе нечем просто, Шарик. Лучше бы помог мне письма разносить.

[latex]-[/latex] Ну, Печкин, я уже даже выполнил задания Дяди Федора и Кота Матроскина, только этот Матроскин не захотел проверять, правильно ли я сделал.

[latex]-[/latex] Ну ладно, давай я проверю, что там надо было сделать?

[latex]-[/latex] У меня был массив чисел и множество запросов – представляющих собой либо запрос на изменение в массиве, либо содержащий число, для которого мне нужно было найти такой промежуток [[latex]l;r[/latex]], что максимум на этом промежутке был бы равен заданному числу. Можешь прочитать предыдущую задачу.

[latex]-[/latex] Разберемся…

Входные данные

В первой строке содержится одно число [latex]N[/latex] ([latex]1≤N≤106[/latex]) – количество элементов в массиве. В следующей строке находится [latex]N[/latex] целых, неотрицательных чисел, не превосходящих 109 – сами элементы массива. Затем следует число [latex]M[/latex] ([latex]1≤M≤105[/latex]) – количество запросов. Затем [latex]М[/latex] строк, первое число в каждой из которых означает тип запроса: если оно равно единице, то далее следует единственное число [latex]x[/latex], и Шарику надо было найти два числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], такие, что максимум на промежутке [[latex]l;r[/latex]], был равен [latex]x[/latex]. Если же тип запроса равен двум, то далее следует два числа [latex]pos[/latex] и [latex]val[/latex] и это значит, что элемент массива, стоящий на позиции [latex]pos[/latex], теперь изменен и он стал равен значению [latex]val[/latex]. Далее для каждого запроса с номером один содержится по строке с двумя числами [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex] – ответы Шарика.

Выходные данные

Для каждого ответа Шарика выведите [latex]»Yes»[/latex], если он ответил правильно и [latex]»No»[/latex], если Шарик ошибся. Заметьте, что хотя в предыдущей задаче было необходимо найти минимальные числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], здесь Печкин проверять этого не будет.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
5 1 2 4 3 1 5 1 4 1 5 2 3 5 1 1 1 4 1 3 1 5 5 5 2 4	Yes No Yes No

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
     
template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree
{
    TYPE *SegmentTree;
    POINTER_TYPE base_capacity = 0;
    TYPE (*g)(TYPE, TYPE);
    TYPE neutral;
     
    TYPE result_on_segment_in
    (
        POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,
        POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,
        POINTER_TYPE r
    )
    {
        if (l > r) return neutral;
        else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];
        else
        {
            POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;
            return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),
            result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));
        }
    }
     
    void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)
    {
        g = f;
        neutral = neutr;
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)
        {
            NewTree[i] = neutral;
        }
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)
        {
            NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);
        }
        SegmentTree = NewTree;
    }
     
    void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)
    {
        for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);
    }
     
    public:
     
    void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        POINTER_TYPE base_size = end - begin;
        fix_capacity(base_size);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(POINTER_TYPE i = 0; i < base_size; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = begin[i];
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);
    }
     
    void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        fix_capacity(amount_of_elements);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);
    }
     
    void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)
    {
        SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;
        for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)
        {
            SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);
        }
    }
     
    TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)
    {
        return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);
    }
};
     
unsigned int f()
{
    unsigned int X;
    cin >> X;
    return X;
}
     
unsigned int g(unsigned int a, unsigned int b)
{
    return max(a, b);
}
     
int main()
{
    unsigned int n, m;
    cin >> n;
    segment_tree <unsigned int, unsigned int> D;
    D.read_and_construct(n, f, g, 0);
     
    cin >> m;
    unsigned char *type = new unsigned char[m];
    unsigned int *a = new unsigned int[m], *b = new unsigned int[m], l, r;
     
    for (unsigned int i = 0; i < m; ++i)
    {
        cin >> type[i] >> a[i];
        if (type[i] == '2') cin >> b[i];
    }
     
    for (unsigned int i = 0; i < m; ++i)
    {
        while (i < m)
        {
            if (type[i] == '2')
            {
                D.assign(a[i]-1, b[i]);
                ++i;
            }
            else break;
        }
        cin >> l >> r;
        if (i < m)
        {
            if (D.result_on_segment(l-1, r-1) == a[i]) cout << "Yes\n";
            else cout << "No\n";
        }
    }
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

#include <iostream>

using namespace std;

template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree

{

TYPE *SegmentTree;

POINTER_TYPE base_capacity = 0;

TYPE (*g)(TYPE, TYPE);

TYPE neutral;

TYPE result_on_segment_in

(

POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,

POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,

POINTER_TYPE r

)

{

if (l > r) return neutral;

else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];

else

{

POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;

return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),

result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));

}

void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)

{

g = f;

neutral = neutr;

for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)

{

NewTree[i] = neutral;

}

for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)

{

NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);

}

SegmentTree = NewTree;

}

void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)

{

for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);

}

public:

void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

POINTER_TYPE base_size = end - begin;

fix_capacity(base_size);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(POINTER_TYPE i = 0; i < base_size; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = begin[i];

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);

}

void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

fix_capacity(amount_of_elements);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);

}

void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)

{

SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;

for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)

{

SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);

}

TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)

{

return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);

}

};

unsigned int f()

{

unsigned int X;

cin >> X;

return X;

}

unsigned int g(unsigned int a, unsigned int b)

{

return max(a, b);

}

int main()

{

unsigned int n, m;

cin >> n;

segment_tree <unsigned int, unsigned int> D;

D.read_and_construct(n, f, g, 0);

cin >> m;

unsigned char *type = new unsigned char[m];

unsigned int *a = new unsigned int[m], *b = new unsigned int[m], l, r;

for (unsigned int i = 0; i < m; ++i)

{

cin >> type[i] >> a[i];

if (type[i] == '2') cin >> b[i];

}

for (unsigned int i = 0; i < m; ++i)

{

while (i < m)

{

if (type[i] == '2')

{

D.assign(a[i]-1, b[i]);

++i;

}

else break;

}

cin >> l >> r;

if (i < m)

{

if (D.result_on_segment(l-1, r-1) == a[i]) cout << "Yes\n";

else cout << "No\n";

}

Решение

Учитывая то, что максимум является ассоциативной операцией, для решения задачи
воспользуемся универсальным деревом отрезков.
Так как во входном потоке сперва идут требуемые результаты максимума на
отрезке, затем модификации отрезка и в конце отрезки, для которых необходимо
совпадение требуемого и реального максимума, то не обойтись без
запоминания/меморизации входных данных.
После этого задача упрощается, и для решения остаётся только пересматривать
все события, и сопоставлять требуемые резальтаты максимума на заданных
отрезках с реальными.

Ссылки
Код на ideone.com
Задача с сайта e-olymp.com.
Засчитанное решение.

Related Images:

e-olymp 4496. Приключение Незнайки и его друзей

09/05/2017 by Эммануил Прокопов

Задача с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

Все мы помним историю о том, как Незнайка со своими друзьями летали на воздушном шаре путешествовать. Но не все знают, что не все человечки влезли в шар, так как у него была ограниченная грузоподъемность.

В этой задаче Вам необходимо узнать, сколько же человечков улетело путешествовать. Известно, что посадка в шар не является оптимальной, а именно: человечки садятся в шар в той очереди, в которой они стоят, как только кому-то из них не хватает места, он и все оставшиеся в очереди разворачиваются и уходят домой.

Входные данные

В первой строке содержится количество человечков [latex]n (1 ≤ n ≤ { 10 }^{ 6 })[/latex] в цветочном городе. Во второй строке заданы веса каждого из человечков в том порядке, в котором они будут садиться в шар. Все веса натуральные числа и не превышают [latex]{ 10 }^{ 9 }[/latex]. Далее следует количество запросов [latex]m (1 ≤ m ≤ { 10 }^{ 5 })[/latex]. Каждый запрос представляет собой одну строку. Если первое число в строке равно единице, то далее следует еще одно число [latex]v (1 ≤ v ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] – грузоподъемность воздушного шара. Если же оно равно двум, то далее следует два числа [latex]x (1 ≤ x ≤ n)[/latex] и [latex]y (1 ≤ y ≤ { 10 }^{ 9 })[/latex] — это значит, что вес человечка, стоящего на позиции [latex]x[/latex], теперь равен [latex]y[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса с номером один выведите в отдельной строке количество человечков, поместившихся в шар.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 1 2 3 4 5 5 1 7 1 3 2 1 5 1 7 1 3	3 2 2 0
2	2 1 2 3 1 4 2 1 10 1 4	2 0
3	2 999999999 1000000000 4 1 999999999 2 1 1000000000 1 999999999 1 1000000000	1 0 1

Код на C++

#include <iostream>
using namespace std;

//Дерево отрезков.
struct segment_tree{
    long *tree;
    
    //Конструктор.
    segment_tree(int length){
        tree = new long[4*length+1];
    }
    
    //Построение дерева отрезков по массиву a.
    void build(int *a, int v, int tree_l, int tree_r){
        if(tree_l == tree_r) tree[v] = a[tree_l];
        else{
            int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
            build(a, v*2, tree_l, tree_m);
            build(a, v*2+1, tree_m+1, tree_r);
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Присваивание человечку на позиции pos веса new_val.
    void update(int v, int tree_l, int tree_r, int pos, int new_val){
        if(tree_l == tree_r) tree[v] = new_val;
        else{
            int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
            if(pos <= tree_m){
                update(v*2, tree_l, tree_m, pos, new_val);
            }
            else{
                update(v*2+1, tree_m+1, tree_r, pos, new_val);
            }
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Нахождение количества поместившихся человечков.
    int find_numb_of_p(int v, int tree_l, int tree_r, int max_w){
        if(tree_l == tree_r) return tree[v] <= max_w;
        int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;
        if(tree[v*2] > max_w)
            return find_numb_of_p(v*2, tree_l, tree_m, max_w);
        else
            return tree_m - tree_l + 1 + find_numb_of_p(v*2+1, tree_m+1, tree_r, max_w-tree[v*2]);
    }
};
 
int main() {
    int n, m, *weights;
    cin >> n;
    //Заполнение массива весов человечков.
    weights = new int[n+1];
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        cin >> weights[i];
    }
    //Построение дерева отрезков.
    segment_tree tr(n);
    tr.build(weights, 1, 1, n);
    //Обработка запросов.
    cin >> m;
    int type, x, y, v;
    for(int i = 0; i < m; ++i){
        cin >> type;
        if(type == 2){
            cin >> x >> y;
            tr.update(1, 1, n, x, y);
        }
        else{
            cin >> v;
            cout << tr.find_numb_of_p(1, 1, n, v) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

//Дерево отрезков.

struct segment_tree{

long *tree;

//Конструктор.

segment_tree(int length){

tree = new long[4*length+1];

}

//Построение дерева отрезков по массиву a.

void build(int *a, int v, int tree_l, int tree_r){

if(tree_l == tree_r) tree[v] = a[tree_l];

else{

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

build(a, v*2, tree_l, tree_m);

build(a, v*2+1, tree_m+1, tree_r);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Присваивание человечку на позиции pos веса new_val.

void update(int v, int tree_l, int tree_r, int pos, int new_val){

if(tree_l == tree_r) tree[v] = new_val;

else{

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

if(pos <= tree_m){

update(v*2, tree_l, tree_m, pos, new_val);

}

else{

update(v*2+1, tree_m+1, tree_r, pos, new_val);

}

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Нахождение количества поместившихся человечков.

int find_numb_of_p(int v, int tree_l, int tree_r, int max_w){

if(tree_l == tree_r) return tree[v] <= max_w;

int tree_m = (tree_l + tree_r)/2;

if(tree[v*2] > max_w)

return find_numb_of_p(v*2, tree_l, tree_m, max_w);

else

return tree_m - tree_l + 1 + find_numb_of_p(v*2+1, tree_m+1, tree_r, max_w-tree[v*2]);

}

};

int main() {

int n, m, *weights;

cin >> n;

//Заполнение массива весов человечков.

weights = new int[n+1];

for(int i = 1; i <= n; ++i){

cin >> weights[i];

}

//Построение дерева отрезков.

segment_tree tr(n);

tr.build(weights, 1, 1, n);

//Обработка запросов.

cin >> m;

int type, x, y, v;

for(int i = 0; i < m; ++i){

cin >> type;

if(type == 2){

cin >> x >> y;

tr.update(1, 1, n, x, y);

}

else{

cin >> v;

cout << tr.find_numb_of_p(1, 1, n, v) << '\n';

}

return 0;

}

Код на Java

import java.util.*;
import java.io.*;
//Для решения задачи требуется читать целые числа быстрее, чем это можно делать при помощи Scanner.
class FastIntReader extends BufferedReader
{
    int cur, res;
    
    FastIntReader(InputStream s){super(new InputStreamReader(s));}
    
    int getNextInt() throws IOException
    {
        cur = read();
        res = 0;
        while(cur!=32 && cur!=-1 && cur != '\n'){
            res*=10;
            res += (int)(cur-'0');
            cur = read();
        }
        return res;
    }
}
//Дерево отрезков.
class SegmentTree
{
    static long []tree;
    //Конструктор.
    SegmentTree(int length){tree = new long[4*length+1];}
    
    void build(int v, int treeL, int treeR, FastIntReader in) throws IOException
    {
        
        if(treeL == treeR) tree[v] = in.getNextInt();
        else{
            int treeM = (treeL + treeR)/2;
            build(v*2, treeL, treeM, in);
            build(v*2+1, treeM+1, treeR, in);
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Присваивание человечку на позиции pos веса newVal.
    void update(int v, int treeL, int treeR, int pos, int newVal)
    {
        if(treeL == treeR) tree[v] = newVal;
        else{
            int treeM = (treeL + treeR)/2;
            if(pos <= treeM){
                update(v*2, treeL, treeM, pos, newVal);
            }
            else{
                update(v*2+1, treeM+1, treeR, pos, newVal);
            }
            tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
        }
    }
    
    //Нахождение количества поместившихся человечков.
    int findNumberOfPeople(int v, int treeL, int treeR, long max_w)
    {
        if(treeL == treeR){
            if(tree[v] <= max_w) return 1;
            else return 0;
        }
        int treeM = (treeL + treeR)/2;
        if(tree[v*2] > max_w)
            return findNumberOfPeople(v*2, treeL, treeM, max_w);
        else
            return treeM - treeL + 1 + findNumberOfPeople(v*2+1, treeM+1, treeR, max_w-tree[v*2]);
    }
}

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        FastIntReader in = new FastIntReader(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        //Построение дерева отрезков.
        int n, m;
        n = in.getNextInt();
        SegmentTree tr = new SegmentTree(n);
        tr.build(1, 1, n, in);
        //Обработка запросов.
        m = in.getNextInt();
        int type, x, y, v;
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            type = in.getNextInt();
            if(type == 2){
                x = in.getNextInt();
                y = in.getNextInt();
                tr.update(1, 1, n, x, y);
            }
            else{
                v = in.getNextInt();
                out.print(tr.findNumberOfPeople(1, 1, n, v));
                out.print('\n');
            }
        }
        out.flush();
    }
}

100

101

import java.util.*;

import java.io.*;

//Для решения задачи требуется читать целые числа быстрее, чем это можно делать при помощи Scanner.

class FastIntReader extends BufferedReader

{

int cur, res;

FastIntReader(InputStream s){super(new InputStreamReader(s));}

int getNextInt() throws IOException

{

cur = read();

res = 0;

while(cur!=32 && cur!=-1 && cur != '\n'){

res*=10;

res += (int)(cur-'0');

cur = read();

}

return res;

}

//Дерево отрезков.

class SegmentTree

{

static long []tree;

//Конструктор.

SegmentTree(int length){tree = new long[4*length+1];}

void build(int v, int treeL, int treeR, FastIntReader in) throws IOException

{

if(treeL == treeR) tree[v] = in.getNextInt();

else{

int treeM = (treeL + treeR)/2;

build(v*2, treeL, treeM, in);

build(v*2+1, treeM+1, treeR, in);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Присваивание человечку на позиции pos веса newVal.

void update(int v, int treeL, int treeR, int pos, int newVal)

{

if(treeL == treeR) tree[v] = newVal;

else{

int treeM = (treeL + treeR)/2;

if(pos <= treeM){

update(v*2, treeL, treeM, pos, newVal);

}

else{

update(v*2+1, treeM+1, treeR, pos, newVal);

}

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

}

//Нахождение количества поместившихся человечков.

int findNumberOfPeople(int v, int treeL, int treeR, long max_w)

{

if(treeL == treeR){

if(tree[v] <= max_w) return 1;

else return 0;

}

int treeM = (treeL + treeR)/2;

if(tree[v*2] > max_w)

return findNumberOfPeople(v*2, treeL, treeM, max_w);

else

return treeM - treeL + 1 + findNumberOfPeople(v*2+1, treeM+1, treeR, max_w-tree[v*2]);

}

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

FastIntReader in = new FastIntReader(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

//Построение дерева отрезков.

int n, m;

n = in.getNextInt();

SegmentTree tr = new SegmentTree(n);

tr.build(1, 1, n, in);

//Обработка запросов.

m = in.getNextInt();

int type, x, y, v;

for(int i = 0; i < m; ++i){

type = in.getNextInt();

if(type == 2){

x = in.getNextInt();

y = in.getNextInt();

tr.update(1, 1, n, x, y);

}

else{

v = in.getNextInt();

out.print(tr.findNumberOfPeople(1, 1, n, v));

out.print('\n');

}

out.flush();

}

Описание

В данной задаче требуется эффективно выполнять две операции: изменять значение одного из элементов массива и находить, сколько человечков поместится в шар при заданной грузоподъёмности. Это было реализовано при помощи структуры segment_tree. В функции main сначала вводится значение n и заполняется массив весов человечков weights, после чего по нему выполняется построение дерева отрезков tr. В его вершинах хранятся частичные суммы элементов массива. Да и в целом функции для построения и выполнения запроса модификации у него такие же, как и у обычного дерева отрезков для нахождения суммы на отрезке. Для удобства в массиве weights и в самом дереве используются элементы с первого по [latex]n[/latex]-й, а не с нулевого по [latex]\left( n-1 \right) [/latex]-й. Далее в ходе работы функции main в цикле выполняется обработка запросов. Сначала вводится тип запроса type. Если запрос второго типа, вводятся позиция человечка x, его новый вес y и вызывается метод update, пересчитывающий значения суммы в вершинах, на которые влияет это изменение. Иначе вводится грузоподъемность воздушного шара v и вызывается метод find_numb_of_p, который находит количество человечков, поместившихся в шар. Работает он следующим образом: если выполняется условие tree_l == tree_r, значит, рассматриваемый отрезок состоит из одного элемента, и функция возвращает [latex]1[/latex], если человечек может поместиться в шар, и [latex]0[/latex], если он слишком тяжёлый. Если отрезок больше, вычисляется индекс элемента, находящегося посередине tree_m. Далее, если сумма весов человечков в левом поддереве tree[v*2] больше, чем грузоподъёмность шара, то никто из правого поддерева уже не поместится, и искать следует только в левом поддереве. Иначе в шар следует посадить всех человечков из левого поддерева (их количество равно tree_m - tree_l + 1) и посмотреть, сколько поместится человечков из правого поддерева. При этом необходимо от максимально допустимого веса отнять вес человечков из левого поддерева, уже сидящих в шаре ( max_w-tree[v*2]).

Код на ideone.com. (C++)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (C++)
Код на ideone.com. (Java)
Засчитанное решение на e-olymp.com. (Java)
При решении задачи был использован материал с сайта e-maxx.ru.

Related Images:

e-olymp 3358. Чёрный ящик

05/05/2017 by Вадим Гордийчук

Задача

В черный ящик кладутся листки с написанными на них числами. На каждом листке — ровно одно целое число. Иногда некоторые листки исчезают из ящика. После каждого события (когда в ящик положили листок, или когда из ящика исчез листок), нужно вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в данный момент в ящике. Если таких чисел несколько, выведите наименьшее.

Входные данные

Первая строка содержит количество событий [latex]n[/latex] [latex]\left(1 \le n \le 2 \times 10^{5} \right)[/latex]. Каждая из следующих n строк содержит описание одного события:

[latex]+ x[/latex] — положен листок с числом [latex]x[/latex] [latex]\left(1 \le x \le 10^{6} \right)[/latex];
[latex]- x[/latex] — исчез листок с числом [latex]x[/latex] (гарантируется, что в ящике был хотя бы один листок с числом [latex]x[/latex]).

Выходные данные

Вывести в точности [latex]n[/latex] строк — по одной для каждого события. Каждая строка должна содержать одно число — ответ к задаче. Если после какого-то события ящик оказался пуст, следует вывести [latex]0[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 + 1 — 1 + 2	1 0 2
6 + 1 + 1000000 — 1 + 4 + 4 — 1000000	1 1 1000000 4 4 4
8 + 71 + 91 + 99 + 71 — 71 — 91 — 71 — 99	71 71 71 71 71 71 99 0

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree
{
    TYPE *SegmentTree;
    POINTER_TYPE base_capacity = 0;
    TYPE (*g)(TYPE, TYPE);
    TYPE neutral;
 
    TYPE result_on_segment_in
    (
        POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,
        POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,
        POINTER_TYPE r
    )
    {
        if (l > r) return neutral;
        else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];
        else
        {
            POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;
            return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),
            result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));
        }
    }
 
    void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)
    {
        g = f;
        neutral = neutr;
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)
        {
            NewTree[i] = neutral;
        }
        for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)
        {
            NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);
        }
        SegmentTree = NewTree;
    }
 
    void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)
    {
        for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);
    }
 
    public:
    void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(const POINTER_TYPE&), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        fix_capacity(amount_of_elements);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function(i);
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);
    }
 
    void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)
    {
        SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;
        for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)
        {
            SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);
        }
    }
 
    TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)
    {
        return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);
    }
};

struct leaf
{
    unsigned int number, amount;
    leaf()
    {
        number = 2000000;
        amount = 0;
    }

    leaf(unsigned int a)
    {
        number = a, amount = 0;
    }
};

leaf max_leafs(leaf a, leaf b)
{
    return
    (a.amount == b.amount) ?
        (a.number < b.number) ? a : b
    :
        (a.amount > b.amount) ? a : b;
}

leaf constructor(const unsigned int &i)
{
    return leaf(i);
}

int main()
{
    segment_tree <unsigned int, leaf> box;
    box.read_and_construct(1000001, constructor, max_leafs, leaf());

    unsigned int n, index;
    char operation;
    leaf tmp;

    scanf("%u\n", &n); ++n;
    while (--n)
    {
        scanf("%c %u\n", &operation, &index);
        tmp = box.result_on_segment(index, index);
        if (operation == '+') ++tmp.amount;
        else --tmp.amount;
        box.assign(index, tmp);
        printf("%u\n", (box.result_on_segment(0, 1000000)).number);
    }
    return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

#include <iostream>

using namespace std;

template <class POINTER_TYPE, class TYPE> class segment_tree

{

TYPE *SegmentTree;

POINTER_TYPE base_capacity = 0;

TYPE (*g)(TYPE, TYPE);

TYPE neutral;

TYPE result_on_segment_in

(

POINTER_TYPE v, POINTER_TYPE tl,

POINTER_TYPE tr, POINTER_TYPE l,

POINTER_TYPE r

)

{

if (l > r) return neutral;

else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];

else

{

POINTER_TYPE tm = (tl + tr) / 2;

return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),

result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));

}

void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const POINTER_TYPE &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)

{

g = f;

neutral = neutr;

for(POINTER_TYPE i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)

{

NewTree[i] = neutral;

}

for(POINTER_TYPE i = base_capacity-1; i > 0; --i)

{

NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);

}

SegmentTree = NewTree;

}

void fix_capacity(const POINTER_TYPE &base_array_size)

{

for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);

}

public:

void read_and_construct(const POINTER_TYPE amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(const POINTER_TYPE&), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

fix_capacity(amount_of_elements);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(POINTER_TYPE i = 0; i < amount_of_elements; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function(i);

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);

}

void assign(const POINTER_TYPE index, const TYPE new_value)

{

SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;

for (POINTER_TYPE i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)

{

SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);

}

TYPE result_on_segment (POINTER_TYPE l, POINTER_TYPE r)

{

return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);

}

};

struct leaf

{

unsigned int number, amount;

leaf()

{

number = 2000000;

amount = 0;

}

leaf(unsigned int a)

{

number = a, amount = 0;

}

};

leaf max_leafs(leaf a, leaf b)

{

return

(a.amount == b.amount) ?

(a.number < b.number) ? a : b

(a.amount > b.amount) ? a : b;

}

leaf constructor(const unsigned int &i)

{

return leaf(i);

}

int main()

{

segment_tree <unsigned int, leaf> box;

box.read_and_construct(1000001, constructor, max_leafs, leaf());

unsigned int n, index;

char operation;

leaf tmp;

scanf("%u\n", &n); ++n;

while (--n)

{

scanf("%c %u\n", &operation, &index);

tmp = box.result_on_segment(index, index);

if (operation == '+') ++tmp.amount;

else --tmp.amount;

box.assign(index, tmp);

printf("%u\n", (box.result_on_segment(0, 1000000)).number);

}

return 0;

}

Решение задачи

Проанализируем задачу: так как требуется вывести число, которое встречается чаще всего на листках, находящихся в ящике после запроса удаления/добавления, а если таких чисел несколько, то вывести наименьшее, то задачу можно переформулировать следующим образом:

«Даётся последовательность (массив) объектов leaf [latex]x_{1}[/latex], [latex]x_{2}[/latex], [latex]x_{3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{999999}[/latex], [latex]x_{1000000}[/latex], представляющих из себя пару (number, amount)[latex]=x_{i}=\left(i, a_{i}\right) \in {\mathbb{N}_{0}}^{2}[/latex], где первые элементы пар [latex]i[/latex] представляет из себя число/номер листка, а вторые элементы [latex]a_{i}[/latex] — число листков с этим номером. Изначально все элементы пар [latex]a_{i}[/latex] равны нулю (так как изначально ящик пуст). Для запросов первого типа [latex]+ x[/latex] необходимо увеличивать на единицу число [latex]a_{i}[/latex] объекта, у которого номер [latex]i[/latex] равен [latex]x[/latex], а для запросов второго типа — уменьшать. Для каждого запроса необходимо вывести число [latex]j[/latex], удовлетворяющее условию [latex]j = \min\limits_{i \in \mathbb{K}}{i}[/latex], где [latex]\mathbb{K} = \{i \mid a_{i} = \max\limits_{k \in \{1, 2, \ldots, 1000000\}}{a_{k}} \}[/latex]».

Иными словами, число [latex]i[/latex] соответствует некоторому элементу [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex], который в свою очередь определяется операцией такой, что [latex]i[/latex] и [latex]a_{i}[/latex] удовлетворяют приведённым выше условиям. Очевидно, что данная операция является ассоциативной (как объединение минимума и максимума на заданных множествах), а потому для решения задачи воспользуемся универсальным деревом отрезков.

Создадим дерево отрезков box методом read_and_construct из объектов leaf. Так как нумерация листков начинается с единицы, а их число не превышает [latex]10^{6}[/latex], зададим размер базы дерева отрезков [latex]10^{6}+1[/latex], добавив неё элемент с индексом [latex]0[/latex]. Модифицируем метод read_and_construct таким образом, чтобы в функцию-препроцессор передавался номер элемента [latex]i[/latex], дабы была возможность задавать элементам [latex]x_{i}[/latex] их первоначальные значения [latex]\left(i, 0\right)[/latex]. Вышеупомянутую операцию назовём max_leafs и определим таким образом, чтобы она принимала два аргумента [latex]x_{i} = \left(i, a_{i}\right)[/latex] и [latex]x_{j} = \left(j, a_{j}\right)[/latex] и возвращала тот из них, у которого значение [latex]a[/latex] является большим, а в случае равенства этих значений — аргумент с меньшим индексом. Нейтральным элементом относительно данной операции будет, очевидно, пара [latex]\left(+\infty, 0\right)[/latex], но в силу того, что номера элементов не превышают [latex]10^6[/latex], вместо неё мы будем пользоваться парой [latex]\left(2 \times 10^{6}, 0\right)[/latex].

Далее при запросах вида [latex]+ x[/latex] будем увеличивать соответствующее значение [latex]a_{x}[/latex] пары [latex]\left(x, a_{x}\right)[/latex] на единицу, а при запросах вида [latex]- x[/latex] — уменьшать. Для обоих запросов будем выводить номер заданного листка, который удовлетворяет приведённым в задаче условиям, с использованием метода result_on_segment на всём отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex]. Ответом для каждого запроса будет значение number пары, которую вернёт метод.

Примечание: ситуация когда ящик становится пустым нигде не обрабатывается, но в силу того, что мы определили массив на отрезке [latex]\left[0, 10^{6}\right][/latex] вместо [latex]\left[1, 10^{6}\right][/latex] в нём всегда есть пара [latex]\left(0, 0\right)[/latex] (листки с номером [latex]0[/latex], число (значение [latex]b[/latex]) которых всегда равно [latex]0[/latex] в силу того, что листки с номером [latex]0[/latex] в ящик не добавляются). Так как определённая нами операция всегда возвращает минимальный номер листка, число которого максимально, то в случае, когда ящик пуст (т.е. значения всех [latex]a_{i} = 0, i = 0, 1, \ldots, 10^{6}[/latex]) будет выводится номер листка [latex]0[/latex]. Этот побочный эффект данного нами определения массива решает эту ситуацию и завершает решение задачи.

Ссылки

Related Images:

Универсальное дерево отрезков

27/04/2017 by Вадим Гордийчук

Некоторые теоретические сведения

Обобщённое условие задач на дерево отрезков, как правило, выглядит так:
«Пусть дан моноид [latex]\left(\mathbb{G}, \circ\right)[/latex], где [latex]\mathbb{G}[/latex] — некоторое непустое множество, [latex]\circ[/latex] — ассоциативная бинарная алгебраическая операция на этом множестве, имеющая нейтральный элемент, [latex]A[/latex] — последовательность (массив) элементов из [latex]\mathbb{G}[/latex], содержащая [latex]n[/latex] элементов ([latex]n \in \mathbb{N}[/latex]; с математической точки зрения [latex]A[/latex] — вектор, построенный из элементов [latex]\mathbb{G}[/latex], или [latex]А = \left( x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1} \right) \in \mathbb{G}^{n}[/latex]).
Даётся [latex]m[/latex] ([latex]m \in \mathbb{N}[/latex]) запросов двух типов:
1) вычислить значение выражения [latex]x_{i} \circ x_{i+1} \circ \ldots \circ x_{j-1} \circ x_{j}[/latex] с заданными [latex]i[/latex], [latex]j[/latex] ([latex]0 \le i \le j \le n-1[/latex], [latex]i, j \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex]) и вывести его;
2) заменить значение элемента с индексом [latex]k[/latex] на [latex]y[/latex] ([latex]k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex], [latex]k \le n-1[/latex], [latex]y \in \mathbb{G}[/latex]).»

Как правило, человек, впервые увидевший задачу подобного рода, решает её следующим образом: для запросов первого типа (далее — запросы значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex]) создаётся вспомогательная переменная, изначально равная нейтральному элементу моноида (к примеру, если [latex]\left( \mathbb{G}, \circ \right) = \left( \mathbb{Z}, + \right)[/latex] то нейтральным элементом относительно [latex]+[/latex] является [latex]0[/latex]), и запускается цикл на заданном отрезке, который «прибавляет» к ней новые «слагаемые», а обработка запросов из пункта 2 реализуется через простое присваивание элементу массива с заданным индексом [latex]i[/latex] значения [latex]y[/latex]. Таким образом вычислительная сложность запросов замены составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], а запросов поиска значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex] в лучшем случае составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], когда [latex]i = j[/latex], а в худшем [latex]O\left(n\right)[/latex], когда [latex]i = 0[/latex], [latex]j = n-1[/latex].

Дерево отрезков — структура данных, которая позволяет сбалансировать операции замены и вычисления значения на заданном отрезке до вычислительной сложности [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex] и значительно улучшить общую сложность программы с [latex]O\left(n+n\cdot m\right) = O\left(n\cdot m\right)[/latex] до [latex]O\left(n+m\cdot\log_{2}{n}\right)[/latex].

Определение: массив/последовательность элементов/вектор, над которым построено дерево отрезков, называется базой дерева или просто базой, а число её элементов — её размерностью.

Задача 1: единичная модификация

Написать класс «дерево отрезков», применимый к любой задаче на моноиде, в которой присутствуют запросы замены элемента и результата операции на отрезке,
и таблицу его базовых функций и параметров.

Код класса

#include <iostream>
using namespace std;

template <class TYPE> class segments_tree
{
    TYPE *SegmentTree;
    size_t base_capacity = 0;
    TYPE (*g)(TYPE, TYPE);
    TYPE neutral;

    /*
    TYPE:
        Type of elements in the tree.

    SegmentTree: (pointer)
        Array-based tree of elements.

    base_capacity: (unsigned integer value)
        Parental array size, rounded to the closest upper power of 2.

    g: (pointer)
        Pointer to the funtion (associative binary operation), applied on the given array of elements.
        WARNING: The given function must be associative. The monoidal structure of the tree will be ruined otherwise.

    neutral: (array element)
        The value of element, which is neutral relatively to "g" function.

    ################################
    #### INNER HELPER FUNCTIONS ####
    ################################
    result_on_segment_in:
        returns value on segment [l, r];
    */
    TYPE result_on_segment_in
    (
        size_t v, size_t tl,
        size_t tr, size_t l,
        size_t r
    )
    {
        if (l > r) return neutral;
        else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];
        else
        {
            size_t tm = (tl + tr) / 2;
            return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),
            result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));
        }
    }

    /*
    make_monoid_and_fill_rest:
        - fills the unused space of array (which appears due to rounding of size of parental array)
        with neutral elements.
        - assigns the necessary values to the upper "vertexes" of the tree.
    */
    void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const size_t &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)
    {
        g = f;
        neutral = neutr;
        for(size_t i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)
        {
            NewTree[i] = neutral;
        }
        for(size_t i = base_capacity-1; i > 0; --i)
        {
            NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);
        }
        SegmentTree = NewTree;
    }

    /*
    fix_capacity:
        Rounds base_capacity of the base array to closest upper power of 2.
    */
    void fix_capacity(const size_t &base_array_size)
    {
        for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);
    }

    public:
    /*
    ##########################
    #### PUBLIC FUNCTIONS ####
    ##########################
    Definitions:
        n - amount of elements in the parental array;
        lb - binary logarithm.
        Lowest level of the tree - parental array (segment of elements, which is a base of the tree)
        and (if exists) unused space, filled with neutral elements.
    
    
    construct:
        Constructs the tree by copying elements of [begin; end) memory block into the segment tree,
        and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".
        Complexity: O(n).
    */
    void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        size_t base_size = end - begin;
        fix_capacity(base_size);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(size_t i = 0; i < base_size; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = begin[i];
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);
    }

    /*
    read_and_construct:
        Constructs the tree by filling with it with elements, created by "preprocessing_function",
        and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".
        This method is useful for creating tree by giving preprocessing_function an ability to read
        the data from the incoming stream, if the separate memorisation of the base array is not needed.
        Complexity: O(n).
    */
    void read_and_construct(const size_t amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        fix_capacity(amount_of_elements);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(size_t i = 0; i < amount_of_elements; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);
    }

    /*
    assign:
        Assigns new value to the element of base array with given index.
        Complexity: O(lb(n))
    */
    void assign(const size_t index, const TYPE new_value)
    {
        SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;
        for (size_t i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)
        {
            SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);
        }
    }

    /*
    result_on_segment:
        Returns value of operation on the given segment of parental array.
        Complexity: O(lb(n)).
    */
    TYPE result_on_segment (size_t l, size_t r)
    {
        return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);
    }
};

int sum(int a, int b)
{
    return a+b;
}

int main()
{
    return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

#include <iostream>

using namespace std;

template <class TYPE> class segments_tree

{

TYPE *SegmentTree;

size_t base_capacity = 0;

TYPE (*g)(TYPE, TYPE);

TYPE neutral;

TYPE:

Type of elements in the tree.

SegmentTree: (pointer)

Array-based tree of elements.

base_capacity: (unsigned integer value)

Parental array size, rounded to the closest upper power of 2.

g: (pointer)

Pointer to the funtion (associative binary operation), applied on the given array of elements.

WARNING: The given function must be associative. The monoidal structure of the tree will be ruined otherwise.

neutral: (array element)

The value of element, which is neutral relatively to "g" function.

################################

#### INNER HELPER FUNCTIONS ####

################################

result_on_segment_in:

returns value on segment [l, r];

TYPE result_on_segment_in

(

size_t v, size_t tl,

size_t tr, size_t l,

size_t r

)

{

if (l > r) return neutral;

else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];

else

{

size_t tm = (tl + tr) / 2;

return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),

result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));

}

make_monoid_and_fill_rest:

- fills the unused space of array (which appears due to rounding of size of parental array)

with neutral elements.

- assigns the necessary values to the upper "vertexes" of the tree.

void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const size_t &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)

{

g = f;

neutral = neutr;

for(size_t i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)

{

NewTree[i] = neutral;

}

for(size_t i = base_capacity-1; i > 0; --i)

{

NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);

}

SegmentTree = NewTree;

}

fix_capacity:

Rounds base_capacity of the base array to closest upper power of 2.

void fix_capacity(const size_t &base_array_size)

{

for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);

}

public:

##########################

#### PUBLIC FUNCTIONS ####

##########################

Definitions:

n - amount of elements in the parental array;

lb - binary logarithm.

Lowest level of the tree - parental array (segment of elements, which is a base of the tree)

and (if exists) unused space, filled with neutral elements.

construct:

Constructs the tree by copying elements of [begin; end) memory block into the segment tree,

and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".

Complexity: O(n).

void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

size_t base_size = end - begin;

fix_capacity(base_size);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(size_t i = 0; i < base_size; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = begin[i];

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);

}

read_and_construct:

Constructs the tree by filling with it with elements, created by "preprocessing_function",

and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".

This method is useful for creating tree by giving preprocessing_function an ability to read

the data from the incoming stream, if the separate memorisation of the base array is not needed.

Complexity: O(n).

void read_and_construct(const size_t amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

fix_capacity(amount_of_elements);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(size_t i = 0; i < amount_of_elements; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);

}

assign:

Assigns new value to the element of base array with given index.

Complexity: O(lb(n))

void assign(const size_t index, const TYPE new_value)

{

SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;

for (size_t i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)

{

SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);

}

result_on_segment:

Returns value of operation on the given segment of parental array.

Complexity: O(lb(n)).

TYPE result_on_segment (size_t l, size_t r)

{

return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);

}

};

int sum(int a, int b)

{

return a+b;

}

int main()

{

return 0;

}

Описание класса

Далее [latex]n[/latex] — размерность базы дерева.

Название объекта	Описание
Параметр
TYPE	Тип объектов дерева, над которыми будут проводится вычисления.
Внутренние объекты
SegmentTree	Массив, хранящий в себе дерево отрезков.
base_capacity	Переменная, хранящая округлённую к ближайшей большей степени двойки размерность базы дерева отрезков.
g	Указатель на функцию, которая представляет из себя ассоциативную бинарную операцию. Формально определяется как функция/операция.
neutral	Нейтральный элемент относительно бинарной операции g.
Методы класса
construct	Аргументы: Адрес начала полуинтервала [latex]a[/latex]; Адрес конца полуинтервала [latex]b[/latex]; Ассоциативная бинарная операция f; Нейтральный элемент относительно f. Генерирует базу на основе полуинтервала [latex]\left[a; b\right)[/latex], копируя его элементы внутрь дерева, и строит на основе этой базы дерево отрезков. Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].
read_and_construct	Аргументы: Размер базы дерева; Функция-препроцессор; Ассоциативная бинарная операция f; Нейтральный элемент относительно f. Генерирует базу на основе элементов, возвращаемых функцией-препроцессором, и строит на их основе дерево отрезков. Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].
assign	Аргументы: Индекс элемента; Новое значение элемента. Заменяет значение элемента с заданным индексом на новое. Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].
result_on_segment	Аргументы: Индекс левого конца отрезка; Индекс правого конца отрезка. Возвращает результат функции на заданном отрезке. Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

Инструкция по применению

Прежде всего, код универсального дерева отрезков необходимо скопировать в исходную программу.

Построение:

Создать тип объектов (структуру данных), который будет использоваться в дереве для вычислений; (в зависимости от задачи. Вполне может быть, что необходимый для решения задачи класс уже создан. Например — int или double.)
Инициализировать дерево отрезков, передав классу segments_tree в качестве параметра тип объектов, над которыми будут проводиться вычисления, и задав дереву имя. (инициализация класса segments_tree происходит аналогично инициализации класса vector)
Построить дерево отрезков на основе заданных элементов при помощи метода construct или read_and_construct, передав методу соответствующие параметры (упомянутые в таблице выше);

Далее для вычисления результатов на отрезках и модификаций элементов с заданным индексом использовать методы result_on_segment и assign соответственно.

Пример использования

Примечание: условие и альтернативное решение приведённой ниже задачи находится по этой ссылке.

Решение задачи №4082 на www.e-olymp.com

Так как в задаче необходимо выводить знак или произведения на заданных отрезках (либо нуль), то очевидно, что сами числа не интересуют нас. Тогда каждое из них можно представить в виде пары (zero, plus)[latex]= \left(a, b\right) \in \mathbb{B}^{2}[/latex] (где [latex]\mathbb{B}[/latex] — булево множество), где первый элемент пар [latex]a[/latex] будет характеризовать равенство числа нулю, а [latex]b[/latex] — его положительность. Назовём структуру данных пар такого типа number_sign. Функция make_number_sign будет преобразовывать числа типа short в number_sign. Затем определим для этой структуры функцию умножения prod формулой prod(number_sign a, number_sign b)[latex]=[/latex] (a.zero|b.zero, !(a.plus^b.plus));. В первой части формулы используется дизъюнкция, так как произведение нуля и произвольного числа всегда должно возвращать нуль, а во второй части — эквиваленция, так как результат произведения является отрицательным, если оба аргумента различны по знаку.

Затем, предварительно считав размер базы, конструируем дерево отрезков методом read_and_construct, передавая ему число элементов базы, анонимную функцию-препроцессор, которая считывает элементы базы из входного потока и которая преобразует их в тип данных number_sign, функцию произведения prod и её нейтральный элемент number_sign(), являющийся парой [latex]\left(0, 1\right)[/latex], который по сути представляет из себя число [latex]+1[/latex] (нейтральный элемент умножения).

Остальная часть решения требует только замены старых элементов новыми и вычислений результатов на отрезках, для чего есть готовые методы класса.

Фрагмент кода

#include <iostream>
using namespace std;

// . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
// . . . . segments_tree class . . . . . .
// . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

struct number_sign
{
    bool zero, plus;
    number_sign()
    {
        zero = 0;
        plus = 1;
    }
    number_sign(bool a, bool b)
    {
        zero = a;
        plus = b;
    }
};

number_sign make_number_sign(const short &X)
{
    return number_sign(X == 0, X > 0);
}

number_sign prod(number_sign a, number_sign b)
{
    return number_sign(a.zero|b.zero, !(a.plus^b.plus));
}

char sign(const number_sign d)
{
    if (d.zero) return '0';
    else if (d.plus) return '+';
    else return '-';
}

int main()
{
    unsigned int i, j, m;
    char q;
    short X;
    
    segments_tree <number_sign> A;
    number_sign *B, neutr;
    while (cin >> i)
    {
        scanf("%u", &m);
        A.read_and_construct(i, [] () {short X; scanf("%hd", &X); return make_number_sign(X);}, prod, number_sign());
        scanf("\n");
        ++m;
        while (--m)
        {
            scanf("%c%u", &q, &i);
            if (q == 'P')
            {
                scanf("%u", &j);
                printf("%c", sign(A.result_on_segment(i-1, j-1)));
            }
            else
            {
                scanf("%hd", &X);
                A.assign(i-1, make_number_sign(X));
            }
            scanf("\n");
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

// . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

// . . . . segments_tree class . . . . . .

// . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

struct number_sign

{

bool zero, plus;

number_sign()

{

zero = 0;

plus = 1;

}

number_sign(bool a, bool b)

{

zero = a;

plus = b;

}

};

number_sign make_number_sign(const short &X)

{

return number_sign(X == 0, X > 0);

}

number_sign prod(number_sign a, number_sign b)

{

return number_sign(a.zero|b.zero, !(a.plus^b.plus));

}

char sign(const number_sign d)

{

if (d.zero) return '0';

else if (d.plus) return '+';

else return '-';

}

int main()

{

unsigned int i, j, m;

char q;

short X;

segments_tree <number_sign> A;

number_sign *B, neutr;

while (cin >> i)

{

scanf("%u", &m);

A.read_and_construct(i, [] () {short X; scanf("%hd", &X); return make_number_sign(X);}, prod, number_sign());

scanf("\n");

++m;

while (--m)

{

scanf("%c%u", &q, &i);

if (q == 'P')

{

scanf("%u", &j);

printf("%c", sign(A.result_on_segment(i-1, j-1)));

}

else

{

scanf("%hd", &X);

A.assign(i-1, make_number_sign(X));

}

scanf("\n");

}

printf("\n");

}

return 0;

}

Задача 2

Дополнить класс «дерево отрезков» из первой задачи таким образом, чтобы для базы дерева были реализованы:

параметры «вместимость» и «размер»;
функции добавления нового элемента в базу;
функции, возвращающие размер базы и вместимость дерева;
функция изменения размера базы.

Написать таблицу новых функций и параметров.

Код класса

#include <iostream>
using namespace std;

template <class TYPE> class segments_tree
{
    TYPE *SegmentTree;
    size_t base_capacity = 0;
    TYPE (*g)(TYPE, TYPE);
    TYPE neutral;

    /*
    TYPE:
        Type of elements in the tree.

    SegmentTree: (pointer)
        Array-based tree of elements.

    base_capacity: (unsigned integer value)
        Parental array size, rounded to the closest upper power of 2.

    g: (pointer)
        Pointer to the funtion (associative binary operation), applied on the given array of elements.
        WARNING: The given function must be associative. The monoidal structure of the tree will be ruined otherwise.

    neutral: (array element)
        The value of element, which is neutral relatively to "g" function.

    ################################
    #### INNER HELPER FUNCTIONS ####
    ################################
    result_on_segment_in:
        returns value on segment [l, r];
    */
    TYPE result_on_segment_in
    (
        size_t v, size_t tl,
        size_t tr, size_t l,
        size_t r
    )
    {
        if (l > r) return neutral;
        else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];
        else
        {
            size_t tm = (tl + tr) / 2;
            return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),
            result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));
        }
    }

    /*
    make_monoid_and_fill_rest:
        - fills the unused space of array (which appears due to rounding of size of parental array)
        with neutral elements.
        - assigns the necessary values to the upper "vertexes" of the tree.
    */
    void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const size_t &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)
    {
        g = f;
        neutral = neutr;
        for(size_t i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)
        {
            NewTree[i] = neutral;
        }
        for(size_t i = base_capacity-1; i > 0; --i)
        {
            NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);
        }
        SegmentTree = NewTree;
    }

    /*
    fix_capacity:
        Rounds base_capacity of the base array to closest upper power of 2.
    */
    void fix_capacity(const size_t &base_array_size)
    {
        for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);
    }

    public:
    /*
    ##########################
    #### PUBLIC FUNCTIONS ####
    ##########################
    Definitions:
        n - amount of elements in the parental array;
        lb - binary logarithm.
        Lowest level of the tree - parental array (segment of elements, which is a base of the tree)
        and (if exists) unused space, filled with neutral elements.
    
    
    construct:
        Constructs the tree by copying elements of [begin; end) memory block into the segment tree,
        and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".
        Complexity: O(n).
    */
    void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        size_t base_size = end - begin;
        fix_capacity(base_size);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(size_t i = 0; i < base_size; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = begin[i];
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);
    }

    /*
    read_and_construct:
        Constructs the tree by filling with it with elements, created by "preprocessing_function",
        and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".
        This method is useful for creating tree by giving preprocessing_function an ability to read
        the data from the incoming stream, if the separate memorisation of the base array is not needed.
        Complexity: O(n).
    */
    void read_and_construct(const size_t amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)
    {
        fix_capacity(amount_of_elements);
        TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];
        for(size_t i = 0; i < amount_of_elements; ++i)
        {
            NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();
        }
        make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);
    }

    /*
    assign:
        Assigns new value to the element of base array with given index.
        Complexity: O(lb(n))
    */
    void assign(const size_t index, const TYPE new_value)
    {
        SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;
        for (size_t i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)
        {
            SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);
        }
    }

    /*
    result_on_segment:
        Returns value of operation on the given segment of parental array.
        Complexity: O(lb(n)).
    */
    TYPE result_on_segment (size_t l, size_t r)
    {
        return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);
    }
};

int main()
{
    return 0;
}

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

#include <iostream>

using namespace std;

template <class TYPE> class segments_tree

{

TYPE *SegmentTree;

size_t base_capacity = 0;

TYPE (*g)(TYPE, TYPE);

TYPE neutral;

TYPE:

Type of elements in the tree.

SegmentTree: (pointer)

Array-based tree of elements.

base_capacity: (unsigned integer value)

Parental array size, rounded to the closest upper power of 2.

g: (pointer)

Pointer to the funtion (associative binary operation), applied on the given array of elements.

WARNING: The given function must be associative. The monoidal structure of the tree will be ruined otherwise.

neutral: (array element)

The value of element, which is neutral relatively to "g" function.

################################

#### INNER HELPER FUNCTIONS ####

################################

result_on_segment_in:

returns value on segment [l, r];

TYPE result_on_segment_in

(

size_t v, size_t tl,

size_t tr, size_t l,

size_t r

)

{

if (l > r) return neutral;

else if (l == tl && r == tr) return SegmentTree[v];

else

{

size_t tm = (tl + tr) / 2;

return g(result_on_segment_in(v*2, tl, tm, l, min(r,tm)),

result_on_segment_in(v*2+1, tm+1, tr, max(l,tm+1), r));

}

make_monoid_and_fill_rest:

- fills the unused space of array (which appears due to rounding of size of parental array)

with neutral elements.

- assigns the necessary values to the upper "vertexes" of the tree.

void make_monoid_and_fill_rest(TYPE *NewTree, const size_t &n, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE &neutr)

{

g = f;

neutral = neutr;

for(size_t i = base_capacity+n; i < 2*base_capacity; ++i)

{

NewTree[i] = neutral;

}

for(size_t i = base_capacity-1; i > 0; --i)

{

NewTree[i] = g(NewTree[2*i], NewTree[2*i+1]);

}

SegmentTree = NewTree;

}

fix_capacity:

Rounds base_capacity of the base array to closest upper power of 2.

void fix_capacity(const size_t &base_array_size)

{

for (base_capacity = 1; base_capacity < base_array_size; base_capacity <<= 1);

}

public:

##########################

#### PUBLIC FUNCTIONS ####

##########################

Definitions:

n - amount of elements in the parental array;

lb - binary logarithm.

Lowest level of the tree - parental array (segment of elements, which is a base of the tree)

and (if exists) unused space, filled with neutral elements.

construct:

Constructs the tree by copying elements of [begin; end) memory block into the segment tree,

and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".

Complexity: O(n).

void construct(const TYPE *begin, const TYPE *end, TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

size_t base_size = end - begin;

fix_capacity(base_size);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(size_t i = 0; i < base_size; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = begin[i];

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, base_size, f, neutr);

}

read_and_construct:

Constructs the tree by filling with it with elements, created by "preprocessing_function",

and by building tree's structure using the given binary operation "f" and its neutral element "neutr".

This method is useful for creating tree by giving preprocessing_function an ability to read

the data from the incoming stream, if the separate memorisation of the base array is not needed.

Complexity: O(n).

void read_and_construct(const size_t amount_of_elements, TYPE preprocessing_function(), TYPE f(TYPE, TYPE), const TYPE neutr)

{

fix_capacity(amount_of_elements);

TYPE *NewTree = new TYPE[base_capacity*2];

for(size_t i = 0; i < amount_of_elements; ++i)

{

NewTree[base_capacity+i] = preprocessing_function();

}

make_monoid_and_fill_rest(NewTree, amount_of_elements, f, neutr);

}

assign:

Assigns new value to the element of base array with given index.

Complexity: O(lb(n))

void assign(const size_t index, const TYPE new_value)

{

SegmentTree[base_capacity+index] = new_value;

for (size_t i = (base_capacity+index)/2; i > 0; i /= 2)

{

SegmentTree[i] = g(SegmentTree[2*i], SegmentTree[2*i+1]);

}

result_on_segment:

Returns value of operation on the given segment of parental array.

Complexity: O(lb(n)).

TYPE result_on_segment (size_t l, size_t r)

{

return result_on_segment_in(1, 0, base_capacity-1, l, r);

}

};

int main()

{

return 0;

}

Описание дополнительных объектов класса

Название объекта	Описание
Новый внутренний объект
base_size	Переменная, хранящая размерность базы дерева отрезков.
Новые методы класса
begin	Аргументы: отсутствуют. Возвращает адрес начала базы. Вычислительная сложность: константа.
end	Аргументы: отсутствуют. Возвращает адрес конца базы. Вычислительная сложность: константа.
push_back	Аргумент: значение нового элемента базы. Добавляет новый элемент в конец базы. Вычислительная сложность: если база заполнена, то [latex]O\left(n\right)[/latex], иначе — [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].
pop_back	Аргументы: отсутствуют. Удаляет элемент в конце базы. Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].
insert	Аргументы: Индекс нового элемента; Значение нового элемента. Добавляет на заданную позицию базы новый элемент с заданным значением. Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].
erase	Аргумент: индекс удаляемого элемента. Удаляет из базы элемент с заданным индексом. Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].
size	Аргументы: отсутствуют. Возвращает размерность базы дерева. Вычислительная сложность: константа.
capacity	Аргументы: отсутствуют. Возвращает размерность базы дерева, округлённую к ближайшей большей степени двойки. Позволяет оценить число неиспользованных ячеек, на которые уже выделена память. Вычислительная сложность: константа.
resize	Аргумент: новый размер базы. Изменяет размер базы дерева, и преобразовывает незадействованные элементы в нейтральные Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex], если новый размер базы превысил вместимость дерева или является меньше, чем старый, и константа в противном случае.

Ссылки

Код универсального дерева отрезков;
Код универсального дерева отрезков (дополнение функциями вектора);
Код универсального дерева отрезков (множественная модификация);
Статья о дереве отрезков на e-maxx.ru, за которую выражаю unsigned long long int (то есть очень большую 🙂 ) благодарность её автору.

Related Images:

e-olymp 4481. В стране невыученных уроков

27/06/2016 by Катя Писова

Задача

Витя попал в страну невыученных уроков. Для того, чтобы вернуться домой ему нужно выполнить множество заданий. В этой задаче он должен выиграть у стражей в НОД-игру. Правила этой игры очень простые: есть массив натуральных чисел, после чего игроки выбирают два числа [latex]l[/latex] и [latex]r[/latex], и им надо посчитать наибольший общий делитель (НОД) всех элементов в массиве с индексами от [latex]l[/latex] до [latex]r[/latex] включительно. Кто быстрее посчитает, тот и выиграл. Чтобы избежать нечестных игр, они иногда заменяют некоторые числа в массиве на другие.

Витя очень хочет домой, помогите ему в этом, для чего напишите программу, которая будет очень быстро считать НОД на заданном промежутке.

Входные данные

Первая строка содержит количество элементов [latex]n[/latex] [latex](1\leq n\leq 10^5)[/latex] в массиве. Во второй строке находится [latex]n[/latex] чисел – элементы [latex]a_i[/latex] [latex](1\leq a_i\leq 10^9)[/latex] массива. В третьей строке находится количество запросов [latex]m[/latex] [latex](1\leq m\leq 10^5)[/latex]. Далее в [latex]m[/latex] строках находятся по три числа [latex]q[/latex], [latex]l[/latex], [latex]r[/latex] [latex](1\leq l\leq r\leq n)[/latex]. Если [latex]q=1[/latex], требуется посчитать НОД элементов на промежутке [latex][l,r][/latex], если [latex]q=2[/latex], то надо заменить элемент в позиции [latex]l[/latex] на число [latex]r[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса с номером [latex]l[/latex] в отдельной строке выведите ответ на запрос.

Тесты

Входные данные:	Выходные данные:
5 2 4 6 10 8 6 1 1 5 1 2 3 2 5 15 2 3 10 1 3 5 1 1 5	2 2 5 1

Код программы

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> tree;
int n;

int gcd (int a, int b){
    if (a == 0) return b;
   return gcd(b % a, a);
}

void build(int a[], int v = 1, int tl = 0, int tr = n - 1){
    if(tl == tr){
        tree[v] = a[tl];
    }else{
        int middle = (tl + tr) / 2;
        build(a, v * 2, tl, middle);
        build(a, v * 2 + 1, middle + 1, tr);
        tree[v] = gcd(tree[v * 2], tree[v * 2 + 1]);
    }
}
 
int get(int a[], int l, int r, int v = 1, int tl = 0, int tr = n-1){
    if(l > r){
        return 0;
    }
    if(tl == l && tr == r){
        return tree[v];
    }
    int middle = (tl + tr) / 2;
    int L = get(a, l, min(middle, r), v * 2, tl, middle);
    int R = get(a, max(middle + 1, l), r, v*2 + 1, middle + 1, tr);
    return gcd(L, R);

}
void update(int pos, int val, int v = 1, int tl = 0, int tr = n - 1){
    if(tl == tr){
        tree[v] = val;
    }else{
        int middle = (tl + tr) / 2;
        if(pos <= middle){
            update(pos, val, v * 2, tl, middle);
        }else{
            update(pos, val, v * 2 + 1, middle + 1, tr);
        }
        tree[v] = gcd(tree[v * 2], tree[v * 2 + 1]);
    }
}
 
int main(){
    cin >> n;
    int a[n];
    for (int i = 0; i < n; i++){
        cin >> a[i];
    }
    tree.resize(4 * n);
    build(a);
    int m, l, r, q; 
    cin >> m;
    while (m--){
        cin >> q >> l >> r;
        if (q == 1){
            cout << get(a, l - 1, r - 1) << endl;
        }
        else{
            update(l - 1, r);
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <vector>

using namespace std;

vector<int> tree;

int n;

int gcd (int a, int b){

if (a == 0) return b;

return gcd(b % a, a);

}

void build(int a[], int v = 1, int tl = 0, int tr = n - 1){

if(tl == tr){

tree[v] = a[tl];

}else{

int middle = (tl + tr) / 2;

build(a, v * 2, tl, middle);

build(a, v * 2 + 1, middle + 1, tr);

tree[v] = gcd(tree[v * 2], tree[v * 2 + 1]);

}

int get(int a[], int l, int r, int v = 1, int tl = 0, int tr = n-1){

if(l > r){

return 0;

}

if(tl == l && tr == r){

return tree[v];

}

int middle = (tl + tr) / 2;

int L = get(a, l, min(middle, r), v * 2, tl, middle);

int R = get(a, max(middle + 1, l), r, v*2 + 1, middle + 1, tr);

return gcd(L, R);

}

void update(int pos, int val, int v = 1, int tl = 0, int tr = n - 1){

if(tl == tr){

tree[v] = val;

}else{

int middle = (tl + tr) / 2;

if(pos <= middle){

update(pos, val, v * 2, tl, middle);

}else{

update(pos, val, v * 2 + 1, middle + 1, tr);

}

tree[v] = gcd(tree[v * 2], tree[v * 2 + 1]);

}

int main(){

cin >> n;

int a[n];

for (int i = 0; i < n; i++){

cin >> a[i];

}

tree.resize(4 * n);

build(a);

int m, l, r, q;

cin >> m;

while (m--){

cin >> q >> l >> r;

if (q == 1){

cout << get(a, l - 1, r - 1) << endl;

}

else{

update(l - 1, r);

}

return 0;

}

Алгоритм решения

Данная задача решена с помощью структуры данных «дерево отрезков». В каждой вершине дерева храним НОД всех чисел на соответствующем отрезке массива. Функции, отвечающие за построение самого дерева отрезков, нахождение НОД на отрезке и запрос на модификацию элемента являются рекурсивными. Дерево строим следующим образом: листьями данного дерева будут сами элементы исходного массива, а значения элементов, находящихся на уровень выше, будут представлять собой НОД двух соседних листов. Таким же образом считаем значения вершин следующего уровня и т.д. Чтобы найти НОД на заданном отрезке рассматриваем случаи расположения данного отрезка. Он может полностью принадлежать одному потомку, а может быть разбит между правым и левым потомками. В первом случае функцию запускаем от одного потомка и получаем требуемое, во втором случае функцию запускаем от двух потомков и находим от полученных результатов НОД. При выполнении запроса на модификацию запускаем функцию от корня, спускаемся до требуемого элемента, изменяем его, и поднимаемся обратно к корню, модифицируя значения вершин, для которых данный элемент является подотрезком.

В самой задаче, в зависимости от требуемого, в цикле находим НОД на заданном отрезке или выполняем модификацию элемента.

Для получения подробной информации о структуре данных «Дерево отрезков» можно перейти по данной ссылке
Ссылка на засчитанное решение на e-olymp
Ссылка на условие задачи
Ссылка на решение задачи на ideone.com

Related Images:

e-olymp 4082. Произведение на отрезке

27/06/2016 by Настя Филипчук

Условие задачи

Это нормально чувствовать себя взволнованным и напряженным за день до олимпиады по программированию. Чтобы расслабиться, вы пошли выпить со своими друзьями в соседний паб. Для сохранения остроты ума до следующего дня, Вы решили сыграть в следующую игру. Для начала Ваши друзья написали последовательность [latex] n [/latex] целых чисел [latex] x_{1}, x_{2},\cdots , x_{n} [/latex]. Потом следует [latex] k [/latex] раундов, на каждом из которых выполняется одна из следующих команд:

команда изменения, когда необходимо изменить одно значение в последовательности;
команда умножения, когда по заданным значениям [latex] i [/latex] и [latex] j [/latex] необходимо определить, является ли произведение [latex] x_{i}\cdot x_{i+1} \cdot \; \; \cdots \; \; \cdot x_{j-1} \cdot x_{j} [/latex] положительным, отрицательным или равным нулю.

Так как Вы находитесь в пабе, то штрафом за неправильный ответ будет употребление дополнительной пинты пива. Вы беспокоитесь, что это может негативно повлиять на Вас при участии в конкурсе на следующий день, и у Вас нет желания проверять на корректность теорию пика Баллмера. К счастью, друзья разрешили Вам пользоваться ноутбуком. Поскольку Вы больше доверяете Вашим способностям программировать, нежели математике, то было решено написать программу, которая поможет сыграть в игру.

Входные данные

Каждый тест состоит из нескольких строк. Первая строка каждого теста содержит два числа [latex] n [/latex] и [latex] k [/latex] ([latex] 1\leq n,k\leq 10^{5}[/latex]) — количество элементов в последовательности и число раундов в игре. Вторая строка содержит [latex] n [/latex] целых чисел [latex] x_{i} [/latex] — начальные значения последовательности ([latex] -100\leq x_{i}\leq 100[/latex] для [latex]i=1,2, \cdots ,n[/latex]). Каждая из следующих [latex] k [/latex] строк описывает команду, начинающуюся заглавной буквой [latex] C [/latex] или [latex] C [/latex]. Если это буква [latex] C [/latex], то строка содержит команду замены, за буквой следуют два числа [latex] i [/latex] и [latex] v [/latex], указывающих на то что [latex] x_{i} [/latex] необходимо заменить на [latex] v [/latex] ([latex] 1\leq i\leq n[/latex] и [latex]-100\leq v\leq 100[/latex]). Если это буква [latex] P [/latex], то строка задает команду умножения, за буквой следуют два числа [latex] i [/latex] и [latex] j [/latex] — необходимо вычислить произведение от [latex] x_{i} [/latex] до [latex] x_{i} [/latex] включительно ([latex] 1\leq i\leq j\leq n [/latex]) . Каждый тест содержит как минимум одну команду умножения.

Выходные данные

Для каждого теста вывести одну строку, содержащую ответы на все команды умножения. [latex] i [/latex]-ый символ строки является результатом [latex] i [/latex]-ой команды умножения. Если произведение положительно, то вывести символ [latex] + [/latex] (плюс); если произведение отрицательно, то вывести [latex] — [/latex] (минус); если произведение равно нулю, то вывести [latex] 0 [/latex] (ноль).

Тесты

Входные данные

Выходные данные

4 6

-2 6 0 -1

C 1 10

P 1 4

C 3 7

P 2 2

C 4 -5

P 1 4

5 9

1 5 -2 4 3

P 1 2

P 1 5

C 4 -5

P 1 5

P 4 5

C 3 0

P 1 5

C 4 -5

0+-

+-+-0

5 5

10 -2 0 5 1

C 1 0

P 1 4

C 2 7

P 1 1

C 2 0

6 4

0 20 0 30 0 -10

P 2 2

P 2 3

P 3 6

P 2 6

4 3

0 -1 -2 0

P 2 3

C 1 9

P 1 2

3 3

5 2 0

C 1 7

C 3 0

C 1 0

6 5

100 10 55 11 0 -33

P 1 4

C 5 6

C 3 72

C 5 -20

P 5 6

+000

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
 
void sequence(int* tree, int* given, int position, int i, int j) // посторение дерева
{
    if (i == j)
        tree[position] = given[i] > 0 ? 1 : (given[i] < 0 ? -1 : 0); // заменяем элементы последовательности на "1","-1","0" в соответсвии с условием для команды "P" 
    else if (i!=j)  // для остальных элементов воспользуемся следующим алгоритмом
    {
        int m = (i + j) / 2;
        sequence(tree, given, position * 2, i, m);
        sequence(tree, given, position * 2 + 1, m + 1, j);
        tree[position] = tree[position * 2] * tree[position * 2 + 1]; // элемент с номером (pos * 2) – левый потомок, а с (pos * 2 + 1) - правый потомок
    }
}

void For_C_command(int* tree, int position, int i, int j, int nposition, int v) // функция изменения элемента (для выполнения команлы "С")
{
    if (i == j)
        tree[position] = v > 0 ? 1 : (v < 0 ? -1 : 0);
    else if (i!=j)
    {
        int m = (i + j) / 2;
        if (nposition <= m)
            For_C_command(tree, position * 2, i, m, nposition, v);
        else
            For_C_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, nposition, v);
        tree[position] = tree[position * 2] * tree[position * 2 + 1];
    }
}
 
int For_P_command(int* tree, int position, int i, int j, int qi, int qj) // функция для выполнения команды "Р"
{
    if (i == qi && j == qj)
        return tree[position];
    else
    {
        int m = (i + j) / 2;
        if (qj <= m)
            return For_P_command(tree, position * 2, i, m, qi, qj);
        else if (qi >= m + 1)
            return For_P_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, qi, qj);
        else
            return For_P_command(tree, position * 2, i, m, qi, m) * For_P_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, m + 1, qj);
    }
}
 
int main() 
{
    ios::sync_with_stdio(false); // ускоряем чтение
    int n, k;
    while (cin >> n >> k)
    {
        int given[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >> given[i];
        int tree[n * 4];
        sequence(tree, given, 1, 0, n - 1);
        for (int i = 0; i < k; i++)
        {
            char command;
            int xi, xj;
            cin >> command >> xi >> xj;
            if (command == 'P')
            {   
                int x = For_P_command(tree, 1, 0, n - 1, xi - 1, xj - 1); // применяем функцию для команды "Р" и выполняем сравнения, соответствующие условию задачи
                if (x < 0)
                    printf("-");
                else if (x > 0)
                    printf("+");
                else 
                    printf("0");
            }
            else
                For_C_command(tree, 1, 0, n - 1, xi - 1, xj);
        }
        printf("\n");
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

void sequence(int* tree, int* given, int position, int i, int j) // посторение дерева

{

if (i == j)

tree[position] = given[i] > 0 ? 1 : (given[i] < 0 ? -1 : 0); // заменяем элементы последовательности на "1","-1","0" в соответсвии с условием для команды "P"

else if (i!=j) // для остальных элементов воспользуемся следующим алгоритмом

{

int m = (i + j) / 2;

sequence(tree, given, position * 2, i, m);

sequence(tree, given, position * 2 + 1, m + 1, j);

tree[position] = tree[position * 2] * tree[position * 2 + 1]; // элемент с номером (pos * 2) – левый потомок, а с (pos * 2 + 1) - правый потомок

}

void For_C_command(int* tree, int position, int i, int j, int nposition, int v) // функция изменения элемента (для выполнения команлы "С")

{

if (i == j)

tree[position] = v > 0 ? 1 : (v < 0 ? -1 : 0);

else if (i!=j)

{

int m = (i + j) / 2;

if (nposition <= m)

For_C_command(tree, position * 2, i, m, nposition, v);

else

For_C_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, nposition, v);

tree[position] = tree[position * 2] * tree[position * 2 + 1];

}

int For_P_command(int* tree, int position, int i, int j, int qi, int qj) // функция для выполнения команды "Р"

{

if (i == qi && j == qj)

return tree[position];

else

{

int m = (i + j) / 2;

if (qj <= m)

return For_P_command(tree, position * 2, i, m, qi, qj);

else if (qi >= m + 1)

return For_P_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, qi, qj);

else

return For_P_command(tree, position * 2, i, m, qi, m) * For_P_command(tree, position * 2 + 1, m + 1, j, m + 1, qj);

}

int main()

{

ios::sync_with_stdio(false); // ускоряем чтение

int n, k;

while (cin >> n >> k)

{

int given[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> given[i];

int tree[n * 4];

sequence(tree, given, 1, 0, n - 1);

for (int i = 0; i < k; i++)

{

char command;

int xi, xj;

cin >> command >> xi >> xj;

if (command == 'P')

{

int x = For_P_command(tree, 1, 0, n - 1, xi - 1, xj - 1); // применяем функцию для команды "Р" и выполняем сравнения, соответствующие условию задачи

if (x < 0)

printf("-");

else if (x > 0)

printf("+");

else

printf("0");

}

else

For_C_command(tree, 1, 0, n - 1, xi - 1, xj);

}

printf("\n");

}

Решение

Данная задача решается при помощи стандартного алгоритма по теме «Дерево отрезков» (данный алгоритм можно посмотреть на сайте e-maxx). Следовательно, при построении дерева сначала считывается массив, а после выполняется построение дерева (от корня). В том случае, если функция, строящая дерево, вызывалась от листа, все значения элементов массива записываются в дерево как [latex]1[/latex], если элемент больше нуля, если меньше нуля, то записывается как [latex]-1[/latex], а в случае равенства элемента нулю, он записывается [latex]0[/latex] (нулём). В ином случае (если функция вызывалась не от листа), она начинает вызываться рекурсивно от каждого из двух сыновей и перемножает вычесленные значения.

Для выполнения функции изменения элемента ей (функции) передаётся текущая вершина. Затем выполняется вызов из сына, сожержащего элемент с данным номером. Таким образом процесс доходит до листа, которому и присваевается значение. При чём, аналогично построению дерева, элементы записываются как [latex]1[/latex],[latex]-1[/latex] или же [latex]0[/latex].

Для выполнения команды умножения проверяется интервал запроса. В том случае, если они равны интервалам отрезка, возвращается значение элемента (вершины) с соответствующим индексом. Иначе, вызывается рекурсивная функция, которая запускается от правого, если границы запроса лежать в правом отрезке, или от левого сына текущей вершины, если, соответственно, границы исходного запроса лежат в левом отрезке. Рекурсивная функция перемножает полученные результаты в том случае, если она запускает и от левого, и от правого сыновей (т.е. интервал запроса принадлежит пересечению интервалов отрезка).

Далее (в программе) идёт процесс построения дерева и выполнение действий, удовлетворяющих команды, описанные в уловии задачи.

Ссылки

Рабочий код на Ideone.com
Засчитанное решение на e-olymp.com
При ришении данной задачи был использован материал по структурам данных «дерево отрезков» с сайта e-maxx.ru
Задача взята с сайта e-olymp.com

Related Images:

e-olymp 2941. Дима и массив

27/06/2016 by Кондратюк Настя

Задача взята с сайта e-olymp.com

Условие задачи

Мама подарила мальчику Диме массив длины [latex]n[/latex]. Массив этот не простой, а особенный. Дима может выбрать два числа [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex] ([latex]1\leq i\leq n[/latex], [latex]-1000\leq d\leq 1000[/latex]), и элемент с индексом [latex]i[/latex] магически становится равным [latex]d[/latex]. Дима играет со своим массивом, а мама время от времени задает ему вопросы — какова сумма всех чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex]? Дима легко справился с этими вопросами, сможете ли Вы?

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа [latex]n[/latex] и [latex]q[/latex] [latex]1\leq n\leq 5\cdot 10^{5},~1\leq q\leq 10^{5}[/latex] — количество элементов в массиве и суммарное количество операций и запросов соответственно. В следующей строке дано [latex]n[/latex] чисел [latex]a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}[/latex] [latex]\left ( -1000\leq a_{i}\leq 1000 \right )[/latex] — начальное состояние массива. В следующих [latex]q[/latex] строках заданы операции и запросы. Первый символ в строке может быть [latex]=[/latex] или [latex]?[/latex]. Если строка начинается с [latex]=[/latex], то это операция присваивания. Далее следуют [latex]i[/latex] и [latex]d[/latex], ограничения на которые описаны в условии. Если строка начинается с [latex]?[/latex], то это запрос. Далее следуют числа [latex]f[/latex] и [latex]t[/latex] [latex]\left (1\leq f,~t\leq n \right )[/latex].

Выходные данные

Для каждого запроса выведите сумму чисел в массиве с индексами от [latex]f[/latex] до [latex]t[/latex], по одному результату в строке.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 3 1 2 3 ? 1 3 = 3 2 ? 1 3	6 5
5 3 1 2 3 4 5 ? 1 5 = 1 7 ? 1 3	15 12
5 6 1 2 3 4 5 ? 1 5 = 1 0 ? 1 5 = 2 7 ? 1 5 ? 1 3	15 14 19 10

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
 
// построение дерева 
void build (int tree[], int arr[], int v, int left, int right) {   
    if (left != right) {
        int middle = (left + right) / 2;
        build (tree, arr, v*2, left, middle);
        build (tree, arr, v*2+1, middle+1, right);
        tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
    } else tree[v] = arr[left];}
 
// запрос суммы
int sum (int tree[], int v, int left, int right, int from, int to) { 
    if (from > to) return 0;
    if (from == left && to == right) return tree[v];
    int middle = (left + right) / 2;
    return sum(tree,v*2,left,middle,from,min(to,middle))+sum(tree,v*2+1,middle+1,right,max(from,middle+1),to);
}
 
// операция присваивания
void update (int tree[], int v, int left, int right, int index, int new_val) { 
    if (left != right) {
        int middle = (left + right) / 2;
        if (index <= middle) update (tree, v*2, left, middle, index, new_val);
        else update (tree, v*2+1, middle+1, right, index, new_val);
        tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];
    } else tree[v] = new_val;
}

int main() {
    int n, q, i, d, from, to;
    char query;
    cin >> n >> q;
    int size = 2*n; /* максимальный размер дерева*/
    int arr[n], tree[size];
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];
    /* передаем функции построения массив для записи дерева, исходный массив, 
       корень и границы отрезка, принадлежащего корню */
    build(tree, arr, 1, 0, n-1); 
    for (q; q>0; q--) {
        cin >> query;
        if (query == '=') {
            cin >> i >> d;
            update(tree, 1, 0, n-1, i-1, d); 
        } else if (query == '?') {
            cin >> from >> to;
            cout << sum(tree, 1, 0, n-1, from-1, to-1) << endl;
        }
    }
}

#include <iostream>

using namespace std;

// построение дерева

void build (int tree[], int arr[], int v, int left, int right) {

if (left != right) {

int middle = (left + right) / 2;

build (tree, arr, v*2, left, middle);

build (tree, arr, v*2+1, middle+1, right);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

} else tree[v] = arr[left];}

// запрос суммы

int sum (int tree[], int v, int left, int right, int from, int to) {

if (from > to) return 0;

if (from == left && to == right) return tree[v];

int middle = (left + right) / 2;

return sum(tree,v*2,left,middle,from,min(to,middle))+sum(tree,v*2+1,middle+1,right,max(from,middle+1),to);

}

// операция присваивания

void update (int tree[], int v, int left, int right, int index, int new_val) {

if (left != right) {

int middle = (left + right) / 2;

if (index <= middle) update (tree, v*2, left, middle, index, new_val);

else update (tree, v*2+1, middle+1, right, index, new_val);

tree[v] = tree[v*2] + tree[v*2+1];

} else tree[v] = new_val;

}

int main() {

int n, q, i, d, from, to;

char query;

cin >> n >> q;

int size = 2*n; /* максимальный размер дерева*/

int arr[n], tree[size];

for(int i = 0; i < n; i++) cin >> arr[i];

/* передаем функции построения массив для записи дерева, исходный массив,

корень и границы отрезка, принадлежащего корню */

build(tree, arr, 1, 0, n-1);

for (q; q>0; q--) {

cin >> query;

if (query == '=') {

cin >> i >> d;

update(tree, 1, 0, n-1, i-1, d);

} else if (query == '?') {

cin >> from >> to;

cout << sum(tree, 1, 0, n-1, from-1, to-1) << endl;

}

ideone.com

Засчитанное решение на e-olymp.com.

Решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться структурой данных «дерево отрезков».

Для построения дерева считываем исходный массив, затем запускаем функцию построения от корня дерева. Если длина массива не равна единице или функция была запущена не от листа, то она вызывается рекурсивно от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения. Если функция построения была вызвана от листа, то значения элементов массива записываются в дерево.

Для операции присваивания передаем рекурсивной функции текущую вершину дерева и она выполняет вызов от одного из своих сыновей, который содержит элемент с данным индексом. Пересчитывает суммы и доходит до листа, которому присваивается новое значение.

Для выполнения запроса суммы также используется рекурсивная функция. Она запускается либо от правого, либо от левого сына текущей вершины, если границы исходного запроса лежат в одном из их отрезков. Либо запускается от обоих сыновей, если границы исходного запроса принадлежат пересечению их отрезков, суммируя результаты двух запросов. Таким образом функция доходит до отрезка, границы которого совпадают с текущим запросом или до листа и возвращает их значение.

Для решения данной задачи были использованы материалы сайта e-maxx.ru.

Related Images:

e-olimp 2907. Можете ли Вы ответить на эти вопросы — 3

24/06/2016 by Таня Корнилова

Условие

Задана последовательность целых чисел [latex]a_1, a_2, \ldots, a_n[/latex] ([latex]| a_i | \le 10000[/latex], [latex]1 \le n \le 50000[/latex]). Над ней Вам следует выполнить [latex]m[/latex] ([latex]m \le 50000[/latex]) операций:

модифицировать [latex]i[/latex]-ый элемент последовательности
для заданных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] вывести [latex]MAX[/latex] [latex]\{ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j[/latex], [latex]x \le i \le j \le y \}[/latex]

Входные данные

Первая строка содержит значение n. Следующая строка содержит n целых чисел, задающих последовательность [latex]a_1, a_2, \ldots, a_n[/latex]. Третья строка содержит число [latex]m[/latex]. Следующие [latex]m[/latex] строк содержат запросы вида:

[latex]0[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex]: изменить [latex]a_x[/latex] на [latex]y[/latex] ([latex]| y | \le 10000[/latex]).
[latex]1[/latex] [latex]x[/latex] [latex]y[/latex]: вывести [latex]MAX[/latex] [latex]\{ a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j, x \le i \le j \le y \}[/latex]

Код программы

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    struct data {
        int sum, pref, suff, ans;
    };
    data combine (data l, data r) {
        data res;
        res.sum = l.sum + r.sum;
        res.pref = max (l.pref, l.sum + r.pref);
        res.suff = max (r.suff, r.sum + l.suff);
        res.ans = max (max (l.ans, r.ans), l.suff + r.pref);
        return res;
    }
    data make_data (int val) {
        data res;
        res.sum = val;
        res.pref = res.suff = res.ans = val;
        return res;
    }
    void build (int a[], int v, int tl, int tr, data t[]) {
        if (tl == tr)
            t[v] = make_data (a[tl]);
        else {
            int tm = (tl + tr) / 2;
            build (a, v*2, tl, tm, t);
            build (a, v*2+1, tm+1, tr, t);
            t[v] = combine (t[v*2], t[v*2+1]);
        }
    }
    void update (int v, int tl, int tr, int pos, int new_val, data t[]) {
        if (tl == tr)
            t[v] = make_data (new_val);
        else {
            int tm = (tl + tr) / 2;
            if (pos <= tm)
                update (v*2, tl, tm, pos, new_val, t);
            else
                update (v*2+1, tm+1, tr, pos, new_val, t);
            t[v] = combine (t[v*2], t[v*2+1]);
        }
    }
    data query (int v, int tl, int tr, int l, int r, data t[]) {
        if (l == tl && tr == r)
            return t[v];
        int tm = (tl + tr) / 2;
        if (r <= tm)
            return query (v*2, tl, tm, l, r, t);
        if (l > tm)
            return query (v*2+1, tm+1, tr, l, r, t);
        return combine (
            query (v*2, tl, tm, l, tm, t),
            query (v*2+1, tm+1, tr, tm+1, r, t)
        );
    }
     
    int main() {
        int n, m, x, y;
        cin >> n;
        int* a = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> a[i];
        }
        data* t = new data[4*n];
        build(a, 1, 0, n-1, t);
        cin >> m ;
        bool oper;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            cin >> oper >> x >> y;
            if(!oper) {
                update (1, 0, n-1, x-1, y, t);
            } else if(oper) {
                cout << query (1, 0, n-1, x-1, y-1, t).ans << endl;
     
            }
        }
        return 0;
    }

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

struct data {

int sum, pref, suff, ans;

};

data combine (data l, data r) {

data res;

res.sum = l.sum + r.sum;

res.pref = max (l.pref, l.sum + r.pref);

res.suff = max (r.suff, r.sum + l.suff);

res.ans = max (max (l.ans, r.ans), l.suff + r.pref);

return res;

}

data make_data (int val) {

data res;

res.sum = val;

res.pref = res.suff = res.ans = val;

return res;

}

void build (int a[], int v, int tl, int tr, data t[]) {

if (tl == tr)

t[v] = make_data (a[tl]);

else {

int tm = (tl + tr) / 2;

build (a, v*2, tl, tm, t);

build (a, v*2+1, tm+1, tr, t);

t[v] = combine (t[v*2], t[v*2+1]);

}

void update (int v, int tl, int tr, int pos, int new_val, data t[]) {

if (tl == tr)

t[v] = make_data (new_val);

else {

int tm = (tl + tr) / 2;

if (pos <= tm)

update (v*2, tl, tm, pos, new_val, t);

else

update (v*2+1, tm+1, tr, pos, new_val, t);

t[v] = combine (t[v*2], t[v*2+1]);

}

data query (int v, int tl, int tr, int l, int r, data t[]) {

if (l == tl && tr == r)

return t[v];

int tm = (tl + tr) / 2;

if (r <= tm)

return query (v*2, tl, tm, l, r, t);

if (l > tm)

return query (v*2+1, tm+1, tr, l, r, t);

return combine (

query (v*2, tl, tm, l, tm, t),

query (v*2+1, tm+1, tr, tm+1, r, t)

);

}

int main() {

int n, m, x, y;

cin >> n;

int* a = new int[n];

for(int i = 0; i < n; i++) {

cin >> a[i];

}

data* t = new data[4*n];

build(a, 1, 0, n-1, t);

cin >> m ;

bool oper;

for(int i = 0; i < m; i++) {

cin >> oper >> x >> y;

if(!oper) {

update (1, 0, n-1, x-1, y, t);

} else if(oper) {

cout << query (1, 0, n-1, x-1, y-1, t).ans << endl;

}

return 0;

}

Для запроса на выполнение программы нажать здесь.

Ссылка на использованный алгоритм.

Ссылка на засчитанное решение.

Related Images:

e-olymp 2955. Персистентый массив

19/05/2016 by Сплошнов Кирилл

Условие

Задача взята отсюда.

Дан массив (вернее, первая, начальная его версия). Нужно уметь отвечать на два запроса:

[latex]a_i[j] = x[/latex] — создать из [latex]i[/latex]-ой версии новую, в которой [latex]j[/latex]-ый элемент равен [latex]x[/latex], а остальные элементы такие же, как в [latex]i[/latex]-ой версии.
[latex]get[/latex] [latex]a_i[j][/latex] — сказать, чему равен [latex]j[/latex]-ый элемент в [latex]i[/latex]-ой версии.

Входные данные

Количество чисел в массиве [latex]n[/latex] [latex](1 \leq n \leq 10^5)[/latex] и [latex]n[/latex] элементов массива. Далее количество запросов [latex]m[/latex] [latex](1 \leq m \leq 10^5)[/latex] и [latex]m[/latex] запросов. Формат описания запросов можно посмотреть в примере. Если уже существует [latex]k[/latex] версий, новая версия получает номер [latex]k + 1[/latex]. И исходные, и новые элементы массива — целые числа от [latex]0[/latex] до [latex]10^9[/latex]. Элементы в массиве нумеруются числами от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex].

Выходные данные

На каждый запрос типа [latex]get[/latex] вывести соответствующий элемент нужного массива.

Тесты

№	Входные данные	выходные данные
1	6 1 2 3 4 5 6 11 create 1 6 10 create 2 5 8 create 1 5 30 get 1 6 get 1 5 get 2 6 get 2 5 get 3 6 get 3 5 get 4 6 get 4 5	6 5 10 5 10 8 6 30
2	2 42 2048 17 create 1 1 1 create 2 2 1 create 3 2 5 create 3 1 4 create 5 2 6 get 1 1 get 1 2 get 2 1 get 2 2 get 3 1 get 3 2 get 4 1 get 4 2 get 5 1 get 5 2 get 6 1 get 6 2	42 2048 1 2048 1 1 1 5 4 1 4 6

Код

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

struct Node
{
    Node* lchild;
    Node* rchild;
    int val;
};

void build(Node* node, int* base, int l, int r)
{
    if (l == r)
        node->val = base[l-1]; //дерево пронумеровано с единицы
    else
    {
        int m = (l + r) / 2;
        node->lchild = new Node();
        build(node->lchild, base, l, m);
        node->rchild = new  Node();
        build(node->rchild, base, m + 1, r);
    }
}

void add(Node* to, Node* from, int l, int r, int npos, int nv)
{
    if (l == r)
        to->val = nv;
    else
    {
        int m = (l + r) / 2;
        if (npos <= m)
        {
            to->rchild = from->rchild;
            Node* left = new Node();
            add(left, from->lchild, l, m, npos, nv);
            to->lchild = left;
        }
        else
        {
            to->lchild = from->lchild;
            Node* right = new Node();
            add(right, from->rchild, m + 1, r, npos, nv);
            to->rchild = right;
        }
    }
}

int get(Node* node, int l, int r, int pos)
{
    if (l == r)
        return node->val;
    else
    {
        int m = (l + r) / 2;
        if (pos <= m)
            return get(node->lchild, l, m, pos);
        else
            return get(node->rchild, m + 1, r, pos);
    }
}

int main() 
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    int base[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> base[i];
    vector<Node*> versions;
    versions.push_back(new Node());
    build(versions.at(0), base, 1, n);
    int k;
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        string s;
        cin >> s;
        if (s == "create")
        {
            int rootPos, newPos, newVal;
            cin >> rootPos >> newPos >> newVal;
            versions.push_back(new Node());
            add(versions.back(), versions.at(rootPos-1), 1, n, newPos, newVal);
        }
        else
        {
            int rootPos, valPos;
            cin >> rootPos >> valPos;
            cout << get(versions.at(rootPos-1), 1, n, valPos) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <vector>

using namespace std;

struct Node

{

Node* lchild;

Node* rchild;

int val;

};

void build(Node* node, int* base, int l, int r)

{

if (l == r)

node->val = base[l-1]; //дерево пронумеровано с единицы

else

{

int m = (l + r) / 2;

node->lchild = new Node();

build(node->lchild, base, l, m);

node->rchild = new Node();

build(node->rchild, base, m + 1, r);

}

void add(Node* to, Node* from, int l, int r, int npos, int nv)

{

if (l == r)

to->val = nv;

else

{

int m = (l + r) / 2;

if (npos <= m)

{

to->rchild = from->rchild;

Node* left = new Node();

add(left, from->lchild, l, m, npos, nv);

to->lchild = left;

}

else

{

to->lchild = from->lchild;

Node* right = new Node();

add(right, from->rchild, m + 1, r, npos, nv);

to->rchild = right;

}

int get(Node* node, int l, int r, int pos)

{

if (l == r)

return node->val;

else

{

int m = (l + r) / 2;

if (pos <= m)

return get(node->lchild, l, m, pos);

else

return get(node->rchild, m + 1, r, pos);

}

int main()

{

ios::sync_with_stdio(false);

int n;

cin >> n;

int base[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> base[i];

vector<Node*> versions;

versions.push_back(new Node());

build(versions.at(0), base, 1, n);

int k;

cin >> k;

for (int i = 0; i < k; i++)

{

string s;

cin >> s;

if (s == "create")

{

int rootPos, newPos, newVal;

cin >> rootPos >> newPos >> newVal;

versions.push_back(new Node());

add(versions.back(), versions.at(rootPos-1), 1, n, newPos, newVal);

}

else

{

int rootPos, valPos;

cin >> rootPos >> valPos;

cout << get(versions.at(rootPos-1), 1, n, valPos) << endl;

}

return 0;

}

Решение

Для решения задачи воспользуемся так называемым Персистентным Деревом Отрезков — т.е. деревом, «помнящим» историю своих изменений. Дерево будем хранить не с помощью массива а на указателях — используя структуру типа «узел».

struct Node
{
Node* lchild;
Node* rchild;
int val;
};

struct Node

{

Node* lchild;

Node* rchild;

int val;

};

(Тут [latex]lchild[/latex] и [latex]rchild[/latex] — ссылки на левый и правый поддеревья соответственно, а [latex]val[/latex] — значение, хранящееся в узле.)

Замечание: тут и далее под левым подотрезком отрезка [latex][l, l + 1, \ldots, m, m + 1, \ldots, r — 1, r][/latex], [latex]m = \lfloor\frac{l + r}{2}\rfloor[/latex] подразумевается отрезок [latex][l, \ldots, m][/latex] а под правым — [latex][m + 1, \ldots, r][/latex].

Заведем вектор-хранилище корней дерева [latex]versions[/latex] (об этом позднее). Для начала занесем туда 1 элемент — корень изначального дерева, и построим на нем дерево из элементов массива. Вопрос в том, какую информацию хранить в вершинах дерева? Оказывается, достаточно хранить в листьях элементы массива, а остальные узлы заполнять ни чем не надо — исходя из условия, запросы будут только к конкретным элементам массива. Рекурсивная процедура построения дерева стандартна, отличается только технической реализацией (вместо номеров вершин передаем ссылки на необходимые нам узлы) — рекурсивно создаем у текущего узла [latex]lchild[/latex] и [latex]rchild[/latex] и вызываем функцию построения для них, пока длина отрезка, за который они отвечают, не станет равна единице. Тогда присваиваем полю [latex]val[/latex] этого узла значение соотв. элемента массива.

Например, для массива {[latex]1, 2, 3, 4, 5, 6[/latex]} в результате построения мы получим следующую структуру (где на самом деле значения хранятся только на отрезках длины [latex]1[/latex], для остальных узлов подотрезки массива, отвечающие им, только подразумеваются).

Теперь разберемся, как эффективно создавать новые версии массива. Пусть у нас уже есть [latex]k[/latex] версий массива и мы хотим создать из [latex]i[/latex]-й [latex](k+1)[/latex]-ю. Для начала добавим в хранилище новый узел-корень, отвечающий данной версии.

Теперь рассуждаем так: допустим, элемент, который надо поменять, находиться в правом подотрезке (для левого, рассуждения будут симметричны). Левые подотрезки идентичны, тогда просто присваиваем [latex]lchild[/latex] нового узла ссылку на [latex]lchild[/latex] исходного. Правые будут отличаться. Тогда создаем у нового узла [latex]rchild[/latex], и проводим те же размышления относительного правого подотрезка, [latex]rchild[/latex]-ов исходного и нового узлов, повторяя это до тех пор, пока мы не придем в лист дерева, тогда просто присвоим этому новому узлу требуемое значение. Получаем несложный рекурсивный алгоритм функции void add(Node* to, Node* from, int l, int r, int npos, int nv);

Для наглядности, рассмотрим пример с тем же массивом. Пусть сперва нас просят выполнить create 1 6 42 — создать из первой версии новую, где шестой элемент равен [latex]42[/latex], а затем create 2 4 667 — создать новую уже из второй, где [latex]4[/latex]-й элемент равен [latex]667[/latex]. Вот, что мы получим в результате (черный цвет — первая версия, красный — вторая, синий — третья):

Рассмотрим, как получилась вторая версия. Создаем корень {[latex]1, 2, 3, 4, 5, 42[/latex]}. Необходимый нам элемент в правом подотрезке. Тогда [latex]lchild[/latex] нового корня будет ссылаться на [latex]lchild[/latex] исходного, а [latex]rchild[/latex] {[latex]4, 5, 42[/latex]}. Мы создаем. Аналогично поступаем с {[latex]4, 5, 42[/latex]} относительно {[latex]4, 5, 6[/latex]}. Левое поддерево {[latex]4, 5[/latex]} — общее, создаем правое поддерево {[latex]42[/latex]} и завершаем алгоритм. Для получения третьей версии можно провести аналогичные рассуждения, но уже беря в качестве исходного дерева вторую версию.

Так как на каждом этапе отрезок делится пополам, то очевидно, что как и в стандартной реализации ДО, асимптотика этой функции будет [latex]O(\log{n})[/latex], а при создании новой версии будет создано не более чем [latex]\lceil\log_2{n}\rceil[/latex] вершин, т.е. алгоритм является достаточно эффективным как в плане времени, так и расходуемой памяти.

Осталось реализовать функцию int get(Node* node, int l, int r, int pos); Она реализуется стандартно: спускаемся по необходимой версии дерева (из нужного узла-корня в [latex]storage[/latex]), в левое или правое поддерево, пока не дойдем до необходимой нам вершины (это будет отрезок единичной длины), далее возвращаем содержимое [latex]val[/latex] этого узла. Реализация облегчается еще и тем, что запрашивают элемент — т.е. отрезок единичной длины, и не надо рассматривать случай, когда необходимый отрезок лежит частично в левом, а частично в правом поддереве.

Таким образом, мы получили структуру, выполняющую поставленную задачу с эффективной асимптотикой по времени и памяти. В главной функции просто считываем изначальный массив, заводим вектор, заносим в него первый узел и строим из него дерево по считанному массиву. Затем в цикле в зависимости от запроса вызываем необходимую функцию.

Ссылки

Засчитанное решение на e-olymp.

Рабочий код на Ideone.

Замечание

Легко заметить, что в функции int get(Node* node, int l, int r, int pos); можно очень просто избавиться от рекурсии:

int get(Node* node, int l, int r, int pos)
{
    while (l != r)
    {
        int m = (l + r) / 2;
        if (pos <= m)
        {
            r = m;
            node = node->lchild;
        }
        else
        {
            l = m + 1;
            node = node->rchild;
        }
    }
    return node->val;
}

int get(Node* node, int l, int r, int pos)

{

while (l != r)

{

int m = (l + r) / 2;

if (pos <= m)

{

r = m;

node = node->lchild;

}

else

{

l = m + 1;

node = node->rchild;

}

return node->val;

}

Но, судя по результатам, это в принципе не влияет на скорость работы программы.