Задача

Треугольная пирамида задана координатами своих вершин [latex] A(x_1; y_1; z_1), [/latex] [latex] B(x_2; y_2; z_2), [/latex] [latex] C(x_3; y_3; z_3), [/latex] [latex] S(x_4; y_4; z_4). [/latex] Определить площадь полной поверхности пирамиды.

Входные данные

В четырех строках заданы координаты [latex] x, y, z [/latex] вершин пирамиды. Все числа целые, не превышающие по модулю 100.

Выходные данные

Вывести полную поверхность пирамиды с точностью до десятых.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	-3 0 0	69,8
	0 6 0
	3 0 0
	0 2 5
2	2 4 8	159,1
	2 -6 9
	5 -4 0
	1 3 0
3	5 0 1	107,3
	4 1 7
	-9 0 4
	6 2 8

Код программы

#include <iostream>   // std::cout, std::fixed
#include <iomanip>   // std::setprecision //данную библиотеку подключаем для того, чтобы установить количество знаков после запятой 
#include <cmath>    //данную библиотеку подключаем  для того, чтобы была возможность извлечь корень и возвести в квадрат 
using namespace std;

//функция рассчитывает расстояние между двумя точками с заданными координатами
double distance (double x1, double y1, double z1,
                 double x2, double y2, double z2)
{
    return sqrt( pow(x1-x2, 2) + pow(y1-y2, 2) + pow(z1-z2, 2)); 
}
//функция вычисляет площадь треугольника по формуле Герона
double Geron (double x1, double y1, double z1,
              double x2, double y2, double z2,
              double x3, double y3, double z3)
{
    double a,b,c,P;//стороны треугольника и полупериметр
    a = distance(x1,y1,z1, x2,y2,z2);
    b = distance(x2,y2,z2, x3,y3,z3);
    c = distance(x1,y1,z1, x3,y3,z3);
    P = (a+b+c)/2;
    return sqrt(P*(P-a)*(P-b)*(P-c)); 
}
//функция вычисляет площадь полной поверхности пирамиды
double square (double x1, double y1, double z1,
               double x2, double y2, double z2, 
               double x3, double y3, double z3,
               double x4, double y4, double z4)
{
    double S1,S2,S3,S4,S;//площади треугольников и площадь полной поверхности пирамиды
    S1 = Geron(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3);
    S2 = Geron(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x4,y4,z4);
    S3 = Geron(x1,y1,z1,x3,y3,z3,x4,y4,z4);
    S4 = Geron(x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4);
    S = S1+S2+S3+S4;
    return S;
}
int main() 
{
    double x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,z1,z2,z3,z4;//координаты вершин пирамиды
    cin >> x1 >> y1 >> z1 
        >> x2 >> y2 >> z2 
        >> x3 >> y3 >> z3 
        >> x4 >> y4 >> z4;
    double S = square (x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4);
    cout << fixed << setprecision(1) << S << endl; 
    return 0;
}

#include <iostream> // std::cout, std::fixed

#include <iomanip> // std::setprecision //данную библиотеку подключаем для того, чтобы установить количество знаков после запятой

#include <cmath> //данную библиотеку подключаем для того, чтобы была возможность извлечь корень и возвести в квадрат

using namespace std;

//функция рассчитывает расстояние между двумя точками с заданными координатами

double distance (double x1, double y1, double z1,

double x2, double y2, double z2)

{

return sqrt( pow(x1-x2, 2) + pow(y1-y2, 2) + pow(z1-z2, 2));

}

//функция вычисляет площадь треугольника по формуле Герона

double Geron (double x1, double y1, double z1,

double x2, double y2, double z2,

double x3, double y3, double z3)

{

double a,b,c,P;//стороны треугольника и полупериметр

a = distance(x1,y1,z1, x2,y2,z2);

b = distance(x2,y2,z2, x3,y3,z3);

c = distance(x1,y1,z1, x3,y3,z3);

P = (a+b+c)/2;

return sqrt(P*(P-a)*(P-b)*(P-c));

}

//функция вычисляет площадь полной поверхности пирамиды

double square (double x1, double y1, double z1,

double x2, double y2, double z2,

double x3, double y3, double z3,

double x4, double y4, double z4)

{

double S1,S2,S3,S4,S;//площади треугольников и площадь полной поверхности пирамиды

S1 = Geron(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3);

S2 = Geron(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x4,y4,z4);

S3 = Geron(x1,y1,z1,x3,y3,z3,x4,y4,z4);

S4 = Geron(x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4);

S = S1+S2+S3+S4;

return S;

}

int main()

{

double x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4,z1,z2,z3,z4;//координаты вершин пирамиды

cin >> x1 >> y1 >> z1

>> x2 >> y2 >> z2

>> x3 >> y3 >> z3

>> x4 >> y4 >> z4;

double S = square (x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4);

cout << fixed << setprecision(1) << S << endl;

return 0;

}

Решение задачи

Для того, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, необходимо найти площади треугольников, которые являются гранями пирамиды.
Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона: [latex] S = \sqrt{p \cdot(p-a) \cdot(p-b) \cdot(p-c)} [/latex],где [latex] p [/latex]-полупериметр треугольника, [latex] a,b,c [/latex] — стороны треугольника. Чтобы воспользоваться формулой Герона, необходимо предварительно найти длины сторон треугольников, используя формулу нахождения длин отрезков по координатам концов отрезка: [latex] |AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2} [/latex], где [latex] А,В [/latex] — концы отрезка, [latex] x_a, y_a,z_a [/latex] — координаты [latex] А [/latex], [latex] x_b, y_b,z_b [/latex] — координаты [latex] В [/latex].
Найденные площади всех треугольников, из которых состоит пирамида, складываем и получаем искомую площадь полной поверхности пирамиды.

Ссылки

e-olymp
ideone

Related Images:

Задача

Герон Александрийский

Задано стороны [latex]a, b, c, d[/latex] и диагональ [latex]f[/latex] выпуклого четырехугольника. Определить площадь четырехугольника, используя вспомогательную функцию вычисления площади треугольника по формуле Герона.

#	Входные данные	Выходные данные
1	2 2 2 2 2	3.4641
2	7 7 5 6 2	11.6120
3	9 5 3 2 4	2.9047
4	5 7 2 3 4	12.7027
5	7 8 6 2 5	22.0043

Входные данные

Выходные данные

2 2 2 2 2

3.4641

7 7 5 6 2

11.6120

9 5 3 2 4

2.9047

5 7 2 3 4

12.7027

7 8 6 2 5

22.0043

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>//данную библиотеку подключаем  для того, чтобы была возможность извлечь корень
#include <iomanip>//данную библиотеку подключаем для того, чтобы установить кол-во знаков после запятой
using namespace std;

int main() {
    double a,b,c,d,f;//длины сторон треугольника
    double S1,S2,SO;//площади треугольников и общая площадь соответственно
    double P1,P2,p1,p2;//периметр и полупериметр соотвественно
    double G1,G2;//выражение под корнем
    cin>>a>>b>>c>>d>>f;
    P1= a+b+f;//периметр первого треугольника
    p1= P1/2;//полупериметр первого треугольника
    P2= d+c+f;//периметр второго треугольника
    p2= P2/2;//полупериметр второго  треугольника
    G1=p1*(p1-a)*(p1-b)*(p1-f);//выражение под корнем 
    S1=sqrt(G1);//пользуясь формулой Герона извлекаем корень
    //аналогично для второго треугольника
    G2=p2*(p2-d)*(p2-c)*(p2-f);
    S2=sqrt(G2);
    SO=S1+S2;//находим общую площадь фигуры состоящую из двух треугольников
    cout<<fixed<<setprecision(4)<<SO;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>//данную библиотеку подключаем для того, чтобы была возможность извлечь корень

#include <iomanip>//данную библиотеку подключаем для того, чтобы установить кол-во знаков после запятой

using namespace std;

int main() {

double a,b,c,d,f;//длины сторон треугольника

double S1,S2,SO;//площади треугольников и общая площадь соответственно

double P1,P2,p1,p2;//периметр и полупериметр соотвественно

double G1,G2;//выражение под корнем

cin>>a>>b>>c>>d>>f;

P1= a+b+f;//периметр первого треугольника

p1= P1/2;//полупериметр первого треугольника

P2= d+c+f;//периметр второго треугольника

p2= P2/2;//полупериметр второго треугольника

G1=p1*(p1-a)*(p1-b)*(p1-f);//выражение под корнем

S1=sqrt(G1);//пользуясь формулой Герона извлекаем корень

//аналогично для второго треугольника

G2=p2*(p2-d)*(p2-c)*(p2-f);

S2=sqrt(G2);

SO=S1+S2;//находим общую площадь фигуры состоящую из двух треугольников

cout<<fixed<<setprecision(4)<<SO;

return 0;

}

Способ решения

Вспомним формулу Герона [latex] S = \sqrt{p \cdot(p-a) \cdot(p-b) \cdot(p-c)}[/latex].

Поймем, что нам не хватает некоторых данных, а именно [latex]p[/latex].

Понимаем, что [latex]p[/latex] — это полупериметр, который находится по формуле [latex]p=\frac{P}{2}[/latex].

Возникает вопрос, что такое [latex]P[/latex] ? Приходим к выводу, что это периметр.

Находим формулу периметра, который равен [latex]P=a+b+c[/latex]. Данная формула была подведена под условие нашей задачи.

После того как мы вывели формулы, можем приступать к решению задачи.

Подставляя исходные данные в формулы, которые были представлены выше, получаем результат.

Более подробное описание каждого действия представлено выше в коде. Это сделано для того, чтобы пользователь получал ответы на интересующие его вопросы непосредственно в момент их возникновения.