Ю3.38

31/10/2014 by Бровко Ілля

Задача

Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]\varepsilon[/latex] . Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] (слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности.

[latex]\frac{\pi ^{2}}{8}-\frac{\pi }{4}\cdot |x|=\frac{cosx}{1!}+\frac{cos3x}{3^{2}}+\frac{cos5x}{5^{2}}+\cdots+\frac{cos((2n+1)\cdot x) }{(2\cdot n+1)^{2}}+\cdots[/latex],

[latex]|x|<1[/latex].

x	E	Левая часть (left).	Правая часть (right).	Разность (right-left).	n	Комментарий.
0.6	0.000001	0.7624616521	0.7604912379	0.0019704142	3	Пройден.
0.75	0.000035	0.6446519276	0.6290694254	0.0155825022	3	Пройден
0.4	0.00002	0.9195412848	0.9143769743	0.0051643104	5	Пройден
4	0.0001	–	–	–	–	Некорректно задан аргумент x (\|x\|<1)Не пройден.
0.4	0	0.9195412848	0.9195412848	0.9195412848	бесконечность	Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой.Пройден.

Необходимо доказать равенство левой и правой части при заданных [latex]x[/latex] и [latex]\varepsilon[/latex].

Мы высчитываем левую часть [latex]\frac{\pi ^{2}}{8}-\frac{\pi }{4}\cdot |x|[/latex], с заданным аргументом [latex]x[/latex]. Затем в цикле do высчитываем значение правой части [latex]\frac{cosx}{1!}+\frac{cos3x}{3^{2}}+\frac{cos5x}{5^{2}}+\cdots+\frac{cos((2n+1)\cdot x) }{(2\cdot n+1)^{2}}+\cdots[/latex], до тех пор, пока разность правой и левой части не превысит заданную погрешность [latex]\varepsilon[/latex]. После этого программа выводит значение левой и правой части, их разницу и количество итераций для заданной погрешности.

Ниже представлена сама программа (C++).

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() 
{
	int n=0;
	double x, E, left, right=0.0, differ; 				//начальные переменные.
		scanf("%lf %lf", &x, &E);						//ввод аргумента и погрешности.
	if(fabs(x)>1)										//Модуль аргумента не должен превышать единицу.
	{
		printf("Некорректно задан аргумент x (|x|<1)");
	}
	else
	{
		left=(pow(M_PI,2)/8)-((M_PI/4)*fabs(x));		//вычисление левой части.
		if (E!=0)
		{
			do
			{
				right+=cos((2*n+1)*x)/((4*n*n)+4*n+1);	//вычисление правой части.
				n++;
				differ=right-fabs(left);				//разность левой и правой части.
			}
			while (differ>E);							//условие, при котором цикл останавливается.
			printf("Левая часть равна = %.10lf \nПравая часть равна = %.10lf \n",left,right);
			printf("После n=%d правая часть исследуемого выражения отличается от левой части более, чем на %.10lf,", n, E); 
			printf("а именно на %.10lf \n",fabs(differ));
		}	
		else
		{
			printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой, и равняется %.10lf, тогда n стремится в бесконечность",left);
		}
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main()

{

int n=0;

double x, E, left, right=0.0, differ; //начальные переменные.

scanf("%lf %lf", &x, &E); //ввод аргумента и погрешности.

if(fabs(x)>1) //Модуль аргумента не должен превышать единицу.

{

printf("Некорректно задан аргумент x (|x|<1)");

}

else

{

left=(pow(M_PI,2)/8)-((M_PI/4)*fabs(x)); //вычисление левой части.

if (E!=0)

{

right+=cos((2*n+1)*x)/((4*n*n)+4*n+1); //вычисление правой части.

n++;

differ=right-fabs(left); //разность левой и правой части.

}

while (differ>E); //условие, при котором цикл останавливается.

printf("Левая часть равна = %.10lf \nПравая часть равна = %.10lf \n",left,right);

printf("После n=%d правая часть исследуемого выражения отличается от левой части более, чем на %.10lf,", n, E);

printf("а именно на %.10lf \n",fabs(differ));

}

else

{

printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой, и равняется %.10lf, тогда n стремится в бесконечность",left);

}

return 0;

}

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class Brovko
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
	int n=0;
	double x, E, left, right=0.0, differ; 				//начальные переменные.
		Scanner in = new Scanner(System.in); 			//ввод аргумента и погрешности.
		x=in.nextDouble();
		E=in.nextDouble();
	if(Math.abs(x)>1)										//Модуль аргумента не должен превышать единицу.
	{
		System.out.printf("Некорректно задан аргумент x (|x|<1)");
	}
	else
	{
		left=(Math.pow(Math.PI,2)/8)-((Math.PI/4)*Math.abs(x));		//вычисление левой части.
		if (E!=0)
		{
			do
			{
				right+=Math.cos((2*n+1)*x)/((4*n*n)+4*n+1);	//вычисление правой части.
				n++;
				differ=right-Math.abs(left);				//разность левой и правой части.
			}
			while (differ>E);							//условие, при котором цикл останавливается.
			System.out.printf("Левая часть равна = %.10f \nПравая часть равна = %.10f \n",left,right);
			System.out.printf("После n=%d правая часть исследуемого выражения отличается от левой части более, чем на %.10f,", n, E); 
			System.out.printf("а именно на %.10f \n",Math.abs(differ));
		}	
		else
		{
			System.out.printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой, и равняется %.10f, тогда n стремится в бесконечность",left);
		}
	}
}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Brovko

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int n=0;

double x, E, left, right=0.0, differ; //начальные переменные.

Scanner in = new Scanner(System.in); //ввод аргумента и погрешности.

x=in.nextDouble();

E=in.nextDouble();

if(Math.abs(x)>1) //Модуль аргумента не должен превышать единицу.

{

System.out.printf("Некорректно задан аргумент x (|x|<1)");

}

else

{

left=(Math.pow(Math.PI,2)/8)-((Math.PI/4)*Math.abs(x)); //вычисление левой части.

if (E!=0)

{

right+=Math.cos((2*n+1)*x)/((4*n*n)+4*n+1); //вычисление правой части.

n++;

differ=right-Math.abs(left); //разность левой и правой части.

}

while (differ>E); //условие, при котором цикл останавливается.

System.out.printf("Левая часть равна = %.10f \nПравая часть равна = %.10f \n",left,right);

System.out.printf("После n=%d правая часть исследуемого выражения отличается от левой части более, чем на %.10f,", n, E);

System.out.printf("а именно на %.10f \n",Math.abs(differ));

}

else

{

System.out.printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой, и равняется %.10f, тогда n стремится в бесконечность",left);

}

Так же вы можете воспользоваться ссылкой (C++)/ссылкой (Java), для ознакомления с программой.

Related Images:

Ю3.16

26/10/2014 by Бровко Ілля

Задача

Сравнить скорость сходимости при вычислении числа [latex]e[/latex] с помощью ряда и бесконечной дроби:

[latex]e=2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+…[/latex]; [latex]e=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2+\frac{1}{3-\frac{1}{2+\frac{1}{5-…}}}}}[/latex]

У нас дан ряд(row) и бесконечная дробь(inf). Для разложения числа [latex]e[/latex] в ряд использована функция вычисления факториала. Задаем начальные переменные и вычисляем основание натурального логарифма. При достижении заданной точности [latex]E[/latex] цикл вычислений ряда прекращается, и начинается вычисление по методу цепной дроби с заданным в первой части программы количеством итераций (для корректного сравнения скорости сходимости, количество итераций должно быть одинаково).

Алгоритм вычисления представляет собой цикл, в который вложен еще один рекурсивный цикл. Первый цикл do подставляет во второй цикл количество итераций. Во втором цикле for происходит основное вычисление цепной дроби, посредством проверки четных и нечетных шагов. Проверка на четность происходит делением текущей по счету итерации на 2 с остатком. Если делится без остатка, то итерация четная, иначе- нечетная.

E	Количество итераций ряда(row) i	Количество итераций цепной дроби(inf)l	Комментарий
0.00001	9	7	Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд. Тест пройден.
0.0000002	11	9	Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд. Тест пройден.
0.00078	7	6	Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд. Тест пройден.
0.0004	7	6	Бесконечная дробь быстрее сходится к числу е, чем ряд. Тест пройден.

При схождении к числу [latex]e[/latex] с точностью [latex]E[/latex] цепная дробь будет делать это быстрее, чем ряд.

Ниже представлена сама программа(C++).

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double fact(int i)   
{
	if(i == 0)
	{
		return 1;	
	}
    if(i < 0)
    {
    	return 0;
    }
    else
    return i * fact(i - 1);		//функция для вычисления факториала
}
int main() 
{
	int i=0, k=1, l=1;
	double row=0, E; 				//начальные переменные
		scanf("%lf", &E);			//ввод погрешности
	do
	{
		row+=1/fact(i);				//вычисление ряда
		i++;
	}
	while(M_E-row>E);			//условие, при котором цикл останавливается
    	printf("row=%10.10lf, i=%d \n", row, i);
    double sum3=0, inf;			//переменные для вычисления цепной дроби
    do
	{
		for (int k = l; k >= 1; k--)
		{
			if ((k % 2) == 0)
			{
				sum3 = 1 / (2 + sum3);
			}
			else
			{
				sum3 = 1 / (k - sum3);
			}
		}
		if (fabs(M_E - (sum3 + 1))<E)
		{
			break;
		}
		l++;
	} 
	while (l < i + 10);
    inf=1+sum3;						//в начале цепной дроби присутсвует единица, которая выбивается из цикла.
    	printf("inf=%10.10lf, l=%d \n", inf, l);
    if(l<i)
    {
    	printf("С заданной погрешностью E=%5.10lf, бесконечная дробь, с количеством итераций l=%d быстрее сходится к числу е, чем ряд, c количевством итераиций i=%d.\n", E, l, i);
    }
    else
    {
    	printf("С заданной погрешностью E=%5.10lf, ряд, с количеством итераций i=%d быстрее сходится к числу е, чем бесконечная дробь, c количевством итераиций l=%d.\n", E, i, l);
    }
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

double fact(int i)

{

if(i == 0)

{

return 1;

}

if(i < 0)

{

return 0;

}

else

return i * fact(i - 1); //функция для вычисления факториала

}

int main()

{

int i=0, k=1, l=1;

double row=0, E; //начальные переменные

scanf("%lf", &E); //ввод погрешности

{

row+=1/fact(i); //вычисление ряда

i++;

}

while(M_E-row>E); //условие, при котором цикл останавливается

printf("row=%10.10lf, i=%d \n", row, i);

double sum3=0, inf; //переменные для вычисления цепной дроби

{

for (int k = l; k >= 1; k--)

{

if ((k % 2) == 0)

{

sum3 = 1 / (2 + sum3);

}

else

{

sum3 = 1 / (k - sum3);

}

if (fabs(M_E - (sum3 + 1))<E)

{

break;

}

l++;

}

while (l < i + 10);

inf=1+sum3; //в начале цепной дроби присутсвует единица, которая выбивается из цикла.

printf("inf=%10.10lf, l=%d \n", inf, l);

if(l<i)

{

printf("С заданной погрешностью E=%5.10lf, бесконечная дробь, с количеством итераций l=%d быстрее сходится к числу е, чем ряд, c количевством итераиций i=%d.\n", E, l, i);

}

else

{

printf("С заданной погрешностью E=%5.10lf, ряд, с количеством итераций i=%d быстрее сходится к числу е, чем бесконечная дробь, c количевством итераиций l=%d.\n", E, i, l);

}

return 0;

}

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Brovko
{
	public static double fact(int itser){
        return itser < 2? 1 : itser * fact(itser - 1);
	}
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
	int itser=0, itfrac=1;
	double  series=0, epsilon; 	
	Scanner in = new Scanner(System.in);
		epsilon=in.nextDouble();			
	do{
		series+=1/fact(itser);			
		itser++;
	}
	while(Math.E-series>epsilon);			
    	System.out.format("series=%10.10f, itser=%d \n", series, itser);
    double sum3=0, fraction;			
    do{
		for (int k = itfrac; k >= 1; k--){
			if ((k % 2) == 0){
				sum3 = 1 / (2 + sum3);
			}
			else{
				sum3 = 1 / (k - sum3);
			}
		}
		if (Math.abs(Math.E - (sum3 + 1))<epsilon){
			break;
		}
		itfrac++;
	} 
	while (itfrac < itser + 10);
    fraction=1+sum3;						
    	System.out.format("fraction=%10.10f, itfrac=%d \n", fraction, itfrac);
    if(itfrac<itser){
    	System.out.printf("С заданной погрешностью epsilon=%5.10f, бесконечная дробь, с количеством итераций itfrac=%d быстрее сходится к числу е, чем ряд, c количевством итераиций itser=%d.\n", epsilon, itfrac, itser);
    }
    else{
    	System.out.printf("С заданной погрешностью epsilon=%5.10f, ряд, с количеством итераций itser=%d быстрее сходится к числу е, чем бесконечная дробь, c количевством итераиций itfrac=%d.\n", epsilon, itser, itfrac);
    }
}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Brovko

{

public static double fact(int itser){

return itser < 2? 1 : itser * fact(itser - 1);

}

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

int itser=0, itfrac=1;

double series=0, epsilon;

Scanner in = new Scanner(System.in);

epsilon=in.nextDouble();

do{

series+=1/fact(itser);

itser++;

}

while(Math.E-series>epsilon);

System.out.format("series=%10.10f, itser=%d \n", series, itser);

double sum3=0, fraction;

do{

for (int k = itfrac; k >= 1; k--){

if ((k % 2) == 0){

sum3 = 1 / (2 + sum3);

}

else{

sum3 = 1 / (k - sum3);

}

if (Math.abs(Math.E - (sum3 + 1))<epsilon){

break;

}

itfrac++;

}

while (itfrac < itser + 10);

fraction=1+sum3;

System.out.format("fraction=%10.10f, itfrac=%d \n", fraction, itfrac);

if(itfrac<itser){

System.out.printf("С заданной погрешностью epsilon=%5.10f, бесконечная дробь, с количеством итераций itfrac=%d быстрее сходится к числу е, чем ряд, c количевством итераиций itser=%d.\n", epsilon, itfrac, itser);

}

else{

System.out.printf("С заданной погрешностью epsilon=%5.10f, ряд, с количеством итераций itser=%d быстрее сходится к числу е, чем бесконечная дробь, c количевством итераиций itfrac=%d.\n", epsilon, itser, itfrac);

}

Также вы можете воспользоватся ссылкой (C++)/ссылкой (Java), для ознакомления с программой.

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: скорость сходимости

Ю3.38

Related Images:

Ю3.16

Related Images: