e-olymp 774. Торт

22/12/2018 by Виктор Иванов

Задача

После окончания второго тура олимпиады по программированию участники олимпиады решили отметить это событие. Для этой цели был заказан один большой торт прямоугольной формы. При этом стол, вокруг которого собрались участники был круглым. Естественно, у них возник вопрос, поместиться ли прямоугольный торт на круглом столе так, чтобы ни одна часть торта не выходила за пределы стола. Вам необходимо дать ответ на этот вопрос, зная размеры торта и радиус стола.

Входные данные

Содержит три натуральных числа: радиус стола [latex]r \left(1\leqslant r\leqslant 1000 \right)[/latex], ширину [latex]w[/latex] и длину [latex]l[/latex] торта [latex] \left(1\leqslant w \leqslant l \leqslant 1000\right)[/latex].

Выходные данные

Вывести слово [latex]YES[/latex], если торт помещается на стол, и слово [latex]NO[/latex] в противном случае.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	38 40 60	YES
2	35 20 70	NO
3	50 60 80	YES
4	30 60 90	NO

Код программы

с ветвлением:

#include <iostream>

using namespace std;
int main() {
    int r, w, l;
    cin >> r >> w >> l;
    cout << (w * w + l * l <= 4 * r * r ? "YES" : "NO");
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int r, w, l;

cin >> r >> w >> l;

cout << (w * w + l * l <= 4 * r * r ? "YES" : "NO");

return 0;

}

без ветвления:

#include <iostream>
using namespace std;

bool myBool(int x, int y, int z) {
    return(x * x + y * y <= 4 * z * z);
}

int main() {
    int r, w, l;
    cin >> r >> w >> l;
    myBool(w, l, r) && cout << "YES";
    !myBool(w, l, r) && cout << "NO";
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

bool myBool(int x, int y, int z) {

return(x * x + y * y <= 4 * z * z);

}

int main() {

int r, w, l;

cin >> r >> w >> l;

myBool(w, l, r) && cout << "YES";

!myBool(w, l, r) && cout << "NO";

return 0;

}

Решение задачи

Вписанный в окружность прямоугольник

Для того, чтобы узнать, помещается торт на столе или нет, необходимо найти диагональ прямоугольного торта. Зная длину и ширину прямоугольника, находим диагональ по теореме Пифагора. Если она равна или меньше диаметра стола $AB^2$ + $AD^2$ <= 4$OD^2$, значит торт помещается, и пишем "YES". Если диагональ больше диаметра стола, пишем "NO".

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код программы с ветвлением на ideone
Код программы без ветвления на ideone

Related Images:

e-olymp 8523. Окружность

22/12/2018 by Богдан Подгорный

Задача взята с сайта e-olymp

Условие

Задан радиус окружности [latex]r[/latex]. Найдите длину окружности и ее площадь.

Входные данные

Радиус окружности [latex]r (r >0)[/latex], являющийся действительным числом.

Выходные данные

Вывести в одной строке длину окружности и ее площадь с [latex]4[/latex] десятичными знаками.

Тесты

№	Inputs	Outputs
1	1.234	7.7535 4.7839
2	3.5	7.7535 4.7839
3	0	0.0000 0.0000
4	10	62.8319 314.1539
5	313	1966.6370 307778.6907

Код

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    double r;
    cin >> r;
    cout << fixed << setprecision(4) << 2*M_PI*r << " " << M_PI*r*r;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double r;

cin >> r;

cout << fixed << setprecision(4) << 2*M_PI*r << " " << M_PI*r*r;

return 0;

}

Решение

По известным формулам длины окружности [latex]l = 2\pi r[/latex] и площади окружности [latex]S = \pi r^{2}[/latex] находим их. С помощью setprecison() выводим числа с нужной нам точностью.

Ссылки

Related Images:

e-olymp 2501. Круговая диаграмма

04/11/2018 by Александр Дьяченко

Задача

Для графического изображения соотношения между различного рода величинами во многих областях человеческой деятельности используются различные графики и диаграммы. Одним из типов диаграмм является так называемая круговая диаграмма.

Исходными данными для этой диаграммы является набор чисел $a_1,\ldots, a_n, а$ диаграмма представляет собой круг радиуса $r$, разделенный на секторы. При этом каждому из чисел соответствует ровно один сектор, площадь которого пропорциональна этому числу. Общая площадь секторов равна площади круга.

Ваша задача состоит в том, чтобы по набору чисел и по радиусу круга определить площадь каждого из секторов круговой диаграммы.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $r \space (1 \leq n, r \leq 100)$. Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,\ldots, a_n \space (1 \leq a_i \leq 100$ для всех $i$ от $1$ до $n)$.

Выходные данные

Выведите $n$ вещественных чисел — площади секторов, соответствующих числам $a_1,\ldots, a_n$. Выводите каждое из чисел в отдельной строке.

Все эти числа должны быть выведены с точностью не хуже $10^{-6}$.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 2 1 4 3	1.570796327 6.283185307 4.712388980
2 3 3 8	7.711181968 20.563151914
4 5 2 5 9 1	9.239978393 23.099945982 41.579902768 4.619989196
5 9 4 16 8 20 11	17.252135928 69.008543713 34.504271856 86.260679641 47.443373803

Код программы

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    int n, r, sum = 0;
    double S;
    cin >> n >> r;
    int *x = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> x[i];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum += x[i];
    S = M_PI * r * r;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << fixed << setprecision(9) << (S / sum) * x[i] << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int n, r, sum = 0;

double S;

cin >> n >> r;

int *x = new int[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> x[i];

for (int i = 0; i < n; i++)

sum += x[i];

S = M_PI * r * r;

for (int i = 0; i < n; i++)

cout << fixed << setprecision(9) << (S / sum) * x[i] << endl;

return 0;

}

Решение

Найдем сперва сумму всех чисел $a_i$ и площадь диаграммы (по известной формуле площади круга). Теперь можем легко посчитать площади каждого из секторов нашей диаграммы, разделив площадь последней на ранее найденную сумму и умножив их частное на соответствующее число $a_i$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone

Related Images:

e-olymp 1507. История Лаурела-Харди

26/09/2018 by Александр Дьяченко

Задача

Лаурел и Харди — два известных киногероя $50$-ых. Они известны своей разницей в весе, как можно увидеть на картинке. Если Вы еще не разобрались, кто из них кто, то я добавлю, что Лаурел легче. В свои юношеские годы Лаурел и Харди любили играть со странными качелями, и когда качели находились в равновесии, то Харди всегда был у земли. Мы рассмотрим двумерную версию качель.

Качели, которыми пользовались Лаурел и Харди, представляют собой часть окружности радиуса $r$, как показано на картинке (они закрашены серым и имеют вид буквы $D$). Харди сел на точку $B$ (самая правая точка качель), а Лаурел сел на точку $A$ (самая левая точка отрезка $AB$). $d = EF$ — расстояние между центром отрезка $AB$ и дуги $AFB$. То есть $E$ — середина отрезка $AB$, а $F$ — середина дуги $AFB$. $MN$ — основа качель, является горизонтальной прямой. $BD = h_1$ — расстояние от Харди до земли. Вам необходимо найти расстояние от Лаурела до земли (обозначаемое $h_2 = AC$).

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов $N \space (0 < N ≤ 1000)$. Каждая из следующих $N$ строк представляет собой отдельный тест, который имеет следующий формат:

Каждая строка содержит три целых числа $r \space (10 ≤ r ≤ 100), \space$ $d \space (5 ≤ d ≤ r), \space$ $h_1 \space (5 ≤ h_1 ≤ d)$. Значение этих чисел приведено выше.

Выходные данные

Для каждого теста в отдельной строке вывести его номер и действительной число — значение $h_2$. Это число должно содержать четыре десятичных знака. Формат вывода приведен в примере.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
2 10 10 10 10 7 6	Case 1: 10.0000 Case 2: 8.0342
3 12 7 7 11 11 8 54 12 6	Case 1: 7.0000 Case 2: 14.0000 Case 3: 19.7383
5 94 21 12 23 9 8 5 4 3 2 2 1 43 26 20	Case 1: 32.1226 Case 2: 10.0439 Case 3: 5.0440 Case 4: 3.0000 Case 5: 32.4231

Код программы

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
    unsigned short N;
    double r, d, h_1, a, b;
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> r >> d >> h_1;
        cout << "Case " << i << ": ";
        a = asin((r - h_1) / r) - asin((r - d) / r);
        if (a == 0)
            cout << fixed << setprecision(4) << h_1 << endl;
        else{
            b = 2 * sqrt(r * r - (r - d) * (r - d)) + h_1 / sin(a);
            cout << fixed << setprecision(4) << b * sin(a) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

unsigned short N;

double r, d, h_1, a, b;

cin >> N;

for (int i = 1; i <= N; i++) {

cin >> r >> d >> h_1;

cout << "Case " << i << ": ";

a = asin((r - h_1) / r) - asin((r - d) / r);

if (a == 0)

cout << fixed << setprecision(4) << h_1 << endl;

else{

b = 2 * sqrt(r * r - (r - d) * (r - d)) + h_1 / sin(a);

cout << fixed << setprecision(4) << b * sin(a) << endl;

}

return 0;

}

Решение

Для лучшего понимания решения данной задачи, я построил к ней чертеж, который вы можете видеть сверху. Но прежде чем приступить непосредственно к объяснению решения, я хотел бы обратить внимание на то, что мой рисунок (даже без дополнительных построений) немного отличается от данного нам в условии. Эти различия преднамеренны и метод решения справедлив для обоих рисунков.

В $9$ строке введем число $N$ из входного потока, а в $10$ — запустим цикл, который будет работать $N$ раз. Далее за каждый проход цикла будем читать по $3$ следующих числа из входного потока и выводить на экран номер текущего теста. Перед тем, как идти дальше, разберемся в рисунке. Так как по условию отрезок $EF$ делит сегмент $AFB$ пополам, то по свойствам хорд и дуг окружности, он является частью радиуса $r$ нашей окружности с центром в точке $O$ и перпендикулярен хорде $AB$, что и показано на чертеже. Кроме того, я дорисовал радиусы $OA$ и $OB$ окружности к соответствующим точкам и начертил отрезок $BH$, как продолжение $AB$, от точки $B$ до прямой $MN$. Также, я построил прямоугольный треугольник $\triangle OGB$, в котором катет $OG = r-BD$.
Достроив все необходимые отрезки, легко заметить, что мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ с катетом $AC$, длину которого нам и нужно найти по условию задачи. Предлагаю сделать это, воспользовавшись формулой $AC = AH \cdot \sin(\angle AHC)$. Найдем значения сомножителей.

Из рисунка очевидно, что $\angle AHC = \angle BHD = \angle EBG = \angle OBG-\angle OBE.$
Сначала найдем $\angle OBG$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OGB$. Длины его гипотенузы и противолежащего к искомому углу катета нам уже известны, так что можем сразу найти $\angle OBG = \arcsin \frac{OG}{OB}$.
Теперь найдем $\angle OBE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEB$. В нем противолежащий искомому углу катет $OE = r-d$, а гипотенуза $OB = r$. Значит, $\angle OBE = \arcsin \frac{OE}{OB}$.
В итоге остаётся только найти разницу этих углов, которая и будет являться величиной искомого $\angle AHC$. В коде же значение этого угла считается в $13$ строке и присваивается переменной a.

Стоит заметить, что если $\angle OBG-\angle OBE = 0$, то длины отрезков $AC$ и $BD$, очевидно, совпадают. В таком случае можем сразу вывести на экран $h_2 = h_1$, как мы и поступили в $15$ строке, и перейти к нахождению $AC$ уже для следующего тестового случая.

Если же величина $\angle AHC$ отлична от $0$, то нам все еще предстоит посчитать длину гипотенузы $AH$ треугольника $\triangle ACH$. Она состоит из хорды $AB$ и отрезка $BH$.
Сперва найдем длину хорды. Известно, что $OF$ делит ее на $2$ одинаковых по длине отрезка, значит, следует опять рассмотреть треугольник $\triangle OEB$. Длину его гипотенузы и одного из катетов мы уже находили, так что просто применим теорему Пифагора и найдем $EB = \sqrt{OB^2-OE^2}$. Тогда $AB = 2 \cdot EB$.
Для нахождения длины $BH$, рассмотрим треугольник $\triangle BDH$, в котором этот отрезок является гипотенузой. Длину катета $BD$ и величину угла $\angle BHD$ мы уже знаем, значит, можем применить формулу $BH = \frac{BD}{\sin(\angle BHD)}$.
Сложим найденные значения длин хорды $AB$ и отрезка $BH$, чтобы получить $AH$. В коде эта длина находится в $17$ строке и присваивается переменной b.

Теперь остается только подставить найденные значения в ранее приведенную формулу и получить наконец длину $h_2$, которую выведем на экран в $18$ строке.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone

Related Images:

e-olymp 1503. Вписанные треугольники

26/01/2018 by Мороз Дима

Пример первого теста на графике

На границе окружности с центром в начале координат и радиусом $r$ заданы $n$ различных точек. Поскольку все точки расположены на одной окружности, то любые три из них не коллинеарны, и поэтому образуют треугольник. Вам необходимо вычислить суммарную площадь всех этих $C_{n}^3$ треугольников.

Входные данные
Состоит из не более чем $16$ тестов. Каждый тест начинается двумя целыми числами $n \left(0 ≤ n ≤ 500\right)$ и $r \left(0 < r ≤ 100\right)$. Через $n$ обозначено количество точек, а через $r$ радиус окружности. Центр окружности находится в центре координат. Дальше следуют $n$ строк, каждая из которых содержит действительное число $θ \left(0 ≤ θ < 360 \right)$, которое определяет угол в градусах между точкой и направлением $x$-оси. Например, если $θ$ равно $30$ градусов, то соответствующая точка имеет декартовы координаты $\left(r \cdot \cos(30°), r \cdot \sin(30°) \right)$. Последняя строка содержит $n = r = 0$ и не обрабатывается.

Выходные данные
Для каждого теста в отдельной строке вывести целое число — суммарную площадь (округленную до ближайшего целого) всех возможных треугольников, образованных заданными $n$ точками.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
5 10 10 100 300 310 320 3 20 10 100 300 0 0	286 320
3 5 25 176 243 0 0	25
4 20 30 80 130 330 0 0	822
2 7 30 230 0 0	0

Код программы

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int main(){
    double ang, s, sq, r2, res, M[500];
    int n, r, pts;
    while(cin >> n >> r, n + r != 0){
        for(int i = 0; i < n; i++){
                cin >> M[i];
                M[i] = M[i] * M_PI / 180;
        }
        sort(M, M + n);
        res = M_PI * r * r * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
        r2 = r * r / 2.0;
        sq = M_PI * r * r;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            for(int j = i + 1; j < n; j++){
                ang = M[j] - M[i];
                if(ang < M_PI){
                        s = r2 * (ang - sin(ang));
                }else{
                    ang = 2 * M_PI - ang;
                    s = sq - r2 * (ang - sin(ang));
                }
                pts = n - (j - i + 1);
                res = res - s * pts;
                pts = n - 2 - pts;
                res = res - (sq - s) * pts;
            }
        }
        printf("%.f\n", res);
    }

    return 0;
}

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <math.h>

#include <stdio.h>

using namespace std;

int main(){

double ang, s, sq, r2, res, M[500];

int n, r, pts;

while(cin >> n >> r, n + r != 0){

for(int i = 0; i < n; i++){

cin >> M[i];

M[i] = M[i] * M_PI / 180;

}

sort(M, M + n);

res = M_PI * r * r * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;

r2 = r * r / 2.0;

sq = M_PI * r * r;

for(int i = 0; i < n; i++){

for(int j = i + 1; j < n; j++){

ang = M[j] - M[i];

if(ang < M_PI){

s = r2 * (ang - sin(ang));

}else{

ang = 2 * M_PI - ang;

s = sq - r2 * (ang - sin(ang));

}

pts = n - (j - i + 1);

res = res - s * pts;

pts = n - 2 - pts;

res = res - (sq - s) * pts;

}

printf("%.f\n", res);

}

return 0;

}

Решение задачи

Радианная мера точек заносится в массив, после чего массив сортируется по возрастанию с помощью функции sort().

В переменную res изначально заносится площадь, равная площади кругов радиуса $r$,
то есть значение $C_{n}^3 \cdot \pi \cdot r^2 = n(n-1)(n-2)(n-2)\pi \cdot \frac{r^2} {6}$. Значение $\frac{r^2} {2}$ присваивается переменной r2, а sq – площадь одного круга, то есть $\pi \cdot r^2$.

Перебираются пары точек, а затем вычисляется угол.
Если угол меньше, то проходимся по меньшему сегменту, площадь которого равна $\pi r^2-0.5r^2(\alpha-\sin \alpha)$, $\alpha = 2\pi -\alpha$. В ином случае мы проходим по большему сегменту.
В любом случае переменной s присваивается площадь сегмента, который мы проходим от $P_{i}$ к $P_{j}$ при движении против часовой стрелки.

Количество точек, лежащих на сегменте, равно $n-(j-i+1)$.
Значит, из переменной res необходимо вычесть площадь сегмента s такое количество раз, которому равно количество точек, то есть pts .

Количество точек, которые лежат на сегменте площади s , равно $n-2- $ pts.
Площадь противоположного сегмента равна разности площади круга и сегмента. Для получения ответа вычитаем площадь противоположного сегмента из переменной res такое количество раз, которое равно значению переменной pts и выводим полученное значение.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com
Решение задачи ideone.com

Related Images:

ML38. Максимальный размер прямоугольника, вырезанного из круга

22/09/2016 by Эммануил Прокопов

Задача. Какого наибольшего размера прямоугольник можно вырезать из круга диаметра [latex]d[/latex], если известно, что длины его сторон образуют золотую пропорцию.

Входные данные:

Единственное число — диаметр окружности.

Выходные данные:

Два числа — длины сторон прямоугольника.

Тесты.

№	Входные данные	Выходные данные
	[latex]d[/latex]	[latex]a[/latex]	[latex]b[/latex]
1	0	0	0
2	1	0.850651	0.525731
3	2	1.7013	1.05146
4	21	17.8638	11.0404
5	0.32	0.272208	0.168234
6	1.7	1.44611	0.893743
7	134	113.981	70.448

Код программы на C++.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() {
    double a, b, f, d;
    cin >> d;
    f = (sqrt(5) + 1) / 2;
    b = d / sqrt (1 + f * f);
    a = b * f;
    cout << a << ' ' << b;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double a, b, f, d;

cin >> d;

f = (sqrt(5) + 1) / 2;

b = d / sqrt (1 + f * f);

a = b * f;

cout << a << ' ' << b;

return 0;

}

Код программы на Java.

import java.util.*;
import java.math.*;
 
class Main
{
    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double f = (Math.sqrt(5)+1)/2;
        double d = in.nextDouble();
        double b = d / Math.sqrt(1 + f * f);
        double a = b * f;
        System.out.print(a + " " + b);
    }
}

import java.util.*;

import java.math.*;

class Main

{

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double f = (Math.sqrt(5)+1)/2;

double d = in.nextDouble();

double b = d / Math.sqrt(1 + f * f);

double a = b * f;

System.out.print(a + " " + b);

}

Решение.

Прямоугольник будет иметь наибольший размер в случае, когда его вершины лежат на окружности. Тогда, очевидно, диаметр окружности будет диагональю данного прямоугольника. Согласно условию, длины его сторон образуют золотую пропорцию. Это означает, что [latex]\frac { a }{ b } =\phi [/latex], где [latex]a[/latex] — длина большей стороны прямоугольника, [latex]b[/latex] — длина его меньшей стороны, а [latex]\phi=\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } [/latex]. Отсюда [latex]a=b\cdot \phi[/latex]. По теореме Пифагора, [latex]{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ d }^{ 2 }[/latex]. Путём подстановки из предыдущего выражения и простых алгебраических преобразований получим формулу для вычисления длины меньшей стороны: [latex]b=d\cdot \sqrt { \frac { 1 }{ { \phi }^{ 2 }+1 } } [/latex].
Сначала для удобства находим значение [latex]\phi[/latex], затем — по указанным формулам длины сторон прямоугольника.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).

Related Images:

Mif 17.12

01/10/2015 by Настя Филипчук

Условие задачи

Принадлежит ли точка [latex] (x;y) [/latex] фигуре на рисунке?

Код

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	double x,y,a;
	cin >> x >> y;
	a=x*x+y*y;
	if (((x>=0)&&(y>=0) && (a<=36))|| ((x>=0)&&(y<=0) && (y>=x-6)))
		cout << "Yes";
	else
		cout << "No";
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){

double x,y,a;

cin >> x >> y;

a=x*x+y*y;

if (((x>=0)&&(y>=0) && (a<=36))|| ((x>=0)&&(y<=0) && (y>=x-6)))

cout << "Yes";

else

cout << "No";

return 0;

}

Тесты

Входные данные		Выходные данные
x	y
9	0	No
-5	3	No
1	2	Yes
-3	5	Yes
1	-1	Yes
4	-4	No

Решение

Сначала ищем длину отрезка ([latex] a [/latex]) от начала координат к точке [latex] (x;y) [/latex] по формуле: [latex]\sqrt{{({x}_{0}-x)}^{2}+{({y}_{0}-y)}^{2}}[/latex], где [latex]({x}_{0};{y}_{0})[/latex] — координаты начала координат.
Дальше проверяем, если [latex]a^{2}\leq 36[/latex] (т.е. точка находится в круге, т.к радиус четверти круга равен 6, а, возведя [latex]a[/latex] в квадрат, радиус также нужно возвести в квадрат) и [latex] (x;y) [/latex] находятся в первой четверти координат, то программа выводит «Yes» (можем возвести радиус ([latex] a=\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/latex] )в квадрат,т.к. радиус не может быть отрицательным).
Также, если сумма [latex] x + y [/latex] в четвертой четверти координат не превышает 6, то точка принадлежит треугольнику и программа выводит «Yes».
В том случае, если тока не принадлежит фигуре, программа выводит «No».

Ссылки

Условие задачи;
Код программы на Ideone.com.

Related Images:

Mif 17.5

30/09/2015 by Антон Локтев

Условие

Принадлежит ли точка [latex] \left( x,y \right) [/latex] фигуре на рисунке?

Входные данные

Координаты точки [latex]\left(x,y\right)[/latex] на плоскости.

Выходные данные

Если точка принадлежит фигуре, вывести «Принадлежит» (без кавычек), в противном случае — «Не принадлежит».

Задача взята отсюда.

Тесты

№	x	y	Вывод
1	1	-1	Принадлежит
2	0	0	Принадлежит
3	0	4	Принадлежит
4	5	0	Принадлежит
5	0	4.00001	Не принадлежит
6	-3	5	Не принадлежит
7	2	3	Принадлежит

Решение

Фигура в задаче представлена в виде двух четвертей окружностей, лежащих в I и IV четвертях с радиусами [latex] R1 [/latex] и [latex] R2 [/latex] , которые равны соответственно [latex] 4 [/latex] и [latex] 5 [/latex]. Центры окружностей находятся в начале координатных осей. Сразу после ввода координат точки выполняем проверку принадлежности фигуре, а именно: координата [latex]X\ge0[/latex] ? В случае отрицательного ответа программа выведет сообщение «Не принадлежит». Одновременно со знаком [latex]X[/latex] выполняется проверка с помощью формулы, полученной из уравнения окружности: [latex]{\left(x-{X}_{c}\right)}^{2}+{\left(y-{Y}_{c}\right)}^{2}\le{R}^{2}[/latex], где [latex]X_{c}[/latex] и [latex]Y_{c}[/latex] — координаты центра окружности. Если координаты точки проходят данную проверку для соответствующего радиуса, который зависит от знака [latex]Y[/latex], то точка принадлежит фигуре, в противном случае выведется сообщение «Не принадлежит».

Код

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
	double y,Yc,x,Xc,R1,R2;
	Xc = 0; // координаты центров окружностей
	Yc = 0;
	R1 = 4; 
	R2 = 5;
	cin >> x >> y; 
	cout << ((x >= 0 && ((y > 0 && ((y - Yc)*(y - Yc) + (x - Xc)*(x - Xc)) <= R1*R1) ||
			            (y <= 0 && ((y - Yc)*(y - Yc) + (x - Xc)*(x - Xc)) <= R2*R2)))? "Принадлежит" : "Не принадлежит");
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){

double y,Yc,x,Xc,R1,R2;

Xc = 0; // координаты центров окружностей

Yc = 0;

R1 = 4;

R2 = 5;

cin >> x >> y;

cout << ((x >= 0 && ((y > 0 && ((y - Yc)*(y - Yc) + (x - Xc)*(x - Xc)) <= R1*R1) ||

(y <= 0 && ((y - Yc)*(y - Yc) + (x - Xc)*(x - Xc)) <= R2*R2)))? "Принадлежит" : "Не принадлежит");

return 0;

}

Код на сайте ideone.com находится здесь.

Related Images:

ML 9

23/09/2015 by Антон Локтев

Данная задача находится здесь.

Условие:

Определить периметр правильного [latex] m [/latex]-угольника, вписанного в окружность радиуса [latex] R [/latex].

Входные данные:

Количество сторон правильного многоугольника [latex] m [/latex] и радиус [latex] R [/latex] описанной около него окружности.

Выходные данные:

Единственное число — периметр заданного многоугольника.

Тесты:

№	m	R	P
1	3	4	20.7846
2	6	5	30
3	8	13	79.5982
4	27	20	125.38

Код программы:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main(){ 
	double m,R;
	cin >> m >> R;
	cout << 2*R*sin(M_PI/m)*m;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double m,R;

cin >> m >> R;

cout << 2*R*sin(M_PI/m)*m;

return 0;

}

Код на сайте ideone.com можно получить здесь.

Убедиться в корректности формулы с помощью онлайн-калькулятора можно на этом сайте.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для нахождения длины стороны правильного многоугольника с помощью радиуса описанной окружности: [latex]a=2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}[/latex] , где [latex]R[/latex] — радиус описанной окружности, а [latex]m[/latex] — количество сторон правильного многоугольника. В задаче необходимо найти периметр, т.е. общую длину всех сторон: [latex]P=a\cdot m[/latex] . Таким образом, объединив формулы, получаем конечную формулу для нахождения периметра правильного многоугольника: [latex]P=\left(2\cdot R\cdot\sin{\frac{\pi}{m}}\right)\cdot m[/latex] , значение которой и необходимо вывести.

Источник формул : wikipedia.

Related Images:

ML8

23/09/2015 by Настя Ивасенко

Задача. Определить периметр правильного [latex]n[/latex]-угольника, описанного около окружности радиуса [latex]r[/latex].

Тесты

[latex]n[/latex]	[latex]r[/latex]	[latex]P[/latex]
4	2	16
3	5	51.9615
7	3	20.2261
5	5	36.3271
6	6	41.5692

Решение

Величину угла можно найти если задано только количество вершин — [latex]\frac{\pi\cdot(n-2))}{n}[/latex].

Для примера можно рассмотреть квадрат.

Так как квадрат — правильный четырёхугольник, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. [latex]R[/latex] делит угол напополам — [latex]\frac{\alpha }{2}[/latex]. Отсюда получаем треугольник:

[latex]\frac{\alpha }{2}[/latex] — половина угла квадрата, [latex]\frac{a}{2}[/latex] — половина стороны. Так как [latex]r[/latex] проходит перпендикулярно к стороне [latex]a[/latex], то мы можем воспользоваться формулой тангенса — [latex]tg\frac{\alpha }{2}=\frac{r}{0.5a}=\frac{2r}{a}[/latex] .

[latex]a=\frac{2r}{tg\frac{\alpha }{2}}[/latex].

Выводим формулу только с [latex]n[/latex] и [latex]r[/latex].

[latex]P=\frac{2nr}{tg(\frac{\pi(n-2)}{2n})}[/latex].

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() {
	int n;
	double r;
	cin >> n >> r;
	cout << (2*n*r/tan(M_PI*(n-2)/(2*n))) << endl;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int n;

double r;

cin >> n >> r;

cout << (2*n*r/tan(M_PI*(n-2)/(2*n))) << endl;

return 0;

}

Код можно увидеть здесь

Related Images:

ML19

18/09/2015 by Таран Таня

Задача. Известна длина окружности. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Тесты

Длина окружности	Точность	Результат работы программы
0	3	Невозможно выполнить для вырожденной окружности
-1	8	Ошибка ввода данных
34	-5	Ошибка ввода данных
25	18	Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность 13
25	13	49.7359197162173
83	5	548.20920
113.42	3	1 023.692
12 345 678	3	Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность 1
12 345 678	1	12 128 861 224 697.9
1 000 000 000	0	Число содержит больше 15 значащих цифр. Точный вывод невозможен

Алгоритм

Перед нами была поставлена задача вычислить площадь круга при условии, что известна длина окружности. Так как в условии не оговорена точность вычислений, выводить результат будем с количеством знаков после запятой, которое задано пользователем.

Для удобства преобразуем известные нам формулы:

[latex]L = 2 \pi \cdot R[/latex] [latex]S = \pi \cdot R^2 [/latex] [latex] \longrightarrow[/latex] [latex]R= \frac{L}{2\pi}[/latex] [latex]\longrightarrow[/latex] [latex]S = \frac{L^2}{4\pi}[/latex];

Воспользовавшись данной формулой находим искомую величину. Однако реализуя вывод с заданной точностью, требуется проверить сможет ли используемый нами тип данных double его обеспечить. Принимая во внимание факт, что данный тип хранит не более чем [latex]15[/latex] значащих десятичных цифр осуществляем следующую последовательность действий:

Находим значение переменной possibleAccuracy как разность между максимально возможным количеством значащих цифр (maxAccuracy = [latex]15[/latex]) и имеющемся в данном числе .
Отрицательное значение переменной possibleAccuracy сигнализирует о том, что найденная площадь круга превышает [latex] 10^{15} [/latex]. Следовательно, выводим предупреждение о том, что точный подсчет невозможен даже с нулевой точностью после запятой.
При условии, что запрашиваемая точность превышает максимальную, выводим уведомление и значение максимальной точности.
При ложности пункта 2 и 3, используя манипулятор setprecision, выводим нужное количество знаков.

Код программы:

#include <iostream>
#include <iomanip> 
#include <math.h>
using namespace std;

const int maxAccuracy = 15;

int main() {
	double circumference, circleArea;
	int givenAccuracy, possibleAccuracy;// заданная пользователем и максимально возможная в данном случае точность соответственно
	cin >> circumference >> givenAccuracy;
	if (circumference == 0)
	    cout << "Невозможно выполнить для вырожденной окружности";// выведение уведомления, если задана вырожденная окружность
	else if (circumference < 0 || givenAccuracy < 0){
		     cout << "Ошибка ввода данных";// проверка введенных данных
	} else {
		circleArea = circumference * (circumference / (4 * M_PI));
		possibleAccuracy = maxAccuracy - ceil(log10(circleArea));
		if (possibleAccuracy < 0) 
		    cout << "Число содержит больше 15 значащих цифр. Точный вывод невозможен";// предупреждение, если число превышает 10^15
		else if (possibleAccuracy < givenAccuracy)
		    	 cout << "Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность " << possibleAccuracy;
	    else
		  cout << fixed << setprecision(givenAccuracy) << circleArea;
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <math.h>

using namespace std;

const int maxAccuracy = 15;

int main() {

double circumference, circleArea;

int givenAccuracy, possibleAccuracy;// заданная пользователем и максимально возможная в данном случае точность соответственно

cin >> circumference >> givenAccuracy;

if (circumference == 0)

cout << "Невозможно выполнить для вырожденной окружности";// выведение уведомления, если задана вырожденная окружность

else if (circumference < 0 || givenAccuracy < 0){

cout << "Ошибка ввода данных";// проверка введенных данных

} else {

circleArea = circumference * (circumference / (4 * M_PI));

possibleAccuracy = maxAccuracy - ceil(log10(circleArea));

if (possibleAccuracy < 0)

cout << "Число содержит больше 15 значащих цифр. Точный вывод невозможен";// предупреждение, если число превышает 10^15

else if (possibleAccuracy < givenAccuracy)

cout << "Вывод с заданной точностью невозможен. Максимально возможная точность " << possibleAccuracy;

else

cout << fixed << setprecision(givenAccuracy) << circleArea;

}

return 0;

}

Код программы

Related Images:

e-olymp 4. Две окружности

18/06/2015 by Зелінський Вячеслав Олександрович

Ссылка на засчитанное решение.

Определить количество точек пересечения двух окружностей.
Входные данные

6 чисел x₁, y₁, r₁, x₂, y₂, r₂, где x₁, y₁, x₂, y₂ — координаты центров окружностей, а r₁, r₂ – их радиусы. Все числа — действительные, не превышают по модулю 1000000000, заданы не более чем с 3-мя знаками после запятой.

Выходные данные

Количество точек пересечения. Если точек пересечения бесконечно много, то вывести -1.

#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    double x1, y1, r1;
    double x2, y2, r2;
    cin >> x1 >> y1 >> r1 >> x2 >> y2 >> r2;

	if( x1 == x2 && y1 == y2 && r1 == r2 )
	{
		cout << -1 << endl;
	}
	else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) == r1+r2 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 == r1 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 == r2 )
	{
		cout << 1 << endl;
	}
	else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) > r1+r2  )
	{
		cout << 0 << endl;
	}
	else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 < r1 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 < r2 )
	{
		cout << 0 << endl;
	}
	else 
	{
		cout << 2 << endl;
	}
}

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main()

{

double x1, y1, r1;

double x2, y2, r2;

cin >> x1 >> y1 >> r1 >> x2 >> y2 >> r2;

if( x1 == x2 && y1 == y2 && r1 == r2 )

{

cout << -1 << endl;

}

else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) == r1+r2 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 == r1 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 == r2 )

{

cout << 1 << endl;

}

else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) > r1+r2 )

{

cout << 0 << endl;

}

else if( sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 < r1 || sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 < r2 )

{

cout << 0 << endl;

}

else

{

cout << 2 << endl;

}

Считываем данные, далее если координаты центров и длины радиусов совпадают печатаем: «-1». Затем рассматриваем варианты, когда окружности имеют одну, две общих точки либо не имеют ни одной.

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
 
class Main
{
   public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
   {
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    double x1, y1, r1;
    double x2, y2, r2;
    x1 = in.nextDouble();
    y1 = in.nextDouble();
    r1 = in.nextDouble();
    x2 = in.nextDouble();
    y2 = in.nextDouble();
    r2 = in.nextDouble();
	
	if( x1 == x2 && y1 == y2 && r1 == r2 )
	{
		System.out.println(-1);
	}
	else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) == r1+r2 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 == r1 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 == r2 )
	{
		System.out.println(1);
	}
	else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) > r1+r2  )
	{
		System.out.println(0);
	}
	else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 < r1 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 < r2 )
	{
		System.out.println(0);
	}
	else 
	{
		System.out.println(2);
	}
   }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double x1, y1, r1;

double x2, y2, r2;

x1 = in.nextDouble();

y1 = in.nextDouble();

r1 = in.nextDouble();

x2 = in.nextDouble();

y2 = in.nextDouble();

r2 = in.nextDouble();

if( x1 == x2 && y1 == y2 && r1 == r2 )

{

System.out.println(-1);

}

else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) == r1+r2 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 == r1 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 == r2 )

{

System.out.println(1);

}

else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) > r1+r2 )

{

System.out.println(0);

}

else if( Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r2 < r1 || Math.sqrt( (x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1) ) + r1 < r2 )

{

System.out.println(0);

}

else

{

System.out.println(2);

}

Код Ideone

Засчитанное решение на e-olimp

Related Images:

А26

23/10/2014 by Гусак Дмитро Євгенович

Задача:

Найти площадь сектора, радиус которого равен 13.7, а дуга содержит заданное число радиан [latex] \varphi[/latex].

Тесты:

Ввод	Вывод	Результат
1	93.845	Площадь найдена
-1	Неверный ввод	Неправильные данные, подсчет невозможен
0.7	65.691	Площадь найдена
8.36	784.544	Площадь найдена
0	Неверный ввод	Неправильные данные, подсчет невозможен
3.14	294.673	Площадь найдена

Код программы:

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	double r = 13.7; //заданный радиус
	double radian;  //угол, вводимый вручную
	double square;  //площадь, выводимая на экран
	printf("Введите число радиан дуги:");
	scanf("%lf", &radian);
	if(radian <= 0)
	            {
		         printf("Неверный ввод \n");
	            }
	else
	            {
	               square = radian/2 * (r*r);
	               printf("%5.3lf \n",square);
	            }
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double r = 13.7; //заданный радиус

double radian; //угол, вводимый вручную

double square; //площадь, выводимая на экран

printf("Введите число радиан дуги:");

scanf("%lf", &radian);

if(radian <= 0)

{

printf("Неверный ввод \n");

}

else

{

square = radian/2 * (r*r);

printf("%5.3lf \n",square);

}

return 0;

}

Решение:
Площадь сектора находится по формуле [latex]S=\frac{\varphi}{2}r^2[/latex], после чего выводится на экран. В случае, если введённый угол меньше или равен нулю, программа выдает сообщение о неверном вводе.

Использованную формулу можно найти по этой ссылке, а здесь находится код в Ideone.

Related Images:

A59б

12/10/2014 by Царев Николай Александрович

Задача:

Для задачи (А.59(б)

Даны действительные числа

Определить, принадлежит ли точка с координатами x, y заштрихованной области.

X	Y	Ответ
-0.65	-0.75	Yes
-0.95	-0.59	No
700	8	No
0	0	No
0.56	0.75	Yes
1,0011	1,0012	No
0.6	0	Yes

Код программы на С++

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	double x, y, r;
	printf("Please, whrite  x and y: \n");
	scanf("%lf   %lf", &x, &y );
	r=(x*x)+(y*y);
    printf((r >= 0.25) && (r <= 1.0) ? "Yes" : "No");
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double x, y, r;

printf("Please, whrite x and y: \n");

scanf("%lf %lf", &x, &y );

r=(x*x)+(y*y);

printf((r >= 0.25) && (r <= 1.0) ? "Yes" : "No");

return 0;

}

Код программы на Java

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		double x, y, r;
		x=in.nextDouble();
		y=in.nextDouble();
		r=(x*x)+(y*y);
		System.out.printf((r >= 0.25) && (r <= 1.0) ? "Yes" : "No");
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double x, y, r;

x=in.nextDouble();

y=in.nextDouble();

r=(x*x)+(y*y);

System.out.printf((r >= 0.25) && (r <= 1.0) ? "Yes" : "No");

}

Поскольку заштрихованная область это круг с «вырезанным кругом» внутри, то для того чтобы определить лежит ли точка в нужной нам области нам достаточно сравнить сумму квадратов координат точек с квадратом радиуса двух окружностей, которые и являются нашими границами.

Если точка лежит на самой окружности, мы считаем что она принадлежит нужной нам области.

Сравнивая полученную величину с радиусами большого и малого круга мы можем уверенно сказать находится ли точка в нужной нам окрестности.