Задача
Найти количество членов ряда, требуемых для получения значения [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] с точностью до [latex]\varepsilon [/latex], а также найти само значение суммы с заданной точностью.
Входные данные:
Точность [latex]\varepsilon [/latex].
Выходные данные:
Количество членов ряда [latex]n[/latex].
Значение суммы [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex].
Тесты
| № | Входные данные | Выходные данные | ||
| [latex]\varepsilon[/latex] | [latex]n[/latex] | [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] | ||
| 1 | 0.01 | 98 | 4.74785 | |
| 2 | 1e-7 | 4188 | 5.71199 | |
| 3 | 1e-9 | 8900 | 5.71208 | |
| 4 | 1 | 1 | 0.367879 | |
Код программы
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { double sum=0, xn=1, eps; int n=0; cin >> eps; while(xn>=eps){ n++; xn=pow(M_E, -pow(n,1.0/3)); sum+=xn; } cout << n << " " << sum; return 0; } |
Решение
Докажем, что ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] сходится. Обозначим общий член данного ряда [latex]x_n[/latex]. Поскольку все члены ряда положительны, воспользуемся предельным признаком сравнения рядов. Для сравнения возьмём сходящийся ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } [/latex], общий член которого обозначим [latex]b_n[/latex]: [latex]\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ \frac { x_n }{ b_n } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ n }^{ 2 } }=K[/latex], тогда данный ряд сходится, если [latex]0<K<\infty [/latex], либо [latex]K=0[/latex].
[latex]\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ n }^{ 2 } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } }{ e }^{ {2}{\ln { \left( n \right)} } } }=\lim\limits_{ n\rightarrow \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n }+{ {2}{\ln { \left( n \right)} } } }}={ e }^{ -\infty }=0 [/latex].
[latex]K=0[/latex], а значит ряд [latex]\sum\limits_{ n=1 }^{ \infty }{ { e }^{ -\sqrt [ 3 ]{ n } } } [/latex] сходится и значение суммы является конечным числом. Тогда для сколь угодно малого [latex]\varepsilon >0[/latex] найдётся номер, начиная с которого каждый последующий член ряда меньше [latex]\varepsilon[/latex]
Ссылки
- Код программы.
- Условие задачи (страница 257).