Условие задачи
Вывести представление целого числа [latex] n [/latex] в виде произведения простых чисел.
Входные данные
Единственное число [latex] n [/latex] [latex] (2 ≤ n ≤ 2^{31} — 1). [/latex]
Выходные данные
Вывести список простых множителей в порядке не убывания, разделённых знаком [latex] «*» [/latex] .
Continue reading
Задача. Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]e[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex](слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности.
[latex]\frac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2} =x+\frac {{x}^{3}}{3!}+\frac {{x}^{5}}{5!} +…+\frac {{x}^{2n-1}}{(2n-1)!} +…[/latex]| x | e | результат | Комментарий |
| 5 | 0.01 | 0.002312 | Работает |
| 3.14 | 0.999 | 0.686728 | Работает |
| 4 | 0 | Эквивалентно | Работает |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 |
#include <iostream> #include <cmath> int main() { double dif, le, pr = 0, u, x, e; int n = 0; scanf("%lg %lg", &x, &e); u = x; // 1 шаг цикла таким образом включит первое слагаемое le = (pow (M_E, x) - pow (M_E, -x)) / 2; // вычисляем левую часть if (e == 0){ // частный случай printf("Эквивалентно"); } else{ do{ // вычисляем правую часть n ++; pr += u; u *= x * x / ((2 * n + 1) * 2 * n); // считаю следущее слагаемое dif = le - pr; } while(dif > fabs(e)); printf("Разница = %lf", dif); // вывод } return 0; } |
Вывод: Задача решена.
Задача: Сравнить скорость сходимости (число слагаемых для заданной точности [latex]e[/latex] следующих разложений числа [latex]\pi[/latex]
1. [latex]\pi=4\left(1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{9} -… \right)[/latex]
2. [latex]\pi=3+4\left(\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}-\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}+\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8\cdot } -…\right)[/latex]
3. [latex]\pi=\sqrt {6\left(1+\frac {1}{ {2}^{2} } +\frac {1}{ {3}^{2}}+\frac {1}{ {4}^{2}}+… \right) }[/latex]
| Число слагаемых (е) | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Комментарий |
| 1 | 0.858407 | 0.025074 | 0.692103 | Работает |
| 2 | 0.474926 | 0.00825932 | 0.40298 | Работает |
| 3 | 0.325074 | 0.00825932 | 0.283855 | Работает |
| 10 | 0.099753 | 0.000185935 | 0.092231 | Работает |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 |
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; struct bolshoe() double minimum( double a, double b ) { // почему-то min и max не хотели работать return a < b ? a : b; // на идеоне, я не стал разбираться. } double maximum( double a, double b ) { return a > b ? a : b; } int main() { double vara = 0, varb = 0, varc = 0, difa = 0, difb = 0, difc = 0; // dif - difference int e; // e - кол-во слагаемых scanf("%d", &e); for(int i = 1, sign; i <= e; i++){ // складываем слагаемые sign = i % 2? 1:-1; vara += 1 / ((i * 2.0) - 1) * sign; varb += 1 / ((i * 2.0) * ((i * 2.0) + 1) * ((i * 2.0) + 2)) * sign; varc += 1 / pow(i, 2); } vara = 4 * vara; varb = 3 + (4 * varb); varc = sqrt(6 * varc); // строка внизу считает погрешность difa = fabs(M_PI - vara); difb = fabs(M_PI - varb); difc = fabs(M_PI - varc); printf("%lg - самая маленькая погрешность\n", minimum(difa, minimum(difb, difc))); // вывод printf("%lg - самая большая погрешность\n", maximum(difa, maximum(difb, difc))); printf("1 = %lg\n2 = %lg\n3 = %lg", difa, difb, difc); return 0; } |
Первым делом я исчисляю разложения с заданным количеством слагаемых. Затем я присваиваю нужные им значения (по формуле), а затем с помощью абсолютного значения числа считаю погрешность.
Вывод: Второе разложение является самым точным.
Задача: Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части с заданной погрешностью [latex]\varepsilon [/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, найти скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] (слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности. В некоторых задачах указан интервал допустимых значений аргумента [latex]x[/latex], при которых сходимость гарантируется.
[latex]\ln \left(1-x \right)=-\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x^{n}}{n}+\cdot \cdot \cdot \right)[/latex], [latex]x<1[/latex]| [latex]x[/latex] | [latex]eps[/latex] | Левая часть | Правая часть | Количество шагов |
| 0.1 | 0.001 | -0.105361 | -0.105 | 3 |
| 0.1 | 0.000001 | -0.105361 | -0.105360 | 6 |
| 0.5 | 0.001 | -0.693147 | -0.692262 | 8 |
| 0.5 | 0.000001 | -0.693147 | -0.693146 | 17 |
| 0.95 | 0.001 | -2.995732 | -2.994775 | 101 |
| 0.95 | 0.000001 | -2.995732 | -2.995731 | 222 |
C++:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
#include <stdio.h> #include <math.h> int main(void) { double x, eps;//Вводит пользователь. double a, b=0, c=1;//Используются для вычислений. int n=1; printf("Введите аргумент x<1 и погрешность eps.\n"); scanf("%lf %lf\n", &x, &eps); a=log(1-x); for (int i=1; fabs(a-b)>=eps; i++, n++) { c=c*x;//Степени х. b=b-c/i;//Сумма. } printf("Результат в левой части: %lf.\n", a); printf("Результат в правой части: %lf.\n", b); printf("Количество шагов: %d.\n", n); return 0; } |
Java:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 |
import java.util.*; import java.lang.*; import java.io.*; class Ideone { public static void main (String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); double x, eps;//Вводит пользователь. double a, b=0, c=1;//Используются для вычислений. int n=1; System.out.println("Введите аргумент x<1 и погрешность eps."); x = in.nextDouble(); eps = in.nextDouble(); a = Math.log(1-x); for (int i=1; Math.abs(a-b)>=eps; i++, n++) { c=c*x;//Степени х. b=b-c/i;//Сумма. } System.out.println("Результат в левой части: "+a); System.out.println("Результат в правой части: "+b); System.out.println("Количество шагов: "+n); } } |
Для переменных [latex]x, eps, a, b, c[/latex] я использовала double, так как [latex]x<1[/latex] и [latex]eps[/latex] ([latex]\varepsilon [/latex]) — вещественные числа, которые вводит пользователь, [latex]a, b, c[/latex] используются для вычислений, поэтому тоже вещественные. Для переменной [latex]n[/latex] (в неё записывается количество шагов цикла) я использовала тип int, т.к. это целые числа.
Сперва вычисляем значение переменной [latex]a[/latex] — левую часть равенства.
Для вычисления правой части используем цикл for, который работает пока [latex]\left|a-b \right|\geq eps[/latex] (т.е. различие между правой и левой частью больше, чем погрешность, заданная пользователем).
При каждом шаге переменная [latex]n[/latex] увеличивается на единицу для подсчёта скорости сходимости.
Переменная [latex]c[/latex] обозначает элемент суммы, а [latex]b[/latex] — сумму элементов в правой части равенства.
Эта задача на Ideone:
C++
Java