MLoop19

28/11/2015 by Антон Локтев

Условие задачи

Вычислите с заданной точностью [latex]\varepsilon[/latex]сумму ряда [latex]\sum\limits_{i=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{i+1}}{ie^i}} [/latex].

Задачу также можно найти здесь.

Тесты

№	Точность [latex]\varepsilon[/latex]	Сумма ряда
1	0.1	0.637464
2	0.001	0.685288
3	0.0001	0.685782
4	0.000001	0.685848

Алгоритм решения

Поскольку в данной задаче использование рекуррентной формулы приведет только к накоплению погрешности, будем считать каждое слагаемое суммы непосредственно, пока не достигнем заданной точности. Для этого зададим начальное значение переменной exponent = M_E для [latex]i=1[/latex] , а также для первого члена ряда а = sqrt(2)/ exponent. Тогда для каждого значения счетчика нам нужного всего лишь накапливать степень экспоненты и вычислять текущий член ряда по формуле [latex]\frac{\sqrt{i+1}}{i\cdot{e}^{i}} [/latex] , накапливая сумму, пока не достигнем заданной точности эпсилон.

Проверить правильность найденной суммы можно с помощью сайта WolframAlpha.

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
	double exponent = M_E, a = sqrt(2)/exponent, sum = 0, E;
	cin >> E; 
	for (int i = 1; (a = sqrt(i+1)/(i * exponent)) >= E; i++){
		exponent *= M_E;
		sum += a;
	}
	cout << sum;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double exponent = M_E, a = sqrt(2)/exponent, sum = 0, E;

cin >> E;

for (int i = 1; (a = sqrt(i+1)/(i * exponent)) >= E; i++){

exponent *= M_E;

sum += a;

}

cout << sum;

return 0;

}

Код программы на сайте ideone.

Related Images:

MLoop 20

01/11/2015 by Кудымовская Вика

Задача. Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{i}{3^i}}[/latex].

Входные данные

Точность [latex]\varepsilon[/latex].

Выходные данные

Вывести значение суммы ряда.

Также условие задачи можно посмотреть здесь.

Тестирование

№	Входные данные	Выходные данные
1.	0.1	0.666667
2.	0.01	0.736626
3.	0.001	0.749276
4.	0.0001	0.749903
5.	0.0000001	0.75

Реализация (первый вариант кода)

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	int i;
	double E; // переменная для обозначения точности
	double a = 1/3.0, sum = 1/3.0;
  	//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда
 	cin >> E;
 	/*a *= (i+1)/(3*i) - формула для вычисления очередного члена ряда*/
 	for (i = 1; fabs(a *= (double)(i+1)/(3*i)) >= E; i++)
 	{
    	sum +=a;
 	}
 	cout << sum << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int i;

double E; // переменная для обозначения точности

double a = 1/3.0, sum = 1/3.0;

//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда

cin >> E;

/*a *= (i+1)/(3*i) - формула для вычисления очередного члена ряда*/

for (i = 1; fabs(a *= (double)(i+1)/(3*i)) >= E; i++)

{

sum +=a;

}

cout << sum << endl;

return 0;

}

Реализация (второй вариант кода)

#include <iostream>
#include <cmath> 
using namespace std;

double arr(double sum, double a, double E, int i)
{
	if (fabs(a *= (double)(i + 1) * pow(3 * i, -1)) < E)
	{
		return sum;
	}
	else
	{
		i++;
		sum += a;
		return arr(sum, a, E, i);
	}
}
int main()
{
	int i=1;
	double E; // переменная для обозначения точности
	double a = 1 / 3.0, sum = 1 / 3.0;
	//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда
	cin >> E;
	cout << arr(sum, a, E, i) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double arr(double sum, double a, double E, int i)

{

if (fabs(a *= (double)(i + 1) * pow(3 * i, -1)) < E)

{

return sum;

}

else

{

i++;

sum += a;

return arr(sum, a, E, i);

}

int main()

{

int i=1;

double E; // переменная для обозначения точности

double a = 1 / 3.0, sum = 1 / 3.0;

//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда

cin >> E;

cout << arr(sum, a, E, i) << endl;

system("pause");

return 0;

}

Алгоритм решения

Выводим формулу для вычисления значения каждого последующего члена ряда: [latex]a_{n+1}=a_n\cdot \frac{i+1}{3^{i+1}}\cdot \frac{3^i}{i}=a_n\cdot \frac{i+1}{3i}[/latex].
Вычисляем значение первого члена ряда: [latex]a[/latex]: [latex]a=\frac{i}{3^i}=\frac{1}{3}[/latex].
Присваиваем [latex]sum[/latex] значение первого члена ряда.
Абсолютное значение каждого последующего члена ряда сравниваем с [latex]\varepsilon[/latex]: при условии, что [latex]|a_{n+1}|\geq\varepsilon[/latex], накапливается сумма (значение суммы увеличивается на очередной член ряда [latex]a_{n+1}[/latex]). Если же [latex]|a_{n+1}|<\varepsilon[/latex], выводится значение суммы ряда.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (первый вариант кода).

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (второй вариант кода).

Related Images:

MLoop22

31/10/2015 by Молоканов Юрий

Условие

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac {(-1)^i}{i^2}[/latex].

Тестирование

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	-1
2	0.25	-0.75
3	0.1	-0.861111
4	0.01	-0.827962
5	0.0000001	-0.822467

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	double a = -1, sum = -1, E;	// Объявляем переменные для члена ряда, суммы и точности, присваиваем первым двум значение первого члена ряда 
	cin >> E;
	for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++)	// Повторяем цикл, пока значение очередного члена ряда по модулю не меньше заданной точности
		sum += a;	// Накапливаем сумму
	cout << sum;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double a = -1, sum = -1, E; // Объявляем переменные для члена ряда, суммы и точности, присваиваем первым двум значение первого члена ряда

cin >> E;

for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++) // Повторяем цикл, пока значение очередного члена ряда по модулю не меньше заданной точности

sum += a; // Накапливаем сумму

cout << sum;

return 0;

}

Решение

Вычисление суммы ряда с точностью [latex]\varepsilon[/latex] представляет собой процесс нахождения членов ряда и их суммирования до тех пор, пока значение очередного члена по модулю не окажется меньше указанной точности.

Прежде всего найдем зависимость [latex]a_{n+1}[/latex] от [latex]a_n[/latex] и выведем рекуррентную формулу для очередного члена:

[latex]a_{n+1} = a_n \cdot \frac {a_{n+1}}{a_n} = a_n \cdot \frac {\frac {(-1)^{i+1}}{(i+1)^2}}{\frac {(-1)^i}{i^2}} = a_n \cdot -(\frac {i}{i+1})^2[/latex]

Для вычислений мы используем рекуррентное соотношение, поэтому до выполнения цикла, накапливающего сумму, переменным члена ряда a и суммы sum потребуется присвоить значение [latex]a_1 = \frac {(-1)^1}{1^2} = -1[/latex]:

double a = -1, sum = -1, E;

1	double a = -1, sum = -1, E;

Теперь опишем, каким образом будет работать цикл:

Цикл будет начинаться со счетчиком [latex]i = 1[/latex], который будет инкрементироваться в конце каждой итерации.
Цикл будет выполняться до тех пор, пока абсолютное значение очередного члена ряда [latex]a_i[/latex] будет не меньше, чем заданная точность [latex]\varepsilon[/latex].
В каждой итерации цикла значение суммы будет увеличиваться на [latex]a_i[/latex].

Реализуем описанный алгоритм с помощью цикла for. Чтобы сократить количество операций в теле цикла до одной, вычислять очередной член ряда будем при проверке выполнения условия продолжения. При присвоении переменной a нового значения воспользуемся кастингом (double) ; в противном случае уже второй член ряда будет обнуляться из-за умножения на дробь с целой частью [latex]0[/latex]:

for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++)
	sum += a;

1 2	for(int i = 1; abs(a = (double)(-ii)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++) sum += a;

Наконец, выведем требуемое значение — сумму ряда:

cout << sum;

1	cout << sum;

Ссылки

Код программы на Ideone.com;

Список задач на циклы.

Related Images:

MLoop 24

31/10/2015 by Настя Филипчук

Условие задачи

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon [/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i}\cdot \frac{2^{i}}{\left ( 2\cdot i+1 \right )!} [/latex].

Алгоритм решения

В условии нужно найти сумму ряда,задан его общий член. Благодаря этому можно найти формулу, согласно которой каждый последующий член ряда выражается как предыдущий, умноженный на выражение: [latex]\frac{-2}{2 \cdot k + 3}[/latex].
Вычисляется первый член ряда, предполагается, что он и будет равен сумме ряда, и этот член ряда сравнивается по модулю с заданной точностью [latex]\varepsilon [/latex].
В случае, если требуемая точность не достигнута — подсчитывается следующий член ряда, он прибавляется к сумме и сравнивается по модулю с заданной точностью.
Пункт 3 повторяется до тех пор, пока заданная точность не достигнута.

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double sum, eps, prev,next,dif;
	int i;
	eps=1e-10;
	prev=1; next=-1/3.0;
	i=2; 
	sum=1;
	dif=abs(next-prev);
	while (dif>eps){
		sum=sum+next;
		prev=next;
		next=-prev/((2*i+1)*i);
		i=i+1;
		dif=abs(prev-next);
	}
 	cout << "sum="<< sum << "\n" << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double sum, eps, prev,next,dif;

int i;

eps=1e-10;

prev=1; next=-1/3.0;

i=2;

sum=1;

dif=abs(next-prev);

while (dif>eps){

sum=sum+next;

prev=next;

next=-prev/((2*i+1)*i);

i=i+1;

dif=abs(prev-next);

}

cout << "sum="<< sum << "\n" << endl;

return 0;

}

Исправленный вариант

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double sum, eps, A;
	cin >> eps;
	int i=1;
	A=-1/3.0;
	sum=A;
	while (abs(A)>eps){
		i++;
		A=A*(-2)/(2*i+3);
		sum+=A;
	}
 	cout << "sum="<< sum << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double sum, eps, A;

cin >> eps;

int i=1;

A=-1/3.0;

sum=A;

while (abs(A)>eps){

i++;

A=A*(-2)/(2*i+3);

sum+=A;

}

cout << "sum="<< sum << endl;

return 0;

}

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double long sum, eps, A;
	cin >> eps;
	int i=0;
	A=-1/3.0;
	sum=A;
	while (abs(A)>=eps){
		i++;
		A=A*(-2)/((2*i+2)*(2*i+3));
		sum+=A;
	}
 	cout << "sum="<< sum << endl; 
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double long sum, eps, A;

cin >> eps;

int i=0;

A=-1/3.0;

sum=A;

while (abs(A)>=eps){

i++;

A=A*(-2)/((2*i+2)*(2*i+3));

sum+=A;

}

cout << "sum="<< sum << endl;

return 0;

}

Тесты

Входные данные (точность [latex]\epsilon [/latex])	Выходные данные (сумма ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i}\cdot \frac{2^{i}}{2\cdot i+1}[/latex])
e=1e-10	sum=-0.301544
e=0.0001	sum=-0.301543
e=0.001	sum=-0.301543
e=0.01	sum=-0.301587
e=0.1	sum=-0.3

Ссылки

условие задачи;
решение на ideone;
исправленное решение на ideone;
подсчёт суммы ряда в WolframAlpha;

Related Images:

MLoop 1

31/10/2015 by Сплошнов Кирилл

Условие

Используйте метод бисекции для того, чтобы отыскать с точностью [latex]\varepsilon[/latex] все действительные корни уравнения [latex]\ln{(1 + x^2 -\sin{x})} = 3^{\cos{2x}}[/latex]. Для подготовки необходимых графиков воспользуйтесь этим ресурсом.

График

Тесты

Точность [latex]\epsilon[/latex]	Корень на [latex](-4; -3)[/latex]	Корень на [latex](-3; -2)[/latex]	Корень на [latex](-1; 0)[/latex]	Корень на [latex](1; 2)[/latex]	Корень на [latex](2; 3)[/latex]	Корень на [latex](3; 4)[/latex]
0.1	-3.40625	-2.78125	-0.84375	1.21875	2.71875	3.40625
0.01	-3.42578	-2.75391	-0.839844	1.21484	2.72266	3.41016
0.001	-3.42627	-2.75439	-0.836426	1.21729	2.72021	3.41357
0.0001	-3.42636	-2.75443	-0.836884	1.21707	2.72061	3.41391

Код

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

double f(double x)
{
	return log(1 + x*x - sin(x)) - pow(3, cos(2*x));
}

double findRoot(double a, double b, double e) // функция, которая ищет ноль на промежутке от a до b
{
	while (b - a > e) // пока не будет достигнута необходимая точность
	{
		if (f(a) * f((b + a) / 2) == 0)
			break;
		else if (f(a) * f((b + a) / 2) > 0)
			a = (b + a) / 2;
		else
			b = (b + a) / 2;
	}
	return (b + a) / 2;
}

int main() 
{
	double e;
	cin >> e;
	cout << findRoot(-4, -3, e) << endl;
	cout << findRoot(-3, -2, e) << endl;
	cout << findRoot(-1, 0, e) << endl;
	cout << findRoot(1, 2, e) << endl;
	cout << findRoot(2, 3, e) << endl;
	cout << findRoot(3, 4, e) << endl;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

double f(double x)

{

return log(1 + x*x - sin(x)) - pow(3, cos(2*x));

}

double findRoot(double a, double b, double e) // функция, которая ищет ноль на промежутке от a до b

{

while (b - a > e) // пока не будет достигнута необходимая точность

{

if (f(a) * f((b + a) / 2) == 0)

break;

else if (f(a) * f((b + a) / 2) > 0)

a = (b + a) / 2;

else

b = (b + a) / 2;

}

return (b + a) / 2;

}

int main()

{

double e;

cin >> e;

cout << findRoot(-4, -3, e) << endl;

cout << findRoot(-3, -2, e) << endl;

cout << findRoot(-1, 0, e) << endl;

cout << findRoot(1, 2, e) << endl;

cout << findRoot(2, 3, e) << endl;

cout << findRoot(3, 4, e) << endl;

return 0;

}

Решение

Рассмотрим функцию [latex]f(x) = \ln{(1 + x^2 -\sin{x})} — 3^{\cos{2x}}[/latex]. По графику видно, что функция имеет 6 нулей. Таким образом, уравнение имеет 6 корней, которые находятся на интервалах [latex](-4; -3)[/latex], [latex](-3; -2)[/latex], [latex](-1; 0)[/latex], [latex](1; 2)[/latex], [latex](2; 3)[/latex], [latex](3; 4)[/latex] соответственно. Так как корней довольно много, чтобы не копировать 6 раз алгоритм поиска корня, вынесем его в отдельную функцию [latex]findRoot[/latex], у которой будет 3 параметра: начало отрезка [latex]a[/latex], его конец [latex]b[/latex] и заданная точность [latex]\epsilon[/latex].

Далее воспользуемся методом бисекции : рассмотрим значение функции на середине отрезка (в точке [latex]\frac{a + b}{2}[/latex]) и в точке [latex]a[/latex]. Если их произведение равно нулю, то [latex]\frac{a + b}{2}[/latex] — корень уравнения, если меньше, корень — на промежутке [latex](a; \frac{a + b}{2})[/latex], больше — на промежутке [latex](\frac{a + b}{2}; b)[/latex]. Меняем координаты начала и конца отрезка на соответствующие, продолжаем, пока не будет найден корень или достигнута необходимая точность.

Ссылки

Рабочая версия кода на Ideaone.com.