Задача. Найти объём параллелепипеда три стороны которого образованы векторами [latex] \overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),[/latex] [latex]\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z).[/latex]

Входные данные: Координаты векторов [latex]\overrightarrow{a},[/latex] [latex] \overrightarrow{b},[/latex] [latex]\overrightarrow{c}. [/latex]

Выходные данные: Объём параллелепипеда.

Тесты

Входные данные	Выходные  данные
0 0 1 0 1 0 1 0 0	1
0 0 0 1 0 0 0 0 1	0
1 0 0 0 0 1 0 0 1	0
2 5 3 4 1 0 -2 7 6	18
3 5 1 0 -7 2 6 -4 5	21

Код программы

Решение

Для решения данной задачи можно составить матрицу и вывести из неё формулу для нахождения определителя:
[latex]\triangle = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix} =[/latex] [latex] a_x \left(b_y c_z+c_y b_z\right)[/latex] [latex]-a_y \left(b_x c_z+c_x b_z\right)+[/latex] [latex]a_z\left(b_x c_y+c_x b_y\right).[/latex]

Модуль определителя матрицы равен объёму параллелепипеда.

Решение на ideone.

Related Images:

Задача
Задача из журнала «Квант» №3, 1974 год (Задача составлена на основе задачи Гуревича)

Рассмотрим последовательности, состоящие из [latex]n[/latex] цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует классов эквивалентности?

Входные данные

[latex]n[/latex] — целове число, [latex]k[/latex] — целое число ([latex]k \neq 0[/latex], [latex]k \leq n[/latex]).

Выходные данные

[latex]m[/latex] — целое число, неполное частное от деления, [latex]q[/latex] — целое число, остаток от деления, [latex]N[/latex] — классы эквивалентности.

Тесты

[latex]n[/latex]	[latex]k[/latex]	[latex]m[/latex]	[latex]q[/latex]	[latex]N[/latex]
4	3	1	1	12
8	4	2	0	81

Код программы

Код программы на С++

Код программы на Java

Решение

Решим задачу для последовательностей из [latex]3n[/latex] цифр. Чтобы не возникло путаницы, греческими буквами будем обозначать последовательности, а латинскими – элементы последовательностей. Пусть последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из [latex]3n[/latex] цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex]. Разобъем [latex]\alpha[/latex] на три подпоследовательности:
[latex]\alpha_1={\alpha_1,\alpha_4,\alpha_7,\ldots, \alpha_{3k+1},\ldots,\alpha_{3(n-1)+1}}[/latex],
[latex]\alpha_2={\alpha_2, \alpha_5, \alpha_8,\ldots, \alpha_{3k+2},\ldots,\alpha_{3(n-1)+2}}[/latex],
[latex]\alpha_3={\alpha_3, \alpha_6, \alpha_9,\ldots, \alpha_{3k},\ldots,\alpha_{3n}}[/latex].
Такое разбиение будем называть стандартным. Каждая из последовательностей [latex]\alpha_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] стандартного разбиения состоит из [latex]n[/latex] цифр. Пусть [latex]\beta[/latex] – произвольная последовательностей. Через [latex]|\beta|[/latex] обозначим число единиц в последовательности [latex]\beta[/latex]. Подсчет числа неэквивалентных последовательностей основывается на следующей теореме:
Теорема. Пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]3n[/latex], ([latex]\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3[/latex]) и ([latex]\beta_1,\beta_2,\beta_3[/latex]) – их стандартные разбиения. Для того чтобы последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы подпоследовательности [latex]\alpha_1[/latex] и [latex]\beta_1[/latex], [latex]\alpha_2[/latex] и [latex]\beta_2[/latex], [latex]\alpha_3[/latex] и [latex]\beta_3[/latex] содержали одинаковое число единиц соответственно, то есть чтобы выполнялось условие
[latex]|\alpha_1|=|\beta_1|[/latex], [latex]|\alpha_2|=|\beta_2|[/latex], [latex]|\alpha_3|=|\beta_3|[/latex].
Покажем сначала, как на основе этой теоремы подсчитывается число неэквивалентных последовательностей, а затем докажем теорему. В силу теоремы каждый класс эквивалентных последовательностей однозначно определяются упорядоченной тройкой чисел ([latex]|\alpha_1|, |\alpha_2|, |\alpha_3|[/latex]). Эти числа смогут принимать любые значения от 0 до [latex]n[/latex]. Следовательно, число неэквивалентных последовательностей длины [latex]3n[/latex] равно числу различных упорядоченных троек целых чисел от 0 до [latex]n[/latex]. Нетрудно видеть, что число таких троек равно [latex] \left(n+1\right)^{3} [/latex].
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть мы переставили в последовательности [latex]\alpha={\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{3n}}[/latex] две соседние тройки цифр: [latex]a_k, a_{k+1}, a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+3}, a_{k+4}, a_{k+5}[/latex]. Эту перестановку можно представить следующим образом: сначала поменяли местами цифры [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex], затем поменяли местами цифры [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] и, наконец, поменяли местами цифры [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex]. Число [latex]a_k[/latex] и [latex]a_{k+3}[/latex] – соседние цифры одной и той же подпоследовательности стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex]; числа [latex]a_{k+1}[/latex] и [latex]a_{k+4}[/latex] – другой, а числа [latex]a_{k+2}[/latex] и [latex]a_{k+5}[/latex] – третьей. Таким образом, в каждой из подпоследоваетльностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\alpha[/latex] мы пeреставили два соседних члена. Значит, если последовательность [latex]\beta[/latex] получена из последовательности [latex]\alpha[/latex] конечным числом перестановок, то есть, если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны, то подпоследовательности [latex]\beta_1, \beta_2, \beta_3[/latex] стандартного разбиения [latex]\beta[/latex] суть некоторые перестановки подпоследовательностей [latex]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/latex] соответственно. Отсюда вытекают равенства (1).
Достаточность. Нам надо доказать, что если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]3n[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквиваленты. Удобнее доказывать более общее утверждение: если последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] длины [latex]k[/latex] удовлетворяют условию (1), то эти последовательности эквивалентны. Доказательство будем вести индукцией по [latex]k[/latex].
1) При [latex]k=1[/latex] последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] содержит по одной цифре. Из условия (1) следует, что эти цифры равны, то есть что последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] просто совпадают.
2) Предположим, что в случае, когда [latex]k=p[/latex], утверждение уже доказано. Докажем его при [latex]k=p+1[/latex]. Итак, пусть [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] – последовательности длины [latex]p+1[/latex] и пусть выполнено соотношение (1). Пусть далее, последовательность [latex]\alpha[/latex] состоит из цифр [latex]{\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex], а последовательность [latex]\beta[/latex] — из цифр [latex]{\beta_1, \beta_2,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex].
а) если [latex]\alpha_1 = \beta_1[/latex], то рассмотрим последовательности [latex]\alpha\prime={\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{p+1}}[/latex] и [latex]\beta\prime={\beta_2,\beta_3,\ldots,\beta_{p+1}}[/latex]. Ясно, что последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] удовлетворяют условия (1). А так как длины этих последовательностей равны [latex]p[/latex], то можно воспользоваться индуктивным предположением. Таким образом, последовательности [latex]\alpha\prime[/latex] и [latex]\beta\prime[/latex] эквивалентны, то есть последовательность [latex]\alpha\prime[/latex] несколькими перестановками можно перевести в последовательность [latex]\beta\prime[/latex]. Эти же перестановки переводят [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex]. Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] эквивалентны.
б) Пусть [latex]a_1\neq b_1[/latex], и пусть для определенности [latex]a_1=1[/latex], а [latex]b_1=2[/latex]. Так как [latex]a_1=1[/latex], то [latex]|\alpha|>0[/latex]. Тогда в силу (1) и [latex]|\beta|>0[/latex]. Следовательно, найдется число [latex]q[/latex] такое, что [latex]b_{3q+1} = 1[/latex]. В последовательности [latex]\beta[/latex] поменяем местами соседние тройки цифр [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] и [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3(q-1)+2}, b_{3(q-1)+3}[/latex]. В результате этой перестановки тройка [latex]b_{3(q-1)+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}[/latex] сдвигается на 3 цифры влево. Затем поменяем местами эту тройку с рядом стоящей тройкой цифр [latex]b_{3(q-2)+1}, b_{3(q-2)+2}, b_{3(q-2)+3}[/latex] и так далее; после [latex]q[/latex] перестановок получим последовательность [latex]\beta\prime\prime[/latex], первой цифрой которой будет [latex]b_{3q+1}[/latex], то есть 1. Последовательность [latex]\beta[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] эквивалентны и поэтому, как было доказано выше, удовлетворяют условию (1). Значит, последовательности [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta\prime\prime[/latex] удовлетворяют условию (1). Но первые элементы этих последовательностей совпадают. Таким образом, случай б) свелся к уже разобранному случаю а). Теорема доказана.
Следовательно, если [latex]n=mk+q[/latex], где [latex]0<=q<k[/latex], то число классов эквивалентных последовательностей равно [latex] \left(m+1\right)^{k-q}\left(k+1\right)^{q} [/latex].

Ссылки

Условие задачи (стр.40-41)
Решение задачи на сайте Ideone.com (C++)
Решение задачи на сайте Ideone.com (Java)

Related Images:

Задача

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел [latex]x_1[/latex], [latex]x_2[/latex], [latex]x_3[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{10}[/latex] равна [latex]1[/latex]. Какой наибольшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из [latex]10[/latex] чисел [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{10}}{10}[/latex]?

Каков будет ответ, если чисел не [latex]10[/latex], а [latex]n[/latex]?

Входные данные

Количество элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]x_2[/latex], [latex]x_3[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_n[/latex].

Выходные данные

Наибольшая разность наибольшего и наименьшего элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n} {n}[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
2	0.5
4	0.75
6	0.833333
8	0.875

Код программы

Решение задачи

Выведем формулу сразу для [latex]n[/latex] чисел. Сделаем несколько предварительных замечаний.

Обозначим через [latex]y_k[/latex] число [latex]\frac{x_1+x_2+ \ldots+x_k}{k}[/latex], где [latex]k=1, 2, 3, \ldots, n[/latex]. Если прибавить ко всем [latex]x_i[/latex] некоторое число [latex]a[/latex], то вместо чисел [latex]y_i[/latex] мы получим числа [latex]y_i+a[/latex]. Максимальные разности для чисел [latex]y_i[/latex] и для [latex]y_i+a[/latex] совпадают. Поэтому от набора [latex]f\{x_i\}[/latex] с помощью подходящего выбора [latex]a[/latex] можно перейти к такому набору [latex]f\{x_i’\}[/latex], что все [latex]x_i’\le0[/latex], наименьшие [latex]x_i[/latex] равны нулю, а наибольшие — единице. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие наборы. Аналогично, если заменить числа [latex]x_i[/latex] на [latex]1-x_i[/latex], то [latex]y_i[/latex] заменятся на [latex]1-y_i[/latex]. Следовательно, от набора [latex]f\{x_i\}[/latex] можно перейти к набору [latex]f\{1-x_i\}[/latex]: максимальные разности между числами [latex]y_i[/latex] и числами [latex]1-y_i[/latex] одинаковы.

Решим задачу. Пусть [latex]y_k[/latex] — наименьшее, а [latex]y_t[/latex] — наибольшее из чисел [latex]f\{y_i\}[/latex].

Если [latex]k<l[/latex], то [latex]y_l-y_k=\frac{k y_k}{l}+\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}-y_k[/latex][latex]=\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}-\frac{l-k}{l} y_k[/latex][latex]\le\frac{x_{k+1}+\ldots+x_l}{l}\le\frac{l-k}{l}\le1-\frac{k}{l}\le1-\frac{1}{n}[/latex]

Если же [latex]k>l[/latex], то [latex]y_l-y_k=\frac{k-l}{k} y_l-\frac{y_{l+1}+\ldots+y_k}{k}\le1-\frac{l}{k}\le1-\frac{1}{n}[/latex].

Из вышесказанного следует, что максимальная разность не больше [latex]1-\frac{1}{n}[/latex]. Набор с такой разностью можно легко указать: [latex]x_1=0[/latex], [latex]x_2=x_3=\ldots=x_n=1[/latex].

Л. Г. Лиманов
Научно-популярный журнал «Квант», 1974 год, №3, страницы 38-39.

Итог:
Формула, которую необходимо использовать для решения этой задачи, это [latex]D=1-\frac{1}{n}[/latex], где D — наибольшая разность элементов последовательности [latex]x_1[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2} {2}[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3} {3}[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]\frac {x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}[/latex], а [latex]n[/latex] — их количество.

Ссылки

• Условие задачи (страница 42);
• Оригинал кода программы.

Related Images:

Условие:

Найти угол в градусах, минутах и секундах между векторами [latex]\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z)[/latex] и [latex]\overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z)[/latex].

Входные данные:

Координаты векторов [latex] \overrightarrow{a}[/latex] и [latex]\overrightarrow{b}[/latex].

Выходные данные:

Угол в градусах, минутах и секундах.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	1 1 4 20 31 12	53° 1′ 23″
2	1 61 12 1 11 1	7° 17′ 33″
3	1 0 0 0 0 1	90° 0′ 0″
4	-1 0 1 -2 2 1	44° 59′ 59″

Код

 

Решение:

Для решения данной задачи необходимо найти косинус между векторами, а после перевести радианы в градусы.
Косинус между векторами найдем по формуле [latex] \cos \alpha = \frac{\vec{a}\vec{b}}{\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|}[/latex] .
Скалярное произведение найдем по формуле [latex] \left|\vec{a} \right| \left|\vec{b} \right|={a}_{x}{b}_{x}+{a}_{y}{b}_{y}+{a}_{z}{b}_{z} [/latex] .
Модуль вектора найдем по формуле [latex] \left|\vec{a} \right| = \sqrt{ {{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2} } [/latex] ; [latex] \left|\vec{b} \right| = \sqrt{ {{b}_{x}}^{2}+{{b}_{y}}^{2}+{{b}_{z}}^{2} } [/latex] .
Затем переведем радианы в градусы по формуле [latex] \frac{180}{ \arccos (-1.0) \arccos (\cos \alpha )} [/latex] .
[latex] \arccos (-1.0) [/latex] это число [latex] \pi [/latex] .

Ссылки:

Решение задачи на ideone.com: http://ideone.com/Gx3IVU
Косинус угла между векторами: http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/angl/
Скалярное произведение векторов: http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply/
Модуль вектора: http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/length/
Перевод радиан в градусы: http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/radian_and_degree_conversion.html
Условие задачи: https://cpp.mazurok.com/mtasks/

Related Images:

Задача из журнала «Квант» №4 1970г.

Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: <Как пройти в село [latex]NN?[/latex]> Ему ответили: <Иди по левой дороге до деревни [latex]N[/latex] — это в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога,— это как раз дорога в [latex]NN[/latex]. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN>. — <Ну, а какой путь короче-то будет?> — <Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы.> И пошёл крестьянин по правой дороге. Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до [latex]NN[/latex] напрямик? (Все дороги прямые.)

Более лаконичная версия:
Крестьянин стоит на развилке дорог, которые расходятся под углом 60°, и хочет попасть в село [latex]NN[/latex]. Выбрав левую дорогу, он должен будет пройти [latex]n[/latex] вёрст прямо, затем повернуть направо под прямым углом и идти до [latex]NN[/latex]. Выбрав правую, он должен будет преодолеть участок некоторой длины прямо, затем повернуть налево и пройти такой же по длине участок. При этом известно, что длины левой и правой дорог одинаковы. От нас требуется найти длину пути по одной из дорог и длину пути напрямик.

Входные данные:

Длина пути от развилки до N.

Выходные данные:

Длины путей по дороге и напрямик.

Тесты.

№	Входные данные	Выходные данные
	[latex]n[/latex]	[latex]{ s }_{ 1 }[/latex]	[latex]{ s }_{ 2 }[/latex]
1	0	0	0
2	8	11.0416	8.55871
3	0.5	0.690101	0.534919
4	21	28.9843	22.4666
5	13.45	18.5637	14.3893

Код программы (C++).

Код программы (Java).

Решение.
Обозначим развилку как [latex]A[/latex], деревню [latex]N[/latex] как [latex]B[/latex], село [latex]NN[/latex] как [latex]C[/latex], место пересечения правой дороги с рельсами как D, и проведём [latex]DH\bot AB[/latex] и [latex]DK\bot BC[/latex]. Нам дано, что [latex]AB=n[/latex], угол [latex]BAC[/latex] — 60 градусов, [latex]AD=DC[/latex] и [latex]AB+BC=AD+CD[/latex].

Пусть [latex]AD=2x[/latex], тогда [latex]AH=x[/latex]; [latex]BH=KD=n-x[/latex]; [latex]BC=4x-n[/latex]; Из треугольника [latex]AHD[/latex]: [latex]BK=DH=x\cdot \sqrt { 3 } [/latex];

[latex]KC=KB-BC=n+x\cdot (\sqrt { 3 } -4)[/latex].
Из треугольника CKD по теореме Пифагора: [latex]{ KC }^{ 2 }+{ KD }^{ 2 }={ CD }^{ 2 }[/latex]. Подставив значения, раскрыв скобки и проведя математические преобразования, получим квадратное уравнение [latex]{ x }^{ 2 }\cdot (-4\sqrt { 3 } +8)-x\cdot n\cdot (\sqrt { 3 } -5)+{ n }^{ 2 }=0[/latex].
Найдём дискриминант [latex]D={ n }^{ 2 }\cdot (6\sqrt { 3 } -4)[/latex].

[latex]KD=n-x[/latex] и [latex]KD>0[/latex], значит, [latex]n-x>0[/latex] и [latex]x<n[/latex]. Легко доказать, что для первого из корней полученного квадратного уравнения это условие не выполняется. Значит, мы имеем лишь один корень. Найдя его, мы найдём половину длины [latex]AD[/latex]. Выведем формулу для его расчёта:
[latex]x=\frac { n\cdot (5-\sqrt { 3 } -\sqrt { 6\sqrt { 3 } -4 } ) }{ 8\cdot (2-\sqrt { 3 } ) } [/latex] Тогда длина пути по дороге будет равна [latex]4x[/latex], а длину пути напрямик мы найдём из треугольника [latex]ABC[/latex] по теореме Пифагора: [latex]{ s }_{ 2 }=\sqrt { { 2\cdot (n }^{ 2 }-4x\cdot n+8{ n }^{ 2 }) } [/latex].

Код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).
Условие задачи (страница 27).

Related Images:

Задача из журнала «Квант» №4 1972 г.
Из вершины [latex]B[/latex] параллелограмма [latex]ABCD[/latex] проведены его высоты [latex]BK[/latex] и [latex]BH[/latex]. Выразите расстояние от точки [latex]B[/latex] до точки пересечения высот треугольника [latex]BKH[/latex] через длины отрезков [latex]KH = a[/latex] и [latex]BD = b[/latex].

Входные данные:
Длины отрезков [latex]a[/latex], [latex]b[/latex]

Выходные данные:
Расстояние от точки [latex]B[/latex] до точки [latex]O[/latex] — точки пересечения высот треугольника [latex]BKH[/latex] ([latex]c[/latex])

Тесты:

b	a	c
10	6	8
5	3	4
3	5	inf (Infinity)

Код программы на С++:

Код программы на Java:

Решение задачи:

Рассмотрим параллелограмм [latex]ABCD[/latex]. Проведем высоты [latex]BH[/latex] и [latex]BK[/latex] соответственно к сторонам [latex]AD[/latex] и [latex]DC[/latex]. Соединив точки [latex]K[/latex] и [latex]H[/latex] линией, получаем треугольник [latex]BKH[/latex]. В нем проведем три высоты [latex]BD[/latex], [latex]HM[/latex], [latex]KE[/latex] к сторонам [latex]HK[/latex], [latex]BK[/latex], [latex]HB[/latex]. Точкой пересечения высот в треугольнике является точка [latex]O[/latex].
Проведем в параллелограмме высоту [latex]DL[/latex] к стороне [latex]BC[/latex]. Соединив точки [latex]L[/latex] и [latex]K[/latex] получаем треугольник [latex]LDK[/latex]. Если сдвинуть (параллельно) треугольник [latex]BHO[/latex] так, чтобы точка [latex]H[/latex] попала в точку [latex]D[/latex], то он полностью совпадет с треугольником [latex]LKD[/latex], поскольку отрезок [latex]HO[/latex] параллелен и равен [latex]DK[/latex], а отрезок [latex]BH[/latex] параллелен и равен [latex]LD[/latex]. Следовательно, [latex]BO=LK[/latex] и два треугольника равны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник [latex]HKL[/latex], в котором сторона [latex]HK=a[/latex] и [latex]HL=b[/latex] по условию. По теореме Пифагора отыщем сторону KL: [latex]KL=\sqrt[]{b^{2}-a^{2}}[/latex].
Так как треугольник [latex]BOH[/latex] и треугольник [latex]LKD[/latex] равны, получаем что [latex]KL=BO[/latex]

Решение задачи на C++
Решение задачи на Java

Условие задачи можно найти здесь: http://www.kvant.info/zkm_tex/zkm_main.pdf

Related Images:

Задача

Задача из журнала «Квант» №6 1970 г.
Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через [latex]f(x, y) [/latex] номер первой из задач [latex]x[/latex]-го номера журнала за [latex]y[/latex]-й год (например, [latex]f (6.1970)=26)[/latex]. Напишите общую формулу для[latex]f(x, y) [/latex]для всех [latex] x , y (1 \le x \le 12 , y \ge 1970) [/latex] .
Решите уравнение [latex]f(x, y)=y [/latex] .

Тесты

Входные данные		Выходные данные
[latex]x [/latex]	[latex]y [/latex]	[latex]f(x, y) [/latex]
6	1970	26
12	1970	56
7	1998	1711
9	2016	2801

Код

Решение задачи

При прочтении условия данной задачи, становится ясно что речь идёт о арифметической последовательности с первым элементом [latex]a_1 = 1 [/latex] и разностью данной последовательности [latex]d = 5 [/latex]. Таким образом для нахождения номера первой задачи из [latex]x [/latex]-го номера за [latex] y [/latex]-ый год требуется формула для нахождения [latex]n[/latex]-го члена прогрессии [latex]a_n=a_1+d(n-1) [/latex]. Но для этого случая нужно вывести [latex]n[/latex] что мы сделаем сложив номер выпуска [latex]x [/latex] и разницу [latex]y-1970[/latex] помноженную на [latex]60[/latex] (что является количеством задач опубликованных за год). Зная всё вышеперечисленное выводим общую формулу [latex]f(x, y) = 1 + 5\*(x-1)+60\*(y-1970)[/latex] . В последствии формула была изменена, что позволило избавиться от лишних действий и слегка сократить формулу. Вид этой формулы: [latex]f(x, y) = 5\*x-4+60\*(y-1970)[/latex] .

Ссылки

Условие задачи.
ideone

Related Images:

Задача

Самолёт летит из пункта в [latex]A[/latex] в пункт [latex]B[/latex] и обратно со скоростью [latex]V[/latex] км/час. Всё время дует ветер с постоянной скоростью [latex]U[/latex] км/час под углом [latex]\alpha[/latex] радиан к направлению движения (0 соответствует попутному ветру). Расстояние между пунктами составляет [latex]S[/latex] км. Для любых неотрицательных действительных значений угла, расстояния и скоростей вычислите время в пути.

Входные данные

[latex]V[/latex]-скорость самолета, [latex]U[/latex]-скорость ветра, [latex]S[/latex]-расстояние [latex]AB[/latex], [latex]\alpha[/latex]-угол направления ветра.

Выходные данные

Время полета [latex]t[/latex] в часах.

Тесты

Входные данные				Выходные данные
[latex]V[/latex]	[latex]U[/latex]	[latex]S[/latex]	[latex]\alpha[/latex]	[latex]t[/latex]
600	20	1200	1,5708	4.0013
600	20	1200	0	4.00445
600	20	1200	3,1415	4.00436
600	20	1200	1,0472	4.0013
600	20	1200	2,6179	4.00077
600	601	1200	0	inf
0	20	1200	0	inf

Код программы

Решение

Учитывая скорость ветра [latex]U[/latex] и угол [latex]\alpha[/latex] под которым ветер дует на самолет, на пути от [latex]A[/latex] к [latex]B[/latex] скорость самолета будет равна [latex]V+cos(\alpha)\cdot U[/latex] , а на обратном пути от [latex]B[/latex] к [latex]A[/latex] скорость самолета будет равна [latex]V-cos(\alpha)\cdot U[/latex].Общее время полета узнаем по формуле [latex]t =\frac{S}{V+cos(\alpha)\cdot U} +\frac{S}{V-cos(\alpha)\cdot U}[/latex].

Ссылки

Ideone

Related Images:

Задача

Найти объём тетраэдра три стороны которого образованы векторами [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex].

Пояснительный рисунок

Входные данные

Координаты векторов [latex]\vec {a}[/latex], [latex]\vec {b}[/latex], [latex]\vec {c}[/latex].

Выходные данные

Объём тетраэдра.

Тесты

Входные данные									Выходные данные
[latex]x_a[/latex]	[latex]y_a[/latex]	[latex]z_a[/latex]	[latex]x_b[/latex]	[latex]y_b[/latex]	[latex]z_b[/latex]	[latex]x_c[/latex]	[latex]y_c[/latex]	[latex]z_c[/latex]	[latex]V[/latex]
0	0	1	0	1	0	1	0	0	0.166667
3	6	3	1	3	-2	2	2	2	3
0	0	0	1	3	-2	2	2	2	0

Код программы

Решение задачи

Так как тетраэдр построен на векторах [latex]\vec {a} = \left( x_a, y_a, z_a \right)[/latex], [latex]\vec {b} = \left( x_b, y_b, z_x \right)[/latex], [latex]\vec {c} = \left( x_c, y_c, z_c \right)[/latex], для данной задачи оптимальным решением будет использовать следующие формулы:

1. [latex]V = \frac {|\Delta|} {6}[/latex], где [latex]V[/latex] — объём тетраэдра, а [latex]\Delta[/latex] — определитель матрицы.
2. [latex] \Delta =
   \begin{vmatrix}
   x_a & y_a & z_a \\
   x_b & y_b & z_b \\
   x_c & y_c & z_c
   \end{vmatrix}
   = x_a \left(y_b z_c-z_b y_c \right)-x_b \left( y_a z_c-z_a y_c \right)+x_c \left( y_a z_b-z_a y_b \right)
   [/latex].

Итоги:

• если значение определителя матрицы равно нулю, то либо некоторые из заданных векторов коллинеарны, либо нулевые, либо все они лежат в одной плоскости. Во всех этих случаях тетраэдр не может существовать, и программа выведет [latex]0[/latex];
• если значение определителя не равно нулю, то программа вычислит объём тетраэдра. В случае, если определитель примет отрицательное значение, программа домножит значение объёма на [latex]-1[/latex], в результате чего оно станет положительным.

Ссылки

• Условие задачи;
• Оригинал кода программы (C++);
• Оригинал кода программы (Java).

Related Images: