Задача
Окно в университетской аудитории имеет форму прямоугольника с присоединенным в верхней части полукругом. Периметр всего окна равен [latex]P[/latex]. Определить радиус полукруга [latex]R[/latex], при котором площадь окна максимальна.
Входные данные: Периметр окна [latex]P[/latex].
Выходные данные: Радиус полукруга [latex]R.[/latex]
Тесты
Входные данные | Выходные данные | |
№ | [latex]P[/latex] | [latex]R[/latex] |
1 | 100 | 14.0025 |
2 | 73 | 10.2218 |
3 | 14 | 1.96035 |
4 | 0 | 0 |
Код программы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double P, R; cin>>P; R=P/(4+M_PI); cout<<R; return 0; } |
Решение
Обозначим боковую сторону окна [latex]b[/latex], а нижнюю [latex]a[/latex]. [latex]R=\frac { a }{ 2 } [/latex], тогда периметр окна [latex]P=a+2b+\frac { \pi a }{ 2 } [/latex], а площадь равна сумме площадей прямоугольника и полукруга [latex]S=ab+\frac { \pi { a }^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Выразим сторону [latex]b[/latex] через [latex]a[/latex] и периметр [latex]P[/latex] : [latex]b=\frac { 2P-2a-\pi a }{ 4 } [/latex], тогда [latex]S=\frac { 4Pa-4a^{ 2 }-\pi a^{ 2 } }{ 8 } [/latex]. Вычислим производную функции [latex]S(a)[/latex]. [latex]S'(a)=\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } [/latex], затем найдем точки экстремума функции:[latex]\frac { 2P-4a-\pi a }{ 4 } =0[/latex], тогда [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex].
Найдём область допустимых значений для [latex]a[/latex]. Наибольшего значения [latex]a[/latex] достигает при [latex]b=0[/latex], [latex]P=a+ \frac {\pi a}{2}[/latex], соответственно [latex]a=\frac { 2P }{ 1+\pi } [/latex]. Значит областью допустимых значений является отрезок [latex][0; \frac { 2P }{ 2+\pi } ] [/latex]. Поскольку [latex]0 < \frac { 2P }{ 4+\pi } < \frac { 2P }{ 2+\pi }[/latex] делаем вывод, что [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi } [/latex] попадет в область допустимых значений. Найдём максимальное значение функции на отрезке:
[latex]S(0)=0[/latex].
[latex]S(\frac { 2P }{ 4+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 32 + 8 \pi } [/latex].
[latex]S( \frac { 2P }{ 2+\pi })= \frac { 4P ^ {2} }{ 16 + 8 \pi } \cdot \frac { \pi }{ 2+ \pi } [/latex].
[latex] \frac {S(\frac { 2P }{ 4+\pi })}{S( \frac { 2P }{ 2+\pi })} = \frac { 4+4\pi +{ \pi }^{ 2 } }{ 4\pi +{ \pi }^{ 2 } } [/latex].
Тогда [latex]S(0) < S(\frac { 2P }{ 2+\pi }) < S(\frac { 2P }{ 4+\pi }) [/latex].
Значит площадь окна [latex]S[/latex] достигает максимального значения при [latex]a=\frac { 2P }{ 4+\pi }[/latex], из чего следует [latex]R=\frac { P }{ 4+\pi }[/latex].
— На чертеже обозначения должны быть наклонными. Тогда они по начертанию не будут отличаться от тех, что в тексте.
— Зачем Вы везде используете крестик для обозначения умножения? Загляните в учебник. Обычно знак умножения вообще опускают. В некоторых двусмысленных ситуациях ставят точку.
— И [latex]\pi [/latex] у Вас какое-то странное.
— Поставьте, пожалуйста, пробел после запятой в коде.
— Я указал в Вашей статье рубрику «Линейные вычисления». В дальнейшем делайте это сами, пожалуйста.
— Слово «спадающая» следует заменить на «убывающая».
— Стоит указать область допустимых значений для [latex]a [/latex] и убедиться, что найденный ответ в него попадает. Кроме того, вспомните, мы ищем не экстремум, а максимальное значение функции на отрезке. Т.е. надо проверить ещё и концы отрезка.
— Не используйте, пожалуйста, символы кириллицы в постоянных ссылках.
А по сути хорошо получилось 🙂
Спасибо. Учёл ваши замечания.
Похоже на правду.
Убрал у Вас точки в заголовках и добавил фото нашего окна. Надеюсь, Вы не против.
Я только за. Спасибо.