e-olymp 1507. История Лаурела-Харди

Задача

Лаурел и Харди — два известных киногероя $50$-ых. Они известны своей разницей в весе, как можно увидеть на картинке. Если Вы еще не разобрались, кто из них кто, то я добавлю, что Лаурел легче. В свои юношеские годы Лаурел и Харди любили играть со странными качелями, и когда качели находились в равновесии, то Харди всегда был у земли. Мы рассмотрим двумерную версию качель.

Качели, которыми пользовались Лаурел и Харди, представляют собой часть окружности радиуса $r$, как показано на картинке (они закрашены серым и имеют вид буквы $D$). Харди сел на точку $B$ (самая правая точка качель), а Лаурел сел на точку $A$ (самая левая точка отрезка $AB$). $d = EF$ — расстояние между центром отрезка $AB$ и дуги $AFB$. То есть $E$ — середина отрезка $AB$, а $F$ — середина дуги $AFB$. $MN$ — основа качель, является горизонтальной прямой. $BD = h_1$ — расстояние от Харди до земли. Вам необходимо найти расстояние от Лаурела до земли (обозначаемое $h_2 = AC$).

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов $N \space (0 < N ≤ 1000)$. Каждая из следующих $N$ строк представляет собой отдельный тест, который имеет следующий формат:

Каждая строка содержит три целых числа $r \space (10 ≤ r ≤ 100), \space$ $d \space (5 ≤ d ≤ r), \space$ $h_1 \space (5 ≤ h_1 ≤ d)$. Значение этих чисел приведено выше.

Выходные данные

Для каждого теста в отдельной строке вывести его номер и действительной число — значение $h_2$. Это число должно содержать четыре десятичных знака. Формат вывода приведен в примере.

Тесты

Входные данные Выходные данные
2
10 10 10
10 7 6
Case 1: 10.0000
Case 2: 8.0342
3
12 7 7
11 11 8
54 12 6
Case 1: 7.0000
Case 2: 14.0000
Case 3: 19.7383
5
94 21 12
23 9 8
5 4 3
2 2 1
43 26 20
Case 1: 32.1226
Case 2: 10.0439
Case 3: 5.0440
Case 4: 3.0000
Case 5: 32.4231

Код программы

Решение

Для лучшего понимания решения данной задачи, я построил к ней чертеж, который вы можете видеть сверху. Но прежде чем приступить непосредственно к объяснению решения, я хотел бы обратить внимание на то, что мой рисунок (даже без дополнительных построений) немного отличается от данного нам в условии. Эти различия преднамеренны и метод решения справедлив для обоих рисунков.

В $9$ строке введем число $N$ из входного потока, а в $10$ — запустим цикл, который будет работать $N$ раз. Далее за каждый проход цикла будем читать по $3$ следующих числа из входного потока и выводить на экран номер текущего теста. Перед тем, как идти дальше, разберемся в рисунке. Так как по условию отрезок $EF$ делит сегмент $AFB$ пополам, то по свойствам хорд и дуг окружности, он является частью радиуса $r$ нашей окружности с центром в точке $O$ и перпендикулярен хорде $AB$, что и показано на чертеже. Кроме того, я дорисовал радиусы $OA$ и $OB$ окружности к соответствующим точкам и начертил отрезок $BH$, как продолжение $AB$, от точки $B$ до прямой $MN$. Также, я построил прямоугольный треугольник $\triangle OGB$, в котором катет $OG = r-BD$.
Достроив все необходимые отрезки, легко заметить, что мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ с катетом $AC$, длину которого нам и нужно найти по условию задачи. Предлагаю сделать это, воспользовавшись формулой $AC = AH \cdot \sin(\angle AHC)$. Найдем значения сомножителей.

Из рисунка очевидно, что $\angle AHC = \angle BHD = \angle EBG = \angle OBG-\angle OBE.$
Сначала найдем $\angle OBG$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OGB$. Длины его гипотенузы и противолежащего к искомому углу катета нам уже известны, так что можем сразу найти $\angle OBG = \arcsin \frac{OG}{OB}$.
Теперь найдем $\angle OBE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEB$. В нем противолежащий искомому углу катет $OE = r-d$, а гипотенуза $OB = r$. Значит, $\angle OBE = \arcsin \frac{OE}{OB}$.
В итоге остаётся только найти разницу этих углов, которая и будет являться величиной искомого $\angle AHC$. В коде же значение этого угла считается в $13$ строке и присваивается переменной a.

Стоит заметить, что если $\angle OBG-\angle OBE = 0$, то длины отрезков $AC$ и $BD$, очевидно, совпадают. В таком случае можем сразу вывести на экран $h_2 = h_1$, как мы и поступили в $15$ строке, и перейти к нахождению $AC$ уже для следующего тестового случая.

Если же величина $\angle AHC$ отлична от $0$, то нам все еще предстоит посчитать длину гипотенузы $AH$ треугольника $\triangle ACH$. Она состоит из хорды $AB$ и отрезка $BH$.
Сперва найдем длину хорды. Известно, что $OF$ делит ее на $2$ одинаковых по длине отрезка, значит, следует опять рассмотреть треугольник $\triangle OEB$. Длину его гипотенузы и одного из катетов мы уже находили, так что просто применим теорему Пифагора и найдем $EB = \sqrt{OB^2-OE^2}$. Тогда $AB = 2 \cdot EB$.
Для нахождения длины $BH$, рассмотрим треугольник $\triangle BDH$, в котором этот отрезок является гипотенузой. Длину катета $BD$ и величину угла $\angle BHD$ мы уже знаем, значит, можем применить формулу $BH = \frac{BD}{\sin(\angle BHD)}$.
Сложим найденные значения длин хорды $AB$ и отрезка $BH$, чтобы получить $AH$. В коде эта длина находится в $17$ строке и присваивается переменной b.

Теперь остается только подставить найденные значения в ранее приведенную формулу и получить наконец длину $h_2$, которую выведем на экран в $18$ строке.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone

Related Images:

Mif 17.12

Условие задачи

Принадлежит ли точка [latex] (x;y) [/latex] фигуре на рисунке?17.12

Код

 

Тесты

Входные данные
Выходные данные
x y
9 0 No
-5 3 No
1 2 Yes
-3 5 Yes
1 -1 Yes
4 -4 No

Решение

  1. Сначала ищем длину отрезка ([latex] a [/latex]) от начала координат к точке [latex] (x;y) [/latex]  по формуле: [latex]\sqrt{{({x}_{0}-x)}^{2}+{({y}_{0}-y)}^{2}}[/latex], где              [latex]({x}_{0};{y}_{0})[/latex] — координаты начала координат.
  2.  Дальше проверяем, если [latex]a^{2}\leq 36[/latex] (т.е. точка находится в круге, т.к радиус четверти круга равен 6, а, возведя [latex]a[/latex] в квадрат, радиус также нужно возвести в квадрат) и [latex] (x;y) [/latex] находятся в первой четверти координат, то программа выводит «Yes» (можем возвести радиус ([latex] a=\sqrt{x^{2}+y^{2}} [/latex] )в квадрат,т.к. радиус не может быть отрицательным).
  3. Также, если сумма [latex] x + y [/latex] в четвертой четверти координат не превышает 6, то точка принадлежит треугольнику и программа выводит «Yes».
  4. В том случае, если тока не принадлежит фигуре, программа выводит «No».

Ссылки

 

Related Images:

ML17

Задача
Даны гипотенуза и катет прямоугольного треугольника. Найти второй катет и радиус вписанной окружности.

Входные данные
В одной строке заданы гипотенуза [latex] (c)[/latex] и катет [latex] (a)[/latex] прямоугольного треугольника, не превышающие  [latex]1000[/latex].

Выходные данные
В одной строке через пробел — второй катет и радиус вписанной окружности с точностью два знака после запятой.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1. 5 4 3.00 1.00
2.  3.25  1  3.09  0.42
3.  15  8  12.69  2.85
4.   42.2 25 34.00 8.40
5. 62  23 57.58  9.29
6. 125 47 115.83 18.91
7. 1000 758 652.25 205.13

Код программы

ideone.com

Решение
Для нахождения катета необходимо воспользоваться теоремой Пифагора  [latex]c^2=a^2+b^2 \ \Rightarrow \ b^2=c^2-a^2 \ \Rightarrow \ b=\sqrt(c^2-a^2)[/latex].
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
рассмотрим прямоугольный треугольник [latex]ABC[/latex] со вписанной окружностью с центром в точке [latex]O[/latex].

2
[latex]OD=OE=r[/latex] ; [latex]AC[/latex], [latex]CB[/latex], [latex]AB[/latex] — касательные к окружности. По свойствам касательных (1.касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания; 2.отрезки касательных, проведенных из одной точки равны) [latex]AE=AD, DC=FC, BF=BE[/latex] ; [latex]OD\perp AC, OE\perp AC[/latex], следовательно [latex]AEOD[/latex] — квадрат и [latex]AD=AE=r[/latex].
Пусть [latex]AC=a, AB=b, BC=c[/latex], тогда [latex]\begin{cases}r+DC=a\\r+BE=b\\DC+BE=c\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}DC=a-r\\BE=b-r\\a+b-2r=c\end{cases} \Rightarrow[/latex] [latex]r=\frac{a+b-c}{2}[/latex].

Related Images:

ML6

Условие

Даны катеты прямоугольного треугольника. Найти его гипотенузу и площадь.

Входные данные

В одной строке задано два числа — катеты прямоугольного треугольника соответственно [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex]. Значения катетов не превышают по модулю [latex]100[/latex].

Выходные данные

В одной строке через пробел вывести гипотенузу и площадь данного прямоугольного треугольника с 2 знаками после запятой.

Тесты

 Входные данные  Выходные данные
 3 4  5.00 6.00
 10 10  14.14 50.00
 50 90  102.96 2250.00
 1 1  1.41 0.50
 9 99  99.41 445.50
 12 16  20.00 96.00
 9 12  15.00 54.00
 25 50  55.90 625.00
 56 42  70.00 1176.00

Код

Решение

Каждый в школе узнает как найти гипотенузу и площадь прямоугольного треугольника. Для того чтобы найти гипотенузу надо использовать теорему Пифагора [latex]c^2=a^2+b^2\rightarrow\sqrt(a^2+b^2)[/latex], а для нахождения площади — формулу [latex]a\cdot b/2[/latex].
Код программы

Related Images: