e-olymp 3835. Минимальный каркас

Задача

В связном графе найдите остовное дерево минимального веса.

Входные данные

Первая строка содержит два натуральных числа $n$ и $m$ $($$1 \leqslant n \leqslant 20000$, $0 \leqslant m \leqslant 100000$$)$ — количество вершин и рёбер графа соответственно. Следующие $m$ строк содержат описания рёбер по одному в строке. Ребро номер $i$ описывается тремя натуральными числами $b_i$, $e_i$ и $w_i$ $($$1 \leqslant b_i$, $e_i \leqslant n$, $0 \leqslant w_i \leqslant 100000$$)$ — номера концов ребра и его вес соответственно.

Граф является связным.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — вес минимального остовного дерева.

Тесты

Входные данные Выходные данные
4 4
1 2 1
2 3 2
3 4 5
4 1 4
7
10 10
1 3 1
1 4 5
1 2 6
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
6 4 2
6 5 6
15
7 12
1 2 20
1 7 1
1 6 23
6 7 36
2 7 4
2 3 15
7 3 9
6 5 28
7 5 25
3 4 3
4 5 17
4 7 16
57

Код программы

Решение задачи

Алгоритм

Задача решается алгоритмом Краскала. Для хранения данных удобно использовать вектор пар (одна пара = одна строка ввода). Пары в свою очередь состоят из двух элементов: пара вершин и вес ребра. Алгоритм Краскала предполагает сортировку рёбер по весу в порядке неубывания. Затем каждой вершине графа ставится в соответствие собственное поддерево. Удобно это сделать с помощью массива, элементов массива будет столько же, сколько и вершин. Далее нужно пройтись по всем рёбрам в порядке неубывания и определить, принадлежат ли вершины ребра $i$ одному и тому же поддереву. Если вершины находятся в разных поддеревьях, то эти поддеревья объединяются, а вес данного ребра дописывается в ответ.

Оптимизация

При помощи простого массива или вектора задача выполняется со сложностью $O(M log N + N^2)$, где $N$ — количество вершин, $M$ — количество рёбер. Система непересекающихся множеств (СНМ) позволяет добиться сложности $O(M log N)$. При поиске элемента в СНМ необходимо лишь подниматься вверх по деревьям, поэтому достаточно хранить для каждой вершины только номер её прямого предка. Для этого используется массив $subtree$. Для задания множества используется номер вершины — корня соответствующего дерева. Поэтому чтобы определить, принадлежат ли два элемента к одному и тому же множеству, для каждого элемента нужно найти корень соответствующего дерева (поднимаясь вверх пока это возможно) и сравнить эти корни. При поиске корня заданной вершины будем переподвешивать её за найденный корень при выходе из рекурсивной функции $get$. Пусть нам нужно объединить $(merge)$ множества с корнями $a$ и $b$. Присвоим $p[a]=b$, тем самым подвесив всё дерево $a$ к корню дерева $b$. Одна из самых простых и эффективных оптимизаций — поддерживать для всех деревьев текущую глубину, и при объединении подвешивать дерево с меньшей глубиной к корню дерева с большей глубиной. Глубина дерева данной вершины хранится в виде её ранга (массив $vertex$_$rank$).

Ссылки

2 thoughts on “e-olymp 3835. Минимальный каркас

  1. Очень хорошо, молодец.
    Я правда не понял зачем вы вводите каждую переменную отдельной командой.
    Моя реализация этого подхода очень похожа и работает с той же скоростью (с точностью до операторов ввода-вывода), но несколько компактнее.

    • Спасибо, сократила ввод переменных до одной команды. Интересно, что scanf() и cin работают с одинаковой скоростью.

Добавить комментарий