e-olymp 7239. «Все, Степан! Ти мене дістав!»

Задача

Степан нещодавно відпочивав у Японії і привіз звідти нову жувальну гумку. На першій парі в університеті він поділився гумкою зі своїм товаришем. Дочекавшись моменту, коли лектор повернувся до дошки, на рахунок «три — чотири» хлопці дружньо почали надувати бульбашки. Відомо, що Степан надуває бульбашку до максимально можливого розміру за час $t_1$, після чого бульбашка миттєво лопається, і Степан починає надувати бульбашку заново з тією ж швидкістю. Товариш Степана робить те ж саме за час $t_2$.

Весь цей час викладач настільки захоплений доведенням теореми, що взагалі нічого не чує. І тільки коли обидві бульбашки лопнуть одночасно, викладач почує шум і обернеться. І тоді вже точно студентам попаде на горіхи, а більше усього тому, хто приніс на пару жувальні гумки.

Визначте, скільки часу хлопці можуть насолоджуватись надуванням бульбашок, не замічені викладачем.

Наприклад, якщо $t_1 = 2$, $t_2 = 3$, то буде відбуватись наступне:

Степан надуває бульбашку з моменту часу $t = 0$ до моменту часу $t = 2$, потім бульбашка лопається, і він надуває бульбашку знову — з моменту часу $t = 2$ до моменту часу $t = 4$, а потім ще раз — з моменту часу $t = 4$ до $t = 6$.

Товариш Степана надуває бульбашку з $t = 0$ до $t = 3$ і ще раз з $t = 3$ до $t = 6$.

В момент часу $t = 6$ бульбашки лопаються одночасно в обох студентів, викладач повертається і каже: «Все, Степан! Ти мене дістав!».

Формат вхідних даних

Перший рядок вхідного файлу містить два цілих числа $t_1, t_2 (1 \leqslant t_1, t_2 \leqslant 10^9).$

Формат вихідних даних

Вихідний файл повинен містити одне ціле число — час, протягом якого Степан з товаришем можуть насолоджуватись надуванням бульбашок.

Тести

Вхідні дані Вихідні дані
1 2 3 6
2 1 16 16
3 10 10 10
4 100000000 150000000 300000000
5 17 41 697

Код

Розв’язання

    Задача зводиться до пошуку НСК (найменше спільне кратне). Формула для знаходження $НСК$: $НСК(a, b)={{a\cdot b}\over{НСД(a, b)}}$, де НСД — найбільший спільний дільник. Для його знаходження скористуємось алгоритмом Евкліда, У даному розв`язку реалізованим за допомогою рекурсії у функції $nod$.

Посилання

e-olymp 1602. НОК двух натуральных чисел

Задача

Найдите $НОК$ (наименьшее общее кратное) двух натуральных чисел.

Входные данные

Два натуральных числа $a$ и $b$ $(a, b < 2 \cdot 10^9)$.

Выходные данные

Вывести $НОК$ чисел $a$ и $b$.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 42 24 168
2 32 14 224
3 101 45 4545

Код

Решение

Пусть есть два числа $n_1$ и $n_2$. $НОК$($n_1$, $n_2$) можно вычислить по формуле $НОК(n_1, n_2)={{n_1\cdot n_2}\over{НОД(n_1, n_2)}}$. Тогда задача сводится к нахождению $НОД$ двух чисел, который вычисляется алгоритмом Евклида:
$1$. Большее число делится на меньшее.
$2$. Если остаток от деления равен нулю, то меньшее число и есть $НОД$.
$3$. Если есть остаток, то большее число заменяется на остаток от деления и все действия повторяются.
После завершения цикла в одной переменной содержится ноль, а другая равна $НОД$, но поскольку неизвестно, которая из переменных равна $НОД$, то возвращается их сумма.

Ссылки

e-olymp 4482. В стране невыученных уроков 2

Задача

Теперь у Вити есть программа, которая помогает ему быстро находить НОД многих чисел. Поэтому стражи решили изменить правила: теперь Витя должен найти наибольший общий делитель (НОД) чисел на промежутке [l; r], а стражи – наименьшее общее кратное (НОК), у кого получится число меньше, тот и выиграет.

Входные данные

Первая строка содержит количество элементов в массивеn (1n106). Во второй строке находится n чисел – элементы ai (1ai109) массива. В третьей строке находится количество запросовm (1m 105). Далее в m строках находится по три числа q, l, r (1lrn). Если q = 1, требуется определить победителя для промежутка [l; r], если q = 2, то нужно заменить элемент в позиции l на число r.

Выходные данные

Для каждого запроса с номером 1 в отдельной строке выведите строку «wins«, если Витя выиграл, строку «loser«, если он проиграл и «draw«, если была ничья.

Решение

В данной задаче нам нужно реализовать дерево отрезков, но поменять функцию которую определяет значение в узлах. Прочитав условие можно понять, что ответ «loser» мы не выведем никогда, так как НОД не может быть больше НОК. Тогда остается определить когда выводить «wins» или «draw». НОД и НОК некоторого количества чисел равны тогда и только тогда, когда все числы для которых мы считаем НОД и НОК равны между собой. Поэтому ассоциативной функцией для построения дерева выберем функцию равенства, если числа равны возвращаем само число, иначе 0. Тогда для ответа на вопрос задачи просто следует узнать что находится в соответсвующем узле.
Если это 0, то НОК больше НОД, иначе они равны и мы выведем «draw».

Код

Тесты

Входные данные Выходные данные
5
2 4 6 10 8
6
1 1 5
1 2 3
2 5 15
2 3 10
1 3 5
1 1 1
wins
wins
wins
draw
5
7 7 7 7 7
4
1 1 5
2 2 1
1 1 5
1 3 5
draw
wins
draw

Задача взята отсюда.

Решенная задача на e-olymp.

Код программы.