MLoop7

23/12/2015 by Алина Гончарова

Задача

Вычислите с точностью $\epsilon$ значение функции $f\left( x \right) = \tan x$ . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Решение

Функцию [latex]f(x)=\tan x [/latex] можно представить в виде: [latex]f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}[/latex] (по свойствам тангенса). Поэтому будем раскладывать в ряд две функции: [latex]\sin x[/latex] и [latex]\cos x[/latex].

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора с опорной точкой $x_{0}=0$ (ряд Маклорена). Для функции [latex]f(x)=\sin x[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]f(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

А для [latex]f(x)=\cos x[/latex]:

[latex]f(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/latex]

Далее нам нужно найти рекуррентные формулы для членов данных рядов.

[latex]\frac{a_n}{a_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+2)(2n+3)}[/latex];

[latex]\frac{b_n}{b_n-_1}=\frac{-x^{2}}{(2n+1)(2n+2)}[/latex]

При помощи функции fmod удалим период, так как тангенс [latex]\pi[/latex] периодичная функция.

Затем необходимо накапливать сумму текущих членов ряда для синуса и косинуса соответственно до тех пор, пока слагаемое не будет меньше заданной точности.

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
double tangent(double x, double accuracy) {
	int i = 1;
	double cos = 1, sin = x, intermediateValueCos = 1, intermediateValueSin = x;
	x = fmod(x, M_PI);
	while (fabs(intermediateValueCos *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1))) > accuracy 
		&& fabs(intermediateValueSin *= - x * x / (2 * i * (2 * i + 1))) > accuracy) {
		cos += intermediateValueCos;
		sin += intermediateValueSin;
		i++;
	}
	return sin / cos;
}
 
int main() {
	double x, accuracy;
	cin >> x >> accuracy;
	cout << tangent(x, accuracy);
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double tangent(double x, double accuracy) {

int i = 1;

double cos = 1, sin = x, intermediateValueCos = 1, intermediateValueSin = x;

x = fmod(x, M_PI);

while (fabs(intermediateValueCos *= - x * x / (2 * i * (2 * i - 1))) > accuracy

&& fabs(intermediateValueSin *= - x * x / (2 * i * (2 * i + 1))) > accuracy) {

cos += intermediateValueCos;

sin += intermediateValueSin;

i++;

}

return sin / cos;

}

int main() {

double x, accuracy;

cin >> x >> accuracy;

cout << tangent(x, accuracy);

return 0;

}

Тесты

Входные данные	Выходные данные
0.42 0.001	0.446569
1.52 0.001	19.9377
3.1415 0.0001	-0.000113798

Задача взята отсюда.

Код программы на Ideone.com.

Related Images:

MLoop 17

16/12/2015 by Кондратюк Настя

Задача

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Входные данные

В одной строке заданы значение переменной [latex]x[/latex] и точность вычислений [latex]\varepsilon[/latex].
[latex]\left | x \right |< 1[/latex]

Выходные данные

Значение функции в точке [latex]x[/latex] .

Тесты

[latex]\varepsilon[/latex]	[latex]x[/latex]	[latex]ln(1-x^2)[/latex]	Результат
0.001	0.5	[latex]ln(0.75)[/latex]	-0.287435
0.0001	0.5	[latex]ln(0.75)[/latex]	-0.287671
0.01	0.1	[latex]ln(0.99)[/latex]	-0.01005
0.001	-0.1	[latex]ln(0.99)[/latex]	-0.01005
0.1	0	[latex]ln(1.00)[/latex]	0
0.01	0	[latex]ln(1.00)[/latex]	0

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double E, logarithm = 0, ai = 1, p = 1, x;
    int i = 1;
    cin >> x >> E;
    while(ai > E){
        p *= x*x;  // вычисление числителя члена ряда
        ai = p / i; // вычисление члена ряда
        logarithm -= ai; 
        i++;
    }
    cout <<  logarithm;
	
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double E, logarithm = 0, ai = 1, p = 1, x;

int i = 1;

cin >> x >> E;

while(ai > E){

p *= x*x; // вычисление числителя члена ряда

ai = p / i; // вычисление члена ряда

logarithm -= ai;

i++;

}

cout << logarithm;

return 0;

}

ideone.com

Решение

Функцию [latex]f\left( x \right) = \ln \left( 1-x^2 \right)[/latex] можно представить в виде:
[latex]ln\left ( 1-x^2 \right )= ln\left ( 1-x \right )\left ( 1+x \right ) = ln\left ( 1-x \right )+ln\left ( 1+x \right )[/latex] (по свойствам логарифма).

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой Тейлора для натурального логарифма с опорной точкой [latex]x_{0}=0[/latex] (ряд Маклорена). Для функции [latex]ln\left (1+x\right )[/latex] она имеет следующий вид:

[latex]ln\left (1+x\right )=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{\left ( -1 \right )^{n-1}}{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}[/latex]

Подставив в формулу [latex]-x[/latex] вместо [latex]x[/latex] , получим:

[latex]ln\left (1-x\right )=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\cdots -\frac{x^{n}}{n}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}[/latex]

Тогда,

[latex]ln\left (1+x\right )+ln\left (1-x\right )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=[/latex] [latex]=\sum_{n=1}^{\infty }\left[\frac{\left (-1\right )^{n-1}}{n}x^{n}-\frac{x^{n}}{n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n}\left (\left (-1\right )^{n-1}-1\right )}{n}=[/latex][latex]=-x^{2}+0-\frac{x^{4}}{2}+0-\frac{x^{6}}{3}+0-\cdots[/latex]

Так как при нечетном [latex]n[/latex] члены данного ряда обращаются в ноль, его можно записать в виде:

[latex]-\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{n+1}=-x^{2}-\frac{x^{4}}{2}-\frac{x^{6}}{3}-\cdots-\frac{x^{2n+2}}{n+1}[/latex]

Далее необходимо найти рекуррентную формулу для членов данного ряда.

[latex]\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{x^{2n+2}}{n+1}\cdot\frac{n-1+1}{x^{2\left ( n-1 \right )+2}}=\frac{x^{2}\cdot n }{n+1}[/latex]

Затем необходимо суммировать до тех пор пока очередное слагаемое не будет меньше заданной точности.

Related Images:

MLoop 11

04/11/2015 by Павел Загинайло

Условие задачи

Вычислите с точностью $\epsilon$ значение функции $f\left( x \right) = \arccos x$ . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Код программы.

#include <iostream>
#include <cmath>
#define PI 3.1415926
using namespace std;

double f(double e, double x){
	int i = 0;
	double p = x;
	double s = x;
	while (p > e){
		p*=(x*x*(2*i + 1)*(2*i + 1))/(2*(i+1)*(2*i + 3));
		s+=p;
		i++;
	}
	return s;
}

int main() {
	double e; //точность
	double x;
	cin >> e >> x;
	cout << PI/2 - f(e, x) << endl;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

#define PI 3.1415926

using namespace std;

double f(double e, double x){

int i = 0;

double p = x;

double s = x;

while (p > e){

p*=(x*x*(2*i + 1)*(2*i + 1))/(2*(i+1)*(2*i + 3));

s+=p;

i++;

}

return s;

}

int main() {

double e; //точность

double x;

cin >> e >> x;

cout << PI/2 - f(e, x) << endl;

return 0;

}

Тесты

Входные данные		Выходные данные	Арккосинус
e	x	arccos = ([latex]\pi[/latex]/2 — f)	Арккосинус
0.000001	0.866	0.523651	0.5236495809
0.01	0.5	1.04727	1.0471975512
0.00000000000001	0.35	1.21323	1.2132252231
0.00001	0.99	0.141873	0.1415394733

Решение

Для того, чтобы представить функцию $f\left( x \right) = \arccos x$ необходимо воспользоваться формулой Тейлора, а именно рядом Маклорена для арккосинуса. Она имеет следующий вид:

[latex]\arccos x=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}[/latex]

Чтобы при вычислениях использовать только арифметические операции необходимо преобразовать это выражение. Первый член данной суммы — [latex]x[/latex]. Нужно узнать на что нужно домножить первый элемент, чтобы получить следующий. Для этого следует найти, чему будет равно отношение [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/latex]. В результате мы получим следующее: [latex]\frac{x^{2}(2n+1)^{2}}{2(n+1)(2n+3)}[/latex].

В функции [latex]f[/latex] переменная [latex]p[/latex] — слагаемые нашей суммы, а изначально — первый элемент. Также, в начале мы присвоили переменной суммы значение первого элемента. Затем в цикле мы домножаем наше слагаемое на полученный ранее коэффициент и складываем его с суммой до тех пор, пока значение [latex]p[/latex] превышает значение заданной точности [latex]e[/latex]. В основной части программы мы лишь выводим разность [latex]\pi/2[/latex] и нашей суммы. Это и будет значение арккосинуса.

Код на ideone.com

Related Images:

MLoop6

30/10/2015 by Радик Сиденко

Условие задачи:

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] значение функции [latex]f\left( x \right) =\cos x[/latex] . При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

Алгоритм решения:

Для решения данной задачи я использовал Ряд Маклорена:.
[latex]\cos x = 1-\frac {x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} }{(2n)!}x^{ 2n },x\in{C}[/latex].

Тесты:

X	E	Answer
1	0.0001	0.540278
1	0.000001	0.540303
-1	0.0001	0.540278
5	0.0001	0.283625

Код программы:

#include <iostream>
#include <cmath> 
using namespace std;
double cos (double x, double e) {
    double x2,c,n,f,z;
    x2= x*x;
    f= 2;
    c= 1;
    n= 2;
    z= -1; 
    while ((x2/f)>=e) {
        c=c+z*x2/f;
        n=n+2;
        x2=x2*x*x;
        f=f*(n-1)*n;
        z=z*(-1);
    }
    return c;
}
int main() {
    double x,e;
    cin>>x;
    cin>>e;
    cout<<cos(x,e)<<endl;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double cos (double x, double e) {

double x2,c,n,f,z;

x2= x*x;

f= 2;

c= 1;

n= 2;

z= -1;

while ((x2/f)>=e) {

c=c+z*x2/f;

n=n+2;

x2=x2*x*x;

f=f*(n-1)*n;

z=z*(-1);

}

return c;

}

int main() {

double x,e;

cin>>x;

cin>>e;

cout<<cos(x,e)<<endl;

return 0;

}

Объяснение Кода:

В коде используются 7 переменных а именно: [latex]x[/latex], [latex]x2[/latex], [latex]c[/latex], [latex]e[/latex], [latex]n[/latex], [latex]f[/latex], [latex]z[/latex].
Переменная [latex]x[/latex] отвечает за [latex]x[/latex], [latex]x2[/latex] за [latex]{ x }^{ n }[/latex], [latex]c[/latex] за [latex]\cos x[/latex], [latex]e[/latex] за [latex]\varepsilon[/latex] (epsilon-точность вычисления), [latex]n[/latex] за порядковый номер, [latex]f[/latex] за [latex]n![/latex] и [latex]z[/latex] за [latex]{ (-1) }^{ n }[/latex].

Ссылка на код в ideone

C++ для приматов

Начальный курс программирования для студентов направления "Прикладная математика" Одесского национального университета имени И.И.Мечникова

Tag Archives: Ряд Маклорена

MLoop7

Related Images:

MLoop 17

Задача

Входные данные

Выходные данные

Тесты

Код программы

Решение

Related Images:

MLoop 11

Related Images:

MLoop6

Related Images: