Задача

Вы – профессионал своего дела и планируете ограбить ряд домов вдоль улицы. В каждом доме спрятана определенная сумма денег. Единственное, что мешает Вам грабить – так это то, что соседние дома связаны системой безопасности: будет передан сигнал в полицию, если два соседние дома будут ограблены в один и тот же вечер.

Зная количество денег в каждом доме, определите максимальную сумму, которую Вы сможете ограбить сегодня вечером без уведомления полиции.

Входные данные

Первая строка содержит количество домов $n (1 \leqslant n \leqslant 10^6)$. Вторая строка содержит n целых неотрицательных чисел $a_1, a_2, …, a_n$, где $a_i$ — количество денег, которое может быть вынесено из iго дома.

Выходные данные

Выведите максимальную сумму, которую Вы сможете ограбить сегодня вечером без поступления сигнала в полицию.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	5 6 1 2 10 4	16
2	10 4 1 29 0 14 8 31 12 7 5	85
3	2 1 3	3

Код

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
void houseRobbery(int houseCount, unsigned long *maxSum, unsigned long *initialHouses) {
    /*
    A function that, through dynamic programming, calculates the maximum production of houses not standing nearby.
    The function does not return anything, since it modifies arrays through pointers
    */
    
    // Initial state values from first two houses
    maxSum[0] = initialHouses[0];
    maxSum[1] = max(initialHouses[0], initialHouses[1]);
 
    // Since by condition it is given that we cannot rob two houses in a row, 
    // then we will take the maximum house of two: maxSum[i - 1] and maxSum[i - 2] + initialHouses[house] 
    // (where initialHouses[house] is the amount of money in the i-th house)
    for (int house = 2; house < houseCount; house += 1) {
        maxSum[house] = max(maxSum[house - 1], maxSum[house - 2] + initialHouses[house]);
    }
}
 
int main() {
    int houseCount;
    cin >> houseCount;

    // Initialize the arrays not containing negative values
    unsigned long initialHouses[houseCount], maxSum[houseCount];
 
    // Filling the initial array of houses with user input
    for (int element = 0; element < houseCount; element += 1) {
        cin >> initialHouses[element];
    }
    
    // Calling the function
    houseRobbery(houseCount, maxSum, initialHouses);
 
    cout << maxSum[houseCount - 1];
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

void houseRobbery(int houseCount, unsigned long *maxSum, unsigned long *initialHouses) {

A function that, through dynamic programming, calculates the maximum production of houses not standing nearby.

The function does not return anything, since it modifies arrays through pointers

// Initial state values from first two houses

maxSum[0] = initialHouses[0];

maxSum[1] = max(initialHouses[0], initialHouses[1]);

// Since by condition it is given that we cannot rob two houses in a row,

// then we will take the maximum house of two: maxSum[i - 1] and maxSum[i - 2] + initialHouses[house]

// (where initialHouses[house] is the amount of money in the i-th house)

for (int house = 2; house < houseCount; house += 1) {

maxSum[house] = max(maxSum[house - 1], maxSum[house - 2] + initialHouses[house]);

}

int main() {

int houseCount;

cin >> houseCount;

// Initialize the arrays not containing negative values

unsigned long initialHouses[houseCount], maxSum[houseCount];

// Filling the initial array of houses with user input

for (int element = 0; element < houseCount; element += 1) {

cin >> initialHouses[element];

}

// Calling the function

houseRobbery(houseCount, maxSum, initialHouses);

cout << maxSum[houseCount - 1];

return 0;

}

Решение

Данная задача, это типичный пример применения динамического программирования.
Динамическое программирование — это метод решения задачи путём её разбиения на несколько одинаковых подзадач, рекуррентно связанных между собой.

Решение задачи динамическим программированием должно содержать следующее:
— Значение начальных состояний. В результате долгого разбиения на подзадачи вам необходимо свести функцию либо к уже известным значениям, либо к задаче, решаемой элементарно.
— Зависимость элементов динамики друг от друга. Такая зависимость может быть прямо дана в условии. В противном случае вы можете попытаться узнать какой-то известный числовой ряд, вычислив первые несколько значений вручную.

Для решения данной задачи будет использовать метод последовательного вычисления (далее МПВ).
МПВ подходит, только если функция ссылается исключительно на элементы перед ней — это его основной минус.
Суть метода в следующем: необходимо создать массив на N элементов и последовательно заполнять его значениями. Таким образом вычисляется, в том числе те значения, которые для ответа не нужны. В значительной части задач на динамику этот факт можно опустить, так как для ответа часто бывают нужны как раз все значения.

Зная, что такое динамическое программирование и МПВ — можно описать алгоритм решения.
Пусть $a_i$ — количество денег в $i$-ом доме и houseRobbery(i) — максимальное количество денег, которое удалось унести грабителю.

Следовательно, значения начальных состояний будут такими:
— Для первого дома — количество денег в нем.
— Для второго — максимальное количество денег из первых двух домов.

Далее в цикле рассматривается $i$-й дом и определять для него $houseRobbery(i)$, где houseRobbery(i) — максимальное из houseRobbery(i - 1) и houseRobbery(i - 2) + initialHouses[i], так как нужно учитывать houseRobbery(i - 1), если $i$-й дом не был ограблен, а houseRobbery(i - 2) + initialHouses[i], если $i$-й дом — ограблен.

И так как используется МПВ, то последний элемент в заведенном массиве и будет решением этой задачи.

Ссылки

Related Images:

Похожее

One thought on “e-olymp 1619. Ограбление домов”

Мазурок Игорь Евгеньевич says: 23/06/2021 at 22:55

— Метки (ключевые слова) указать забыли?
— Вы ведь понимаете разницу между математической формулой и фрагментом кода?

Войдите, чтобы ответить