e-olymp 1610. Зайцы в клетках

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

Всем известен, так называемый, принцип Дирихле, который формулируется следующим образом:

Предположим, что некоторое число кроликов рассажены в клетках. Если число кроликов больше, чем число клеток, то хотя бы в одной из клеток будет больше одного кролика.

В данной задаче мы рассмотрим более общий случай этого классического математического факта. Пусть имеется n клеток и m зайцев, которых рассадили по этим клеткам. Вам требуется расcчитать максимальное количество зайцев, которое гарантированно окажется в одной клетке.

Входные данные

В одной строке заданы два натуральных числа n и m (1n, m ≤ [latex]\ 10^{9}[/latex]).

Выходные данные

Максимальное количество зайцев, которое гарантированно окажется в одной клетке.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 3 4 2
2 15 144 10
3 1 7 7
4 100 123456 1235
5 222 222 1

Код

Решение

Распределяя всех [latex]m[/latex] зайцев равномерно по клеткам [latex]n[/latex] получается что минимальное количество зайцев в клетке [latex]\ m / n [/latex] . Максимальное в свою очередь будет [latex] m / n + 1 [/latex] (если же  [latex] m [/latex]%[latex] n [/latex] != 0 ) . Для получения результата воспользуемся математической функцией ceil (округление вверх).

Ссылки

ideone
e-olymp

e-olymp 7367. Спортсмен

Задача

Спортсмен в первый день пробежал 10 км. Каждого следующего дня он увеличивал норму на 10% от нормы предыдущего дня. Опредилить через какое найменьшее количество дней спортсмен пробежит сусмарный путь не меньший чем [latex]N[/latex] км.

Входные данные

Целое число [latex]N (0 < N≤ 1000)[/latex].

Выходные данные

Единственное число – количество дней.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 9 1
2 45 4
3 324 16
4 1234 28
5 213213123 153

Код программы №1 (с использованием цикла):

Решение задачи:

Сначала вводим 4 переменные: [latex] k=1 [/latex] ( количество дней ), [latex] T=10 [/latex] ( количество километров которое спортсмен пробежал ), [latex] N [/latex] ( количество километров которое спортсмен должен пробежать ) и [latex] S [/latex] ( количество километров которое спортсмен пробегает в день ). Цикл каждый раз будет прибавлять к расстоянию которое пробежал спортсмен, количество километров которое спортсмен должен пробежать в течение следующего дня, с учетом того, что каждый день он будет пробегать на [latex] 10 [/latex] процентов больше, чем в прошлый день, параллельно увеличивая количество дней, пока [latex] N [/latex] будет больше [latex] T [/latex]. Если же [latex] N [/latex] при вводе изначально будет меньше [latex] T [/latex], то программа выведет, что спортсмену достаточно одного дня.

  • Время срабатывания программы при [latex]N = 1000[/latex] : [latex]65[/latex] [latex]ms[/latex]

 

Ссылки

  • Задача на сайте e-olymp
  • Код решения в Ideone

Код программы №2(с использованием линейных вычислений):

Решение задачи:

Также данную задачу можно решить с помощью формулы геометрической прогрессии [latex]S=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}[/latex] из которой нам нужно будет выразить степень [latex] n [/latex] через логарифм при условии того, что по условию задачи мы знаем, что [latex] q=1.1 [/latex] и [latex] b_1=1 [/latex]. И мы получаем, что [latex] \left(n=\log_{1.1}\left(\frac{s}{100}+1\right)\right) [/latex]. При записи логарифма по основанию в С++ мы пользуемся основным свойством логарифмов: [latex] \log_{a}\left(b\right)=\frac{\log_{c}\left(b\right)}{\log_{c}\left(a\right)} [/latex]. Также используем функцию сeil, которая округлит выходное число вверх, до ближайшего целого. ( [latex] S [/latex] — количество километров, которое должен пробежать спортсмен ).

  • Время срабатывания программы при [latex]N = 1000[/latex] : [latex]76[/latex] [latex]ms[/latex]

Ссылки

e-olymp 1474. Сломанные часы

Задача

В электронных часах произошел сбой, и теперь каждую секунду увеличивается не счетчик секунд, а счетчик часов. При переполнении счетчика часов (то есть при достижении [latex]24[/latex]) он сбрасывается в [latex]0[/latex] и увеличивается счетчик минут. Аналогично, при переполнении счетчика минут происходит его сброс и увеличивается счетчик секунд. При переполнении счетчика секунд он также сбрасывается в [latex]0[/latex], а остальные счетчики так и остаются равными [latex]0[/latex]. Известно, что сбой произошел в [latex]h_1[/latex] часов [latex]m_1[/latex] минут [latex]s_1[/latex] секунд. В этот момент часы показывали правильное время.

Напишите программу, определяющую по показаниям сломанных часов правильное время.

Входные данные

В первой строке задаются три целых числа [latex]h_1[/latex], [latex]m_1[/latex], [latex]s_1[/latex], определяющие время поломки часов. Во второй строке записаны три числа [latex]h_2[/latex], [latex]m_2[/latex], [latex]s_2[/latex], которые определяют показания часов в текущий момент времени ( [latex]0\;\le\;h_1,\;h_2\;\lt\;24[/latex], [latex]0\;\le m_1,\;m_2,\;s_1,\;s_2\;\lt\;60[/latex] ).

Выходные данные

В единственной строке выведите правильное время (т.е. число часов, минут и секунд) в момент, когда сломанные часы будут показывать [latex]h_2[/latex] часов [latex]m_2[/latex] минут [latex]s_2[/latex] секунд.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]12 \; 0 \; 0\\12 \; 1 \; 0[/latex] [latex]12 \; 0 \; 24[/latex]
[latex]13 \; 59 \; 59\\12 \; 59 \; 59[/latex] [latex]13 \; 59 \; 58[/latex]
[latex]15 \; 12 \; 16\\15 \; 12 \; 16[/latex] [latex]15 \; 12 \; 16[/latex]
[latex]\;0 \;\;\; 0 \;\;\; 0\\23 \; 59 \; 59[/latex] [latex]23 \; 59 \; 59[/latex]
[latex]16 \; 0 \; 17\\16 \; 0 \; 18[/latex] [latex]16 \; 24 \;17[/latex]
[latex]11 \;\; 0 \;\; 53\\0 \;\;\; 0 \;\;\; 0[/latex] [latex]13 \; 48 \; 42[/latex]
[latex]1 \;\; 13 \; 18\\22 \; 51 \; 32[/latex] [latex]7 \;\;\; 4 \;\;\; 51[/latex]

Код программы

 

Решение

Учитывая особенности хода сломанных часов, подсчитаем количество секунд в начальный и конечный моменты времени ( sum1 и sum2). Вычислим, сколько секунд прошло с момента поломки часов — для этого найдём разность sum2 - sum1, прибавим [latex]86400[/latex] —  количество секунд в сутках (поскольку мог произойти переход через момент времени [latex]0 \; : \; 0 \; : \; 0[/latex]) и найдём остаток от деления полученной суммы на [latex]86400[/latex].

Теперь найдём количество секунд, прошедших с начала суток, в которых поломались часы ( time1). Прибавим к нему количество секунд, прошедших с момента поломки часов и найдём остаток от деления на [latex]86400[/latex] полученного числа. Имеем time2 — правильное время в секундах. Далее, находим значения счётчиков часов [latex]h_3[/latex], минут [latex]m_3[/latex] и секунд [latex]s_3[/latex] которые соответствуют моменту времени time2.

Ссылки

Условия задачи на e-olymp
Код задачи на ideone

e-olymp 51. К-домино

Задача

ДоминоРаботник отдела технического контроля любил выбраковывать «доминошки», которые содержали одинаковые значения. Так как на предприятии, выпускающем [latex]K[/latex]-домино, этого не знали, к нему постоянно поступали претензии на сумму, равную стоимости [latex]K[/latex]-домино. Стоимость [latex]K[/latex]-домино составляла ровно столько гривен, сколько было в купленном покупателем наборе доминошек.Для того, чтобы его не уволили с работы, работник ОТК выбраковывал иногда не только все не любимые «доминошки», а несколько больше, но не более половины гарантированно выбраковыванных.Зная сумму претензии, пришедшей на предприятие, установите, какой из наборов [latex]K[/latex]-домино был куплен покупателем.

Входные данные

Единственное число [latex]S[/latex] – сумма претензии, пришедшей на предприятие, [latex]S ≤ 2000000000[/latex].

Выходные данные

Единственное число – индекс [latex]K[/latex] купленного покупателем [latex]K[/latex]-домино.

Входные данные Выходные данные
1 5 3
2 10 4
3 1000000 1414
4 555666777888 1054198
5 13 5

Код программы

Решение

[latex]K[/latex]-домино — набор домино с минимальным количеством точек на одной из половин доминошки.
Количество дублей, то есть количество точно выбракованных доминошек — [latex]k[/latex]+1. Общее количество доминошек [latex]k[/latex]-домино:$$(k+1){{k+2}\over{2}}$$
Пусть работник дополнительно выбраковывал [latex]e[/latex] доминошек. [latex]s[/latex] — сумма претензии, тогда имеем:

[latex]k+1+e+s= (k+1){{k+2}\over{2}}[/latex]

[latex]k^2<=2s+1[/latex]

[latex]k=[\sqrt{2s+1}][/latex]

Ссылки

Ссылка на e-olymp.
Ссылка на Ideone

e-olymp 7612. Алекс и квадраты оригами

Задача

Алекс любит оригами — японское искусство складывания из бумаги. Большинство конструкций оригами начинаются с квадратного листа бумаги. Алекс собирается сделать подарок для своей матери. Подарочная конструкция требует три одинаковых квадратных листа бумаги, но у Алекса имеется только один прямоугольный лист. Он может из него вырезать квадраты, стороны которых должны быть параллельны сторонам листа. Помогите Алексу определить максимально возможный размер квадратов, который он способен вырезать.

Входные данные

В одной строке два целых числа [latex]h[/latex] и [latex]w[/latex] ([latex]1 ≤ h, w ≤ 1000[/latex]) — высота и ширина куска бумаги.

Выходные данные

Выведите одно действительное число — наибольшую длину стороны квадратов. Всегда можно вырезать три одинаковых квадрата из листа бумаги размером [latex]h × w[/latex] так, чтобы их стороны были параллельны сторонам листа.

Ответ следует вывести с точностью не меньше трех десятичных знаков.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$100$ $100$ $50.000$
$10$ $80$ $10.000$
$50$ $76$ $25.333$
$60$ $27$ $20.000$
$8$ $3$ $2.667$

Код программы

Решение задачи

Существует два варианта оптимального расположения трех квадратов — три в один ряд,

или же два, соприкасающихся одной стороной, и третий над ними

Обозначим за [latex]a[/latex] меньшую сторону листа бумаги, а за [latex]b[/latex] — большую. Если [latex]a[/latex] не больше [latex]\frac{b}{3}[/latex], то оптимальным расположением квадратов в прямоугольнике будет первый вариант, а наибольшей возможной стороной квадратов является меньшая сторона листа бумаги [latex]a[/latex]. В противном случае рассмотрим два варианта:

  1. Если [latex]\frac{a}{2}<\frac{b}{3}[/latex], то квадраты будут располагаться в прямоугольнике первым способом, и ответом будет служить число [latex]\frac{a}{2}[/latex].
  2. Иначе квадраты будут располагаться в прямоугольнике вторым способом, и ответом будет служить число [latex]\frac{b}{3}[/latex].

Таким образом, в случае [latex]a>\frac{b}{3}[/latex] ответом будет служить большее из двух чисел [latex]\frac{a}{2}[/latex] и [latex]\frac{b}{3}[/latex].
Минимальное из [latex]\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)[/latex] и [latex]a[/latex] число и будет ответом.
Проверим нашу формулу:если [latex]a<\frac{b}{3}[/latex], то [latex] \max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)=\frac{b}{3} [/latex], и тогда [latex]\min\left(a,\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)\right)=a[/latex]. Иначе [latex]\min\left(a,\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)\right)=\max\left(\frac{b}{3},\frac{a}{2}\right)[/latex], что нам и требуется.

Ссылки

Условие задачи на сайте E-Olymp
Код решения задачи

e-olymp 932. Высота треугольника

Задача

Определить высоту треугольника площадью [latex]S[/latex], если его основание больше высоты на величину [latex]a[/latex].

Входные данные

Два целых числа: [latex]S (0 < S ≤ 100), и[/latex] [latex]a[/latex] ([latex]\left | a \right |[/latex] ≤ 100).

Выходные данные

Искомая высота с точностью до сотых.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 20 7 3.73
2 35 3 7.00
3 12 4 3.29
4 67 9 7.92
5 135 13 11.17

Код программы

Алгоритм решения задачи

  1. Формула для вычисления площади треугольника [latex]S=[/latex][latex]\frac{1}{2}\cdot h \cdot c[/latex], где [latex]h[/latex] – высота, а [latex]c[/latex] – сторона, к которой высота проведена.
  2. В задаче сказано, что основание больше высоты на величину [latex]a[/latex]. Значит вместо [latex]c[/latex] мы можем подставить в формулу [latex]h+a[/latex]. Теперь формула приобретает следующий вид: [latex]S=[/latex][latex]\frac{1}{2}\cdot h \cdot \left (h+a \right )[/latex]
  3. Cовершив некоторые преобразования приходим к квадратному уравнению [latex]h^{2}+a\cdot h-2\cdot S = 0[/latex]
  4. Далее находим дискриминант по формуле [latex]D = a^{2}+4\cdot2\cdot S[/latex]. Находим корень квадратный из дискриминанта [latex]\sqrt{D}[/latex]
  5. Находим высоту по формуле [latex]h=\frac{-a+\sqrt{D}}{2}[/latex]
  6. Второй корень нам не подходит, потому что он меньше [latex]0[/latex], а длина не может быть отрицательной.
  7. Подставляем исходные данные в формулы, получаем результат.

Также подробное описание представлено в коде программы.

Ссылки

Ссылка на e-olymp

Ссылка на ideone