Ю11.15

Метод парабол. Найти минимум заданной функции [latex]y=f(x)[/latex], двигаясь от заданной точки [latex]x_{0}[/latex] по методу парабол:

[latex]x_{i+1}=x_{i}-\frac{h}{2}\frac{f\left( x_{i}+h\right)-f\left( x_{i}-h\right)}{f\left( x_{i}+h\right)-2f\left( x_{i}\right)+f\left( x_{i}-h\right)}, i=0,1,\ldots[/latex], пока не будет достигнута заданная точность.

Функция [latex]x^{3}+10\sin (5x)[/latex]:

[latex]x_{0}[/latex]	[latex]\varepsilon[/latex]	Точка минимума по графику.	Точка минимума по программе.	Комментарий.
0	0,001	-0,315353	-0,315353	Тест пройден.
1	0,0001	0,932048	0,932048	Тест пройден.
2	0,0001	2,14327	2,14327	Тест пройден.
-3	0,01	-2,93616	-2,93616	Тест пройден.
-2	0,0001	-1,6017	-1,6017	Тест пройден.

Код программы (C++):

Для функции [latex]x^{3}+10\sin (5x)[/latex] (функцию всегда можно изменить, достаточно исправить строку 6):

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

double f(double x) {
    return x*x*x+10*sin(5*x);
}

int main() {
    double h=0.001;
    double x, pogr;
    cin >> x >> pogr;
    if (x==0) x+=0.1;
    while ((f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h)<=0) x+=0.1;
    double x1;
    x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));
    while (fabs(x1-x)>pogr) {
        x=x1;
        x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));
    }
    cout << x1;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

double f(double x) {

return x*x*x+10*sin(5*x);

}

int main() {

double h=0.001;

double x, pogr;

cin >> x >> pogr;

if (x==0) x+=0.1;

while ((f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h)<=0) x+=0.1;

double x1;

x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));

while (fabs(x1-x)>pogr) {

x=x1;

x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));

}

cout << x1;

return 0;

}

Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class Ideone
{
    public static double f (double x) {
        return x*x*x+10*Math.sin(5*x);
    }
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in =  new Scanner (System.in);
        double h=0.001;
        double x, pogr;
        x=in.nextDouble();
        pogr=in.nextDouble();
        if (x==0) x+=0.1;
        while ((f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h)<=0) x+=0.1;
        double x1;
        x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));
        while (Math.abs(x1-x)>pogr) {
            x=x1;
            x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));
        }
        System.out.format ("%f%n", x1);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static double f (double x) {

return x*x*x+10*Math.sin(5*x);

}

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner (System.in);

double h=0.001;

double x, pogr;

x=in.nextDouble();

pogr=in.nextDouble();

if (x==0) x+=0.1;

while ((f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h)<=0) x+=0.1;

double x1;

x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));

while (Math.abs(x1-x)>pogr) {

x=x1;

x1=x-0.5*h*(f(x+h)-f(x-h))/(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h));

}

System.out.format ("%f%n", x1);

}

Чтобы сделать программу, я почитала “Численные методы” Н. Н. Калиткина, где и было сказано, что в качестве вспомогательного шага [latex]h[/latex] при расчётах на ЭВМ обычно выбирают значение 0,001.

Далее пользователю предоставляется возможность ввести значение [latex]x_{0}[/latex] и задать точность [latex]\varepsilon[/latex]. Корень [latex]x[/latex] является минимумом функции тогда и только тогда, когда вторая производная этой функции больше 0. Поэтому мы запускаем цикл, который будет сдвигать наше [latex]x_{0}[/latex] в положительном направлении оси [latex]x[/latex], пока вторая производная функции не будет удовлетворять условию задачи.

Далее мы вычисляем значение [latex]x_{i+1}[/latex], и запускаем цикл, который будет продолжаться до тех пор, пока разница между [latex]x_{i}[/latex] и [latex]x_{i+1}[/latex] не будет меньше заданной погрешности [latex]\varepsilon[/latex].

Затем на экран выводится сама точка минимума функции.

Программу можно посмотреть здесь (C++) и здесь (Java).

Related Images:

Похожее

4 thoughts on “Ю11.15”

— Не нужно повторять номер задачи в начале условия.
— Забыли сделать ссылку на код в ideOne?
— Рисунок и значения минимума для тестирования лучше взять отсюда.
— Не проще было так сделать?

	do {
		y = h / 2 * (f(x + h) - f(x - h)) / (f(x + h) - 2 * f(x) + f(x - h));
		x = x - y;
	} while (fabs(y) > pogr);

do {

y = h / 2 * (f(x + h) - f(x - h)) / (f(x + h) - 2 * f(x) + f(x - h));

x = x - y;

} while (fabs(y) > pogr);

— Вы даёте ссылку на книгу Н.Н.Калиткина «Численные методы». Лучше указать источник.
— Запустил первый тест. Не сработало.

Ілларіонова Марія Валеріївна says: 30/10/2014 at 20:33

Исправила: номер задачи, вставила ссылку на ideOne (изначально её не было, так как программа писалась не там), график и тесты взяла с вольфрама, исправила ссылку на источник, исправила баг с первым тестом.
Спасибо за замечания.

«Тесты (в виде графиков, так как посчитать это я не представляю возможным»
Я же дал ссылку, где указано несколько минимумов. Почему нельзя указать их в тестах?

Протестировал для 5 0.0001. Получил 2.93616. Это точка максимума, а не минимума.

Я зачёл Вам работу, несмотря на указанную проблему, поскольку задача слишком сложна для начинающих математиков. Вы можете продолжать работать над ней, когда будет время. Задача интересная.