e-olymp 4812. Функция

01/01/2018 by Александр Волынец

Задача

Функция [latex]f(x)[/latex] определена следующим образом:
[latex]f\left(x\right)= \sin x + \sqrt{\log_{4}3x}+ \lceil 3e^x \rceil[/latex] Вычислите значение [latex]f(x)[/latex] для заданного [latex]x[/latex].

Входные данные

Каждая строка содержит действительное значение [latex]x (x ≥ 1)[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения x выведите в отдельной строке [latex]f(x)[/latex] с 6 десятичными знаками.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
1 2.3 2.56 7.123456	10.731685 31.926086 40.762019 3725.231017

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x){
    return sin(x) + sqrt(log(3 * x) / log(4)) + ceil(3 * exp(x));
}

int main() {
    double x;
    while(cin >> x) {
        cout << fixed;
        cout.precision(6);
        cout << f(x) << endl;
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double f(double x){

return sin(x) + sqrt(log(3 * x) / log(4)) + ceil(3 * exp(x));

}

int main() {

double x;

while(cin >> x) {

cout << fixed;

cout.precision(6);

cout << f(x) << endl;

}

return 0;

}

Решение задачи

График функции $f\left(x\right) = \sin x + \sqrt{\log_{4}3x}+ \lceil 3e^x \rceil$

Для решения этой задачи я считывал каждое число из потока ввода и передавал значение в функцию, которая возвращало нужное значение, после чего выводил на экран полученное значение с округлением до 6-го знака после запятой. Использовал стандартную библиотеку <cmath>, для вычисления синуса, корня, логарифма, нахождения экспоненты и округления вверх.

Ссылки

Задача на сайте e-olymp
Код решения в Ideone

Related Images:

КМ.72

13/11/2016 by Лена Бригарь

Задача из журнала «Квант» №72

Условие:
Пусть p — произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

Тесты:

№	Входные данные	Выходные данные
1	0.6	No solutions
2	1.4	x1 = -0.997217 x2 = 0.997217
3	2	x=0
4	1.79	x1 = -0.814516 x2 = 0.814516

Код

#include 
#include 
#define _USE_MATH_DEFINES
using namespace std;
int main() {
    double p;
    cin >> p;
    if(p < pow(2, (double)1/3) || p > 2) { // Если корней нет
        cout << "No solutions";
    } 
    else { // Корни есть
        if(p == 2) { // Если корень один
            cout << "x = 0";
        } 
        else { // Корней два
            double x1 = -sqrt(-pow(p, 9) + 6 * pow(p, 6) + 15 * pow(p, 3) + 8) / pow(3 * p, 1.5);
            double x2 = sqrt(-pow(p, 9) + 6 * pow(p, 6) + 15 * pow(p, 3) + 8) / pow(3 * p, 1.5);
            cout << "x1 = " << x1 << endl;
            cout << "x2 = " << x2;
        }
    }
return 0;
}

#include

#define _USE_MATH_DEFINES

using namespace std;

int main() {

double p;

cin >> p;

if(p < pow(2, (double)1/3) || p > 2) { // Если корней нет

cout << "No solutions";

}

else { // Корни есть

if(p == 2) { // Если корень один

cout << "x = 0";

}

else { // Корней два

double x1 = -sqrt(-pow(p, 9) + 6 * pow(p, 6) + 15 * pow(p, 3) + 8) / pow(3 * p, 1.5);

double x2 = sqrt(-pow(p, 9) + 6 * pow(p, 6) + 15 * pow(p, 3) + 8) / pow(3 * p, 1.5);

cout << "x1 = " << x1 << endl;

cout << "x2 = " << x2;

}

return 0;

}

Решение:
Рассмотрев условие, приходим к такому уравнению [latex] \sqrt[3]{\left(1+x \right)}+\sqrt[3]{\left(1-x \right)}=p [/latex] , где p — параметр, который будет задаваться на входе.Ответы для р будут существовать на промежутке [latex] \left[\sqrt[3]{2}; 2\right] [/latex] . Если р не входит в промежуток, то выводим «нет решений». Если р=2, то оба корня совпадут, по этому выводим один «х=0». Для остальных случаев ответом будет два корня.

Ссылки:
Решение на ideone http://ideone.com/A8DXC9
Условие http://www.kvant.info/zkm_1971.htm
Решение wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx)%5E(1%2F3)+%2B+(1-x)%5E(1%2F3)+%3D+p

Related Images:

Ю3.20

01/11/2014 by Марченко Філіп Олександрович

Задача: Для заданных [latex]a[/latex] и [latex]p[/latex] вычислить [latex]x = \sqrt[p]{a}[/latex] по рекуррентному соотношению Ньютона:

[latex]x_{n+1}=\frac{1}{p}*\left[(p-1)x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{p-1}}\right][/latex] [latex]x_{0} = a[/latex]

Сколько итераций надо выполнить, чтобы для достижения заданной погрешности [latex]\varepsilon[/latex] выполнялось соотношение:

[latex]\left|x_{n+1}-x_{n}\leq\varepsilon\right|[/latex]?

Тесты:

[latex]a[/latex]	[latex]p[/latex]	Значение корня [latex]x[/latex]	Значение корня [latex]x[/latex], подсчитанного с помощью соотношения	Количество итераций
57	5	2.24479	2.24479	18
16	2	4	4	5
230	2	15.1658	15.1658	7
9	3	2.08008	2.08008	7

Код на С++:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
double pow_b (double a, int n){
    if (n==0) return 1;
    double result = 1;
    while (n>0) {
        if (n%2==0) {
            n/=2;
            a*=a;
        }
        else {
            n--;
            result*=a;
        }
    }
    return result;
}
int main () {
    double a, p, eps=0.00001; //инициализируем переменные и задаём погрешность
    cin>>a>>p;
    double x=pow(a, 1/p);  //подсчитываем значение
    double xn=a, x_prev;
    int i=0;
    while (fabs(x-xn) > eps){  //создаём цикл, котоый считает значение с помощью рекурентного соотношения Ньютона
        x_prev=xn;
        xn=(1/p)*(x_prev*(p-1) + a/(pow_b(x_prev, p-1)));
        i++;
    }
    cout<<i<<' '<<xn<<' '<<x; //выводим количество итераций на экран.
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

using namespace std;

double pow_b (double a, int n){

if (n==0) return 1;

double result = 1;

while (n>0) {

if (n%2==0) {

n/=2;

a*=a;

}

else {

n--;

result*=a;

}

return result;

}

int main () {

double a, p, eps=0.00001; //инициализируем переменные и задаём погрешность

cin>>a>>p;

double x=pow(a, 1/p); //подсчитываем значение

double xn=a, x_prev;

int i=0;

while (fabs(x-xn) > eps){ //создаём цикл, котоый считает значение с помощью рекурентного соотношения Ньютона

x_prev=xn;

xn=(1/p)*(x_prev*(p-1) + a/(pow_b(x_prev, p-1)));

i++;

}

cout<<i<<' '<<xn<<' '<<x; //выводим количество итераций на экран.

return 0;

}

Код на Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;


class Ideone {
	public static double bPow (double a, double n){
		if (n==0) return 1;
	    double result = 1;
	    while (n>0) {
	        if (n%2==0) {
	            n/=2;
	            a*=a;
	        }
	        else {
	            n--;
	            result*=a;
	        }
	    }
    	return result;
	}
	public static void main (String[] args)	{
		Scanner sc = new Scanner (System.in);
		int Iterations = 0;
		double eps = sc.nextDouble();
		double a = sc.nextDouble();
		double p = sc.nextDouble();
		double x = a;
		double x_next = (1 / p) * ( (p - 1) * x + a / bPow(x, p - 1)) ;
		while (Math.abs(x_next - x) > eps) {
			x = x_next;
			x_next = (1 / p)*((p - 1) * x + a / (bPow(x, p - 1)) );
			Iterations++;
		}
		System.out.println("Result: " + x_next + "; Iterations: " + Iterations);
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone {

public static double bPow (double a, double n){

if (n==0) return 1;

double result = 1;

while (n>0) {

if (n%2==0) {

n/=2;

a*=a;

}

else {

n--;

result*=a;

}

return result;

}

public static void main (String[] args) {

Scanner sc = new Scanner (System.in);

int Iterations = 0;

double eps = sc.nextDouble();

double a = sc.nextDouble();

double p = sc.nextDouble();

double x = a;

double x_next = (1 / p) * ( (p - 1) * x + a / bPow(x, p - 1)) ;

while (Math.abs(x_next - x) > eps) {

x = x_next;

x_next = (1 / p)*((p - 1) * x + a / (bPow(x, p - 1)) );

Iterations++;

}

System.out.println("Result: " + x_next + "; Iterations: " + Iterations);

}

Решение: Для подсчёта значения корня с помощью рекуррентного соотношения, я создал цикл, в котором организовал подсчёт значения таким образом, что пока разница значения корня x, подсчитанного с помощью функции pow, cо значением текущего корня xn, подсчитанным с помощью соотношения, больше заданной погрешности eps, то, записывая текущее значение в переменную x_prev, подсчитываю новое значение корня. В зависимости от заданной погрешности, программа считает результат и выводит его на экран вместе с кол-вом итераций.

UPD: По предложению Игоря Евгеньевича добавил быстрое возведение в целую степень.

Решение UPD: Чтобы построить алгоритм быстрого возведения в степень, необходимо рассмотреть две ситуации:

Когда степень чётна;
Когда степень не чётна;

Ситуация 1 : Проведя несложный анализ можно заметить, что [latex]{a}^{p}[/latex] можно представить в виде

[latex](a^{\frac{p}{2}})^{2}[/latex].

Ситуация 2: В этой ситуации необходимо перейти в степень [latex]p-1[/latex], которая является чётной.

[latex]a^{p}=a^{p-1} * a[/latex]

И в результате получим алгоритм, который работает за [latex]O(\log n)[/latex].

Проверить правильность работы программы можно здесь (UPD): http://ideone.com/VBLGKO

Related Images:

А136л

24/10/2014 by Сорокина Полина

Задача: Даны натуральное число [latex]n[/latex], действительные числа [latex]a_{1},\cdot \cdot \cdot ,a_{n}[/latex]. Вычислить: [latex]\sqrt{\left|a_{1}a_{2}\cdot \cdot \cdot a_{n} \right|}[/latex].

[latex]n[/latex]	[latex]a_{1}[/latex]	[latex]a_{2}[/latex]	[latex]a_{3}[/latex]	[latex]a_{4}[/latex]	[latex]a_{5}[/latex]	[latex]a_{6}[/latex]	[latex]a_{7}[/latex]	[latex]a_{8}[/latex]	[latex]k[/latex]
4	-5	2	4	-3.6	—	—	—	—	12
8	-5	0.2	-3.2	0.5	-1.25	20	2	80	80
3	4	4	0	—	—	—	—	—	0
5	3	8	6	2.8	1.3	—	—	—	22.894541

С++:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void) {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	double a, p=1, k;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lf", &a);
		p*=a;
	}
	k=sqrt(fabs(p));
	printf("%lf", k);
	return 0;
}

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main(void) {

int n;

scanf("%d", &n);

double a, p=1, k;

for(int i=1; i<=n; i++)

{

scanf("%lf", &a);

p*=a;

}

k=sqrt(fabs(p));

printf("%lf", k);

return 0;

}

Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args)
	{
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		
		int n = in.nextInt();
		
		double a, p=1, k;
		
		for(int i=1; i<=n; i++){
			a = in.nextDouble();
			p*=a;
		}
		k=Math.sqrt(Math.abs(p));
		System.out.println(k);
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

int n = in.nextInt();

double a, p=1, k;

for(int i=1; i<=n; i++){

a = in.nextDouble();

p*=a;

}

k=Math.sqrt(Math.abs(p));

System.out.println(k);

}

Объявляем переменную [latex]n[/latex] (количество элементов — это целое число, поэтому используем тип int) и переменные a (элементы произведения), p (произведение), k (корень из модуля произведения элементов), они могут быть вещественными, поэтому выбираем тип double.

В цикле for считываются элементы [latex]a_{1},a_{2},\cdot \cdot \cdot ,a_{n}[/latex], где [latex]i[/latex] — индекс элемента, и вычисляется их произведение.

После цикла вычисляется корень из модуля произведений элементов.

Задача на Ideone:
C++
Java