e-Olymp 3604. Крейсерская скорость

Задача

Выдающийся ямайский спринтер Усейн Болд выиграл на Олимпиаде-2012 две золотые медали на дистанциях 100 и 200 метров.

Эти обе дистанции нам интересны тем, что могут при определённом научном подходе, предоставлять тренеру информацию в определении оптимального состава сборной команды страны для эстафеты 4×100 метров.

Так как обе дистанции очень коротки, то тактика бега здесь довольно проста: сначала спортсмен за какое-то стартовое время (время разгона) разгоняется до своей максимально возможной на данный момент скорости, а оставшуюся часть дистанции бежит с этой постоянной скоростью, которую назовём крейсерской скоростью. Естественно, что при формировании команды в эстафету нужно на старт ставить спортсмена, который на этой дистанции показывает наилучшее время, а на 3 оставшихся этапа отбирать из числа оставшихся спортсменов трёх с наилучшей крейсерской скоростью.

Тренер легкоатлетической сборной вашей страны поручил вам, как одному из лучших программистов, помочь ему с формированием состава сборной на эстафету. Для оказания оперативной помощи тренеру вам необходимо быстро решить следующую задачу: зная результаты спортсмена на дистанциях 100 и 200 метров, определить его крейсерскую скорость. Вам также известно, что крейсерская скорость и время разгона каждого из спортсменов на протяжении ваших исследований не изменялись.

Входные данные

В единственной строке задано 2 вещественных числа, разделённых единичным пробелом, соответственно результат спортсмена на дистанциях 100 и 200 метров.

Выходные данные

единственной строке выведите крейсерскую скорость спортсмена с точностью не менее 6-ти знаков после запятой.

Тесты

Входные данные Выходные данные
9.63  19.32 10.319917
12.49  21.30 11.350737
7.46  13.58 16.339869

Код программы:

Решение задачи

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами скорости. Нам было дано время прохождения двух дистанций в 100 метров и 200 метров. Так как спортсмен разгоняется на дистанции 100 метров, то оставшиеся 100 метров из 200 он бежит с постоянной скоростью. Чтобы узнать время за сколько он пробегает вторые 100 метров, мы отнимает из второго времени первое. Дальше мы пользуемся формулой нахождения скорости по расстоянию и времени [latex]\frac{s}{t}[/latex]. Полученая скорость и будет крейсерской скоростью.

Ссылки

 

  • Задача на сайте e-olymp
  • Код решения в Ideone

 

e-olimp 57. Бабочка-санитар

Бондаренко Кирилл
Бондаренко Кирилл

Latest posts by Бондаренко Кирилл (see all)

Задача

e-olimp 57. Бабочка-санитар

e-olimp 57. Бабочка-санитар

Школьники, идя из дому в школу или наоборот — со школы домой, любят кушать конфеты. Но, как всегда, это приятное дело иногда имеет неприятные последствия – детки часто выбрасывают обертки на школьном дворе.
Мурзик всегда следил за чистотой школьного двора и ему в этом с радостью помогали бабочки, благодарные за прекрасные фотографии, сделанные им. Бабочки могли использовать собственные крылышки как линзы, причем они могли изменять их фокусное расстояние. Заметив обертку от конфетки, лежавшую на школьном дворе в точке с координатами [latex]X_1[/latex], [latex]Y_1[/latex], бабочка перелетала в точку с координатами [latex]X_2[/latex], [latex]Y_2[/latex], [latex]Z_2[/latex], расположенную на пути солнечных лучей к обертке и, изменяя фокусное расстояние своих крылышек-линз, сжигали обертку от конфеты.
Какую оптическую силу [latex]D[/latex] имели крылышки-линзы бабочки в этот момент? Continue reading

Универсальное дерево отрезков

Некоторые теоретические сведения

Обобщённое условие задач на дерево отрезков, как правило, выглядит так:
«Пусть дан моноид [latex]\left(\mathbb{G}, \circ\right)[/latex], где [latex]\mathbb{G}[/latex] — некоторое непустое множество, [latex]\circ[/latex] — ассоциативная бинарная алгебраическая операция на этом множестве, имеющая нейтральный элемент, [latex]A[/latex] — последовательность (массив) элементов из [latex]\mathbb{G}[/latex], содержащая [latex]n[/latex] элементов ([latex]n \in \mathbb{N}[/latex]; с математической точки зрения [latex]A[/latex] — вектор, построенный из элементов [latex]\mathbb{G}[/latex], или [latex]А = \left( x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1} \right) \in \mathbb{G}^{n}[/latex]).
Даётся [latex]m[/latex] ([latex]m \in \mathbb{N}[/latex]) запросов двух типов:
1) вычислить значение выражения [latex]x_{i} \circ x_{i+1} \circ \ldots \circ x_{j-1} \circ x_{j}[/latex] с заданными [latex]i[/latex], [latex]j[/latex] ([latex]0 \le i \le j \le n-1[/latex], [latex]i, j \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex]) и вывести его;
2) заменить значение элемента с индексом [latex]k[/latex] на [latex]y[/latex] ([latex]k \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex], [latex]k \le n-1[/latex], [latex]y \in \mathbb{G}[/latex]).»

Как правило, человек, впервые увидевший задачу подобного рода, решает её следующим образом: для запросов первого типа (далее — запросы значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex]) создаётся вспомогательная переменная, изначально равная нейтральному элементу моноида (к примеру, если [latex]\left( \mathbb{G}, \circ \right) = \left( \mathbb{Z}, + \right)[/latex] то нейтральным элементом относительно [latex]+[/latex] является [latex]0[/latex]), и запускается цикл на заданном отрезке, который «прибавляет» к ней новые «слагаемые», а обработка запросов из пункта 2 реализуется через простое присваивание элементу массива с заданным индексом [latex]i[/latex] значения [latex]y[/latex]. Таким образом вычислительная сложность запросов замены составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], а запросов поиска значения на отрезке [latex]\left[i, j\right][/latex] в лучшем случае составляет [latex]O\left(1\right)[/latex], когда [latex]i = j[/latex], а в худшем [latex]O\left(n\right)[/latex], когда [latex]i = 0[/latex], [latex]j = n-1[/latex].

Дерево отрезковструктура данных, которая позволяет сбалансировать операции замены и вычисления значения на заданном отрезке до вычислительной сложности [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex] и значительно улучшить общую сложность программы с [latex]O\left(n+n\cdot m\right) = O\left(n\cdot m\right)[/latex] до [latex]O\left(n+m\cdot\log_{2}{n}\right)[/latex].

Определение: массив/последовательность элементов/вектор, над которым построено дерево отрезков, называется базой дерева или просто базой, а число её элементов — её размерностью.

Задача 1: единичная модификация

Написать класс «дерево отрезков», применимый к любой задаче на моноиде, в которой присутствуют запросы замены элемента и результата операции на отрезке,
и таблицу его базовых функций и параметров.

Код класса

Описание класса

Далее [latex]n[/latex] — размерность базы дерева.

Название объекта Описание
Параметр
TYPE Тип объектов дерева, над которыми будут проводится вычисления.
Внутренние объекты
SegmentTree Массив, хранящий в себе дерево отрезков.
base_capacity Переменная, хранящая округлённую к ближайшей большей степени двойки размерность базы дерева отрезков.
g Указатель на функцию, которая представляет из себя ассоциативную бинарную операцию. Формально определяется как функция/операция.
neutral Нейтральный элемент относительно бинарной операции g.
Методы класса
construct

Аргументы:

  1. Адрес начала полуинтервала [latex]a[/latex];
  2. Адрес конца полуинтервала [latex]b[/latex];
  3. Ассоциативная бинарная операция f;
  4. Нейтральный элемент относительно f.

Генерирует базу на основе полуинтервала [latex]\left[a; b\right)[/latex], копируя его элементы внутрь дерева, и строит на основе этой базы дерево отрезков.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

read_and_construct Аргументы:

  1. Размер базы дерева;
  2. Функция-препроцессор;
  3. Ассоциативная бинарная операция f;
  4. Нейтральный элемент относительно f.

Генерирует базу на основе элементов, возвращаемых функцией-препроцессором, и строит на их основе дерево отрезков.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

assign Аргументы:

  1. Индекс элемента;
  2. Новое значение элемента.

Заменяет значение элемента с заданным индексом на новое.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

result_on_segment Аргументы:

  1. Индекс левого конца отрезка;
  2. Индекс правого конца отрезка.

Возвращает результат функции на заданном отрезке.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

Инструкция по применению

Прежде всего, код универсального дерева отрезков необходимо скопировать в исходную программу.

Построение:

  • Создать тип объектов (структуру данных), который будет использоваться в дереве для вычислений; (в зависимости от задачи. Вполне может быть, что необходимый для решения задачи класс уже создан. Например — int или double.)
  • Инициализировать дерево отрезков, передав классу segments_tree в качестве параметра тип объектов, над которыми будут проводиться вычисления, и задав дереву имя. (инициализация класса segments_tree происходит аналогично инициализации класса vector)
  • Построить дерево отрезков на основе заданных элементов при помощи метода construct или read_and_construct, передав методу соответствующие параметры (упомянутые в таблице выше);

Далее для вычисления результатов на отрезках и модификаций элементов с заданным индексом использовать методы result_on_segment и assign соответственно.

Пример использования

Примечание: условие и альтернативное решение приведённой ниже задачи находится по этой ссылке.

Решение задачи №4082 на www.e-olymp.com

Так как в задаче необходимо выводить знак или произведения на заданных отрезках (либо нуль), то очевидно, что сами числа не интересуют нас. Тогда каждое из них можно представить в виде пары (zero, plus)[latex]= \left(a, b\right) \in \mathbb{B}^{2}[/latex] (где [latex]\mathbb{B}[/latex] — булево множество), где первый элемент пар [latex]a[/latex] будет характеризовать равенство числа нулю, а [latex]b[/latex] — его положительность. Назовём структуру данных пар такого типа number_sign. Функция make_number_sign будет преобразовывать числа типа short в number_sign. Затем определим для этой структуры функцию умножения prod формулой prod(number_sign a, number_sign b)[latex]=[/latex] (a.zero|b.zero, !(a.plus^b.plus));. В первой части формулы используется дизъюнкция, так как произведение нуля и произвольного числа всегда должно возвращать нуль, а во второй части — эквиваленция, так как результат произведения является отрицательным, если оба аргумента различны по знаку.

Затем, предварительно считав размер базы, конструируем дерево отрезков методом read_and_construct, передавая ему число элементов базы, анонимную функцию-препроцессор, которая считывает элементы базы из входного потока и которая преобразует их в тип данных number_sign, функцию произведения prod и её нейтральный элемент number_sign(), являющийся парой [latex]\left(0, 1\right)[/latex], который по сути представляет из себя число [latex]+1[/latex] (нейтральный элемент умножения).

Остальная часть решения требует только замены старых элементов новыми и вычислений результатов на отрезках, для чего есть готовые методы класса.

Фрагмент кода

Задача 2

Дополнить класс «дерево отрезков» из первой задачи таким образом, чтобы для базы дерева были реализованы:

  • параметры «вместимость» и «размер»;
  • функции добавления нового элемента в базу;
  • функции, возвращающие размер базы и вместимость дерева;
  • функция изменения размера базы.

Написать таблицу новых функций и параметров.

Код класса

Описание дополнительных объектов класса

Название объекта Описание
Новый внутренний объект
base_size Переменная, хранящая размерность базы дерева отрезков.
Новые методы класса
begin

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает адрес начала базы.
Вычислительная сложность: константа.

end Аргументы: отсутствуют.
Возвращает адрес конца базы.
Вычислительная сложность: константа.
push_back Аргумент: значение нового элемента базы.
Добавляет новый элемент в конец базы.
Вычислительная сложность: если база заполнена, то [latex]O\left(n\right)[/latex], иначе — [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

pop_back

Аргументы: отсутствуют.
Удаляет элемент в конце базы.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(\log_{2}{n}\right)[/latex].

insert

Аргументы:

  1. Индекс нового элемента;
  2. Значение нового элемента.

Добавляет на заданную позицию базы новый элемент с заданным значением.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

erase

Аргумент: индекс удаляемого элемента.
Удаляет из базы элемент с заданным индексом.
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex].

size

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает размерность базы дерева.
Вычислительная сложность: константа.

capacity

Аргументы: отсутствуют.
Возвращает размерность базы дерева, округлённую к ближайшей большей степени двойки. Позволяет оценить число неиспользованных ячеек, на которые уже выделена память.
Вычислительная сложность: константа.

resize

Аргумент: новый размер базы.
Изменяет размер базы дерева, и преобразовывает незадействованные элементы в нейтральные
Вычислительная сложность: [latex]O\left(n\right)[/latex], если новый размер базы превысил вместимость дерева или является меньше, чем старый, и константа в противном случае.

Задача 3: множественные модификации

Обобщённая формулировка задач этого типа несколько отличается от предыдущей:
«Пусть даны моноид [latex]\left(\mathbb{G}, \circ\right)[/latex], последовательность (массив) [latex]A[/latex] элементов из [latex]\mathbb{G}[/latex] длины [latex]n[/latex], и определена некоторая функция [latex]f: \mathbb{M} \to \mathbb{G}[/latex], где [latex]\mathbb{M}[/latex] — множество всех параметров для модификации элементов.
Для [latex]0 \le i \le j \le n-1[/latex], [latex]i, j \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \}[/latex], даётся [latex]m[/latex] ([latex]m \in \mathbb{N}[/latex]) запросов двух типов:
1) вычислить значение выражения [latex]x_{i} \circ x_{i+1} \circ \ldots \circ x_{j-1} \circ x_{j}[/latex] с заданными [latex]i[/latex], [latex]j[/latex] и вывести его;
2) заменить значения элементов [latex]x_{k}[/latex] на [latex]f \left( y \right)[/latex], [latex]k = \overline{i, j}[/latex], [latex]y \in \mathbb{M}[/latex] (проще говоря, модифицировать отрезок [latex]\left[i, j \right][/latex] функцией [latex]f\left(y\right)[/latex]).

Как правило, в этих задачах функция [latex]f[/latex] имеет определённую закономерность относительно элементов моноида (и это естественно, так как хаотическая модификация не поддаётся никакой оценке, и единственный выход в случае хаотических множественных модификаций — напрямую модифицировать элементы дерева, что имеет асимптотику [latex]O \left( n \right)[/latex] в лучшем случае). Основная идея — использовать эту закономерность, чтобы модифицировать не весь отрезок, а только вершину в дереве, отвечающую за него, что улучшает сложность модификации отрезка до [latex]O \left( \log_{2}{n} \right)[/latex], а в случае запросов, которые затрагивают дочерние вершины, «протолкнуть» эту модификацию в них.

ПРИМЕЧАНИЕ: данная часть статьи будет существенно доработана в ближайшее время, а пока доступен код универсального класса «дерево отрезков» для задач с множественной модификацией.

Код класса

Ссылки

KM210. Классы эквивалентности некоторой последовательности

Задача
Задача из журнала «Квант» №3, 1974 год (Задача составлена на основе задачи Гуревича)

Рассмотрим последовательности, состоящие из [latex]n[/latex] цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует классов эквивалентности?

Входные данные

[latex]n[/latex] — целове число, [latex]k[/latex] — целое число ([latex]k \neq 0[/latex], [latex]k \leq n[/latex]).

Выходные данные

[latex]m[/latex] — целое число, неполное частное от деления, [latex]q[/latex] — целое число, остаток от деления, [latex]N[/latex] — классы эквивалентности.

Тесты

[latex]n[/latex] [latex]k[/latex] [latex]m[/latex] [latex]q[/latex] [latex]N[/latex]
4 3 1 1 12
8 4 2 0 81

Код программы

Код программы на С++

Код программы на Java

Решение

Решим задачу для последовательностей из [latex]3n[/latex] цифр. Чтобы не возникло путаницы, греческими буквами будем обозначать последовательности, а латинскими – элементы последовательностей. Пусть последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из [latex]3n[/latex] цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex]. Разобъем [latex]\alpha[/latex] на три подпоследовательности:
[latex]\alpha_1={\alpha_1,\alpha_4,\alpha_7,\ldots, \alpha_{3k+1},\ldots,\alpha_{3(n-1)+1}}[/latex],
[latex]\alpha_2={\alpha_2, \alpha_5, \alpha_8,\ldots, \alpha_{3k+2},\ldots,\alpha_{3(n-1)+2}}[/latex],
[latex]\alpha_3={\alpha_3, \alpha_6, \alpha_9,\ldots, \alpha_{3k},\ldots,\alpha_{3n}}[/latex].
Такое разбиение будем называть стандартным. Каждая из последовательностей [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] стандартного разбиения состоит из [latex]n[/latex] цифр. Пусть [latex]\beta[/latex] – произвольная последовательностей. Через [latex]|\beta|[/latex] обозначим число единиц в последовательности [latex]\beta[/latex]. Подсчет числа неэквивалентных последовательностей основывается на следующей теореме:
Теорема. Пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]3n[/latex], ([latex]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/latex]) и ([latex]\beta_1,\beta_2,\beta_3[/latex]) – их стандартные разбиения. Для того чтобы последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы подпоследовательности [latex]\alpha_1[/latex] и [latex]\beta_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex] и [latex]\beta_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] и [latex]\beta_3[/latex] содержали одинаковое число единиц соответственно, то есть чтобы выполнялось условие
[latex]|\alpha_1|=|\beta_1|[/latex], [latex]|\alpha_2|=|\beta_2|[/latex], [latex]|\alpha_3|=|\beta_3|[/latex].
Покажем сначала, как на основе этой теоремы подсчитывается число неэквивалентных последовательностей, а затем докажем теорему. В силу теоремы каждый класс эквивалентных последовательностей однозначно определяются упорядоченной тройкой чисел ([latex]|\alpha_1|, |\alpha_2|, |\alpha_3|[/latex]). Эти числа смогут принимать любые значения от 0 до [latex]n[/latex]. Следовательно, число неэквивалентных последовательностей длины [latex]3n[/latex] равно числу различных упорядоченных троек целых чисел от 0 до [latex]n[/latex]. Нетрудно видеть, что число таких троек равно [latex] \left(n+1\right)^{3} [/latex].
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть мы переставили в последовательности [latex]\alpha={\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex] две соседние тройки цифр: [latex]a_k, a_{k+1}, a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+3}, a_{k+4}, a_{k+5}[/latex]. Эту перестановку можно представить следующим образом: сначала поменяли местами цифры [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex], затем поменяли местами цифры [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] и, наконец, поменяли местами цифры [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex]. Число [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex] – соседние цифры одной и той же подпоследовательности стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex]; числа [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] – другой, а числа [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex] – третьей. Таким образом, в каждой из подпоследоваетльностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex] мы пeреставили два соседних члена. Значит, если последовательность [latex]\beta[/latex] получена из последовательности [latex]\alpha[/latex] конечным числом перестановок, то есть, если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны, то подпоследовательности [latex]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\beta[/latex] суть некоторые перестановки подпоследовательностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] соответственно. Отсюда вытекают равенства (1).
Достаточность. Нам надо доказать, что если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]3n[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквиваленты. Удобнее доказывать более общее утверждение: если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]k[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквивалентны. Доказательство будем вести индукцией по [latex]k[/latex].
1) При [latex]k=1[/latex] последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] содержит по одной цифре. Из условия (1) следует, что эти цифры равны, то есть что последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] просто совпадают.
2) Предположим, что в случае, когда [latex]k=p[/latex], утверждение уже доказано. Докажем его при [latex]k=p+1[/latex]. Итак, пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]p+1[/latex] и пусть выполнено соотношение (1). Пусть далее, последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex], а последовательность [latex]\beta[/latex] — из цифр [latex]{\beta_1, \beta_2,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex].
а) если [latex]\alpha_1 = \beta_1[/latex], то рассмотрим последовательности [latex]\alpha\prime={\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex] и [latex]\beta\prime={\beta_2,\beta_3,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex]. Ясно, что последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] удовлетворяют условия (1). А так как длины этих последовательностей равны [latex]p[/latex], то можно воспользоваться индуктивным предположением. Таким образом, последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] эквивалентны, то есть последовательность [latex]\alpha\prime[/latex] несколькими перестановками можно перевести в последовательность [latex]\beta\prime[/latex]. Эти же перестановки переводят [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex]. Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны.
б) Пусть [latex]a_1\neq b_1[/latex], и пусть для определенности [latex]a_1=1[/latex], а [latex]b_1=2[/latex]. Так как [latex]a_1=1[/latex], то [latex]|\alpha|>0[/latex]. Тогда в силу (1) и [latex]|\beta|>0[/latex]. Следовательно, найдется число [latex]q[/latex] такое, что [latex]b_{3q+1} = 1[/latex]. В последовательности [latex]\beta[/latex] поменяем местами соседние тройки цифр [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] и [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3(q-1)+2}, b_{3(q-1)+3}[/latex]. В результате этой перестановки тройка [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] сдвигается на 3 цифры влево. Затем поменяем местами эту тройку с рядом стоящей тройкой цифр [latex]b_{3(q-2)+1}, b_{3(q-2)+2}, b_{3(q-2)+3}[/latex] и так далее; после [latex]q[/latex] перестановок получим последовательность [latex]\beta\prime\prime[/latex], первой цифрой которой будет [latex]b_{3q+1}[/latex], то есть 1. Последовательность [latex]\beta[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] эквивалентны и поэтому, как было доказано выше, удовлетворяют условию (1). Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] удовлетворяют условию (1). Но первые элементы этих последовательностей совпадают. Таким образом, случай б) свелся к уже разобранному случаю а). Теорема доказана.
Следовательно, если [latex]n=mk+q[/latex], где [latex]0<=q<k[/latex], то число классов эквивалентных последовательностей равно [latex] \left(m+1\right)^{k-q}\left(k+1\right)^{q} [/latex].

Ссылки

Условие задачи (стр.40-41)
Решение задачи на сайте Ideone.com (C++)
Решение задачи на сайте Ideone.com (Java)

ML37. Самолёт и ветер

Задача

Самолёт летит из пункта в [latex]A[/latex] в пункт [latex]B[/latex] и обратно со скоростью [latex]V[/latex] км/час. Всё время дует ветер с постоянной скоростью [latex]U[/latex] км/час под углом [latex]\alpha[/latex] радиан к направлению движения (0 соответствует попутному ветру). Расстояние между пунктами составляет [latex]S[/latex] км. Для любых неотрицательных действительных значений угла, расстояния и скоростей вычислите время в пути.

Входные данные

[latex]V[/latex]-скорость самолета, [latex]U[/latex]-скорость ветра, [latex]S[/latex]-расстояние [latex]AB[/latex], [latex]\alpha[/latex]-угол направления ветра.

Выходные данные

Время полета [latex]t[/latex] в часах.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]V[/latex] [latex]U[/latex] [latex]S[/latex] [latex]\alpha[/latex] [latex]t[/latex]
600 20 1200 1,5708 4.0013
600 20 1200 0 4.00445
600 20 1200 3,1415 4.00436
600 20 1200 1,0472 4.0013
600 20 1200 2,6179 4.00077
600 601 1200 0 inf
0 20 1200 0 inf

Код программы

Решение

Учитывая скорость ветра [latex]U[/latex] и угол [latex]\alpha[/latex] под которым ветер дует на самолет, на пути от [latex]A[/latex] к [latex]B[/latex] скорость самолета будет равна [latex]V+cos(\alpha)\cdot U[/latex] , а на обратном пути от [latex]B[/latex] к [latex]A[/latex] скорость самолета будет равна [latex]V-cos(\alpha)\cdot U[/latex].Общее время полета узнаем по формуле [latex]t =\frac{S}{V+cos(\alpha)\cdot U} +\frac{S}{V-cos(\alpha)\cdot U}[/latex].

Ссылки

Ideone

ML 36. Движение катера

Задача. Катер движется по течению реки из пункта в A в пункт B и обратно с собственной скоростью [latex]v[/latex] км/час. Скорость течения постоянна — [latex]u[/latex] км/час. Расстояние между пунктами составляет [latex]s[/latex] км. Для любых неотрицательных действительных значений расстояния и скоростей вычислите время в пути.

Решение. Пусть катер движется со скоростью [latex]v[/latex] км/час, соответственно, учитывая скорость течения [latex]u[/latex] км/час, скорость катера движущегося по течению равна [latex]v+u[/latex] км/час и против течения — [latex]v-u[/latex] км/час. Используя физическую формулу [latex]t=\frac{s}{v}[/latex], где [latex]t[/latex]-время, [latex]s[/latex]-путь, [latex]v[/latex]-скорость, можем выразить время всего пути [latex]t=\frac{s}{v+u}+\frac{s}{v-u}[/latex]. Так как физическая величина [latex]t[/latex] всегда больше 0, и по математическому свойству делитель дроби не должен равняться нулю, имеем ограничение: [latex]v>u[/latex];

Решение на языке C++ имеет вид:

Тесты

Входные данные
Физические величины: v, u, s

Выходные данные
Физическая величина t

u v s t
2 2 4 inf
1 2 6 8
5 4 8 inf

Решение на ideone.