e-olymp 8674. Игра

Задача

Мурад и Ибрагим играют в следующую игру. Изначально дается число $1$. На своем ходу каждый игрок должен умножить текущее число на одно из целых чисел от $2$ до $9$ включительно. Цель состоит в том, чтобы получить число не меньше заданного целого числа $n$. Игрок, получивший такой номер первым, объявляется победителем. Мурад всегда начинает первым. Выясните, кто победит, если Мурад и Ибрагим будут играть оптимально.

Входные данные

Первая строка содержит одно число $t$ $(1 \leqslant t \leqslant 2500)$ — количество тестов. Каждая из следующих $t$ строк содержит одно целое число $n$ $(2 \leqslant n \leqslant 10^9)$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите в отдельной строке $1$, если Мурад выиграет игру, и $2$ иначе.

Тесты

Входные данные

Выходные данные

1 4
9
10
1149729
999999999
1
2
2
1
2 3
6
163
1234567
1
2
2
3 3
42
100
1000
1
1
1

 

Код программы

Решение с циклом для каждого отдельного теста:

 

Решение без цикла для каждого отдельного теста:

 

Решение

Для начала заметим, что победит тот игрок, чей ход выпадет на число из промежутка $[\frac{n}{9},n)$, так как любое число из этого промежутка можно умножить на соответствующее целое число из $[2,9]$ и получить число не меньшее чем $n$. Назовем такой промежуток «зеленой зоной» (в общем виде будет $[\frac{2n}{18^k},\frac{n}{18^{k-1}})$, $k \in \mathbb {N}$). Тогда очевидно, что проиграет тот игрок, чей ход выпадает на число из промежутка $[\frac{n}{18},\frac{n}{9})$, так как при умножении числа из этого промежутка на любое целое число из $[2,9]$, приводит к тому, что получается число из «зеленой зоны». Назовем такой промежуток «красной зоной» (в общем виде будет $[\frac{n}{18^k},\frac{2n}{18^k})$, $k \in \mathbb {N}$). Получаем, что промежуток $(0,n)$ делится на «красные» и «зеленые зоны». Тогда задача сводится к нахождению вида «зоны» в которой находится $1$.

Используя в реализации цикл для каждого отдельного теста, получить результат достаточно несложно. Однако, для заданного $n$ можно получить исход игры используя лишь линейные вычисления.

Рассмотрим цепочку неравенств (учитывая, что $2 \leqslant n$ ):  $$\lfloor \log _{18} n \rfloor \leqslant \log _{18} n \leqslant \lceil  \log _{18} n \rceil$$

$$ 18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor} \leqslant n \leqslant 18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}$$

$$\frac{1}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}} \leqslant \frac{1}{n} \leqslant \frac{1}{18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor}}$$

$$\frac{n}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}} \leqslant 1 \leqslant \frac{n}{18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor}}$$

Из общего вида «красной зоны» видно, что левый ее конец это число вида $\frac{n}{18^k}$, значит $\frac{n}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}}$ является левым концом «красной зоны», обозначим его как $l$. Тогда, $2l$ будет правым концом «красной зоны» исходя из её общего вида. Из полученного неравенства видно, что $1$ лежит между левыми концами соседних «красных зон». Получаем, что если $2l \leqslant 1$, то единица лежит в «зеленой зоне», а иначе — в «красной».

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Решение с циклом для каждого отдельного теста на ideone

Решение без цикла для каждого отдельного теста на ideone

e-olymp 365. Рамка

Задача

Василий и Петр игрались на уроке. На прямоугольном листке бумаги в клеточку Василий по линях сетки рисует отрезок, параллельный одной из сторон листка, и рамку прямоугольной формы. Он шепчет на ухо Петру координаты концов отрезка и координаты двух противоположных углов рамки, а Петр старается быстро определить длину части отрезка, оказавшуюся внутри рамки. У него это плохо получалось, и он написал программу, которая это делала всегда правильно. Напишите её и вы.

Входные данные

Заданы через пробел $8$ чисел — координаты начала и конца отрезка и координаты противоположных углов рамки. Координаты — целые числа, не превышающие по модулю $35000$.

Выходные данные

Вывести одно число — длину части отрезка, которая оказалась внутри рамки.

Тесты

Входные данные

Выходные данные

1 4 1 9 1 2 3 5 -2 1
2 2 2 6 2 4 4 7 1 2
3 3 2 3 5 4 3 6 2 0
4 1 2 5 2 2 5 4 1 2

Код программы

Решение

Так как отрезок параллелен одной из сторон листка, то абсциссы (или ординаты) концов отрезка должны совпадать. Будем рассматривать случай когда они находятся между абсциссами (или ординатами соответственно) соответствующих вершин прямоугольника (в противном случае отрезок не проходит через рамку и ответ 0).Отрезок не проходит через рамку

Если абсцисса левого или правого конца отрезка будет находиться, соответственно, правее крайней справа или левее крайней слева абсциссы вершины прямоугольника, то отрезок не проходит через рамку (для ординат аналогично).

В противном случае, отрезок проходит через рамку и мы можем подсчитать какая его часть находится внутри рамки. Для этого необходимо найти разность между абсциссами (ординатами) концов части отрезка находящийся внутри прямоугольника.  Абсциссой левого конца такого отрезка будет максимальная из абсцисс левого конца изначального отрезка и крайней слева абсциссы прямоугольника, абсциссой правого конца такого отрезка будет минимальная из абсцисс правого конца изначального отрезка и крайней справа абсциссы прямоугольника (для ординат аналогично).

Обозначим  искомую длину как $ans$, тогда $ans = min(x_{2}, x_{4})-max(x_{1}, x_{3})$.

Для ординат  $ans = min(y_{2}, y_{4})-max(y_{1}, y_{3})$.

Отрезок проходит через рамку

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Код программы на ideone

e-olymp 9518. Точное движение

Задача

Амелия изучает моделирование. Она увлекается моделями с подвижными деталями.

В качестве своего первого задания она сделала прямоугольную коробку размером $2$ $×$ $n$, которая содержит две параллельные рейки и прямоугольный брусок на каждой из них. Короткий брусок имеет размер $1$ $×$ $a$, а длинный имеет размер $1$ $×$ $b$. Длинный брусок имеет стопор на каждом конце, а короткий всегда находится между этими двумя стопорами.

Бруски могут перемещаться вдоль направляющих, по одному стержню за раз, пока короткий брусок находится между стопорами. Таким образом, на каждом движении Амелия выбирает один из брусков и перемещает его, в то время как другой остается на месте.

Первоначально, оба бруска выровнены по одной стороне коробки, и Амелия хочет, чтобы они были выровнены по другой стороне за как можно меньшее количество ходов. Какое минимальное количество ходов она должна сделать, чтобы достичь своей цели?

Входные данные

Три целых числа $a$, $b$ и $n$ $($$1$ $\leqslant$ $a$ $<$ $b$ $\leqslant$ $n$ $\leqslant$ $10$$7$$)$.

Выходные данные

Вывести одно целое число — минимальное количество ходов, которое должна сделать Амелия.

Тесты

Входные данные

Выходные данные

1 1 3 6 5
2 2 4 9 7
3 13 45 153 9
4 4 16 43 7

Код программы

 

Решение

Ответом к задаче будет суммарное количество перемещений длинного и короткого брусков. Так как нужно найти минимальное количество ходов, то будем поочередно перемещать бруски на максимальное расстояние.

Длинный брусок, что бы он оказался в конце коробки, суммарно нужно переместить на $n$$-$$b$. Каждый раз мы перемещаем его на $b$$-$$a$ (необходимое расстояние что бы левые концы брусков совпали и дальше перемещать его было невозможно). Тогда количество перемещений длинного бруска это результат деления всего расстояния $n$$-$$b$ на шаг $b$$-$$a$. Так как в результате может выйти нецелое число, результат необходимо округлить до большего целого. Обозначим это число как $k$ $=$$\lceil $$\frac{n-b}{b-a}$$\rceil$.

Короткий брусок каждый раз будем перемещать до совпадения правых концов брусков. Он будет «догонять» длинный брусок и сделает на один ход больше чем длинный, так как короткий брусок всегда делает первый и последний ход.

Тогда суммарное количество ходов будет $2$$k$$+$$1$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Код программы на ideone