e-olymp 6388. Муха Фон-Неймана

22/12/2019 by Кирилл Колесник

Задача

Следующая задача была предложена Джону Фон-Нейману:

Два велосипедиста [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] начинают поездку навстречу друг другу в одно и то же время с мест, находящихся на расстоянии [latex]250[/latex] друг от друга, [latex]a[/latex] движется со скоростью [latex]10[/latex] миль в час, [latex]b[/latex] движется со скоростью [latex]15[/latex] миль в час. В это же время муха взлетает с колеса велосипедиста [latex]a[/latex] и движется навстречу к [latex]b[/latex], затем разворачивается и летит обратно. Пока велосипедисты приближаются друг к другу, муха продолжает летать между ними, касаясь каждый раз переднего колеса велосипедистов, пока, наконец, не будет раздавлена колесами встретившихся велосипедов. Так как муха летает быстрее каждого из велосипедистов, она совершает бесконечное количество полетов, при этом пройдя конечное расстояние (бесконечный ряд сходится). Какое расстояние пролетела муха?

Фон-Нейман немедленно вычислил бесконечный ряд (в уме!), и получил верный ответ: [latex]200[/latex] миль.

Вам следует написать программу, которая решает более общую задачу, с различными начальными расстояниями и скоростями.

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов [latex]p (1 \leqslant p \leqslant 1000)[/latex].

Каждый тест состоит из одной строки, содержащей пять чисел: номер теста [latex]n[/latex] и четыре действительных числа: начальное расстояние между велосипедистами [latex]d (10 \leqslant d \leqslant 1000)[/latex], скорость первого велосипедиста [latex]a (1 \leqslant a \leqslant 30)[/latex] в милях в час, скорость второго велосипедиста [latex]b (1 \leqslant b \leqslant 30)[/latex] в милях в час и скорость мухи [latex]f (a \leqslant b < f \leqslant 50)[/latex] в милях в час.

Выходные данные

Для каждого теста вывести в отдельной строке номер теста, пробел, и количество миль, которое пролетела муха (бесконечная сумма расстояний, описанных в условии) с точностью до двух десятичных знаков.

Тесты

#	ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ	ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1	5 1 250 10 15 20 2 10.7 3.5 4.7 5.5 3 523.7 15.3 20.7 33.3 4 1000 30 30 50 5 500 15 15 25	1 200.00 2 7.18 3 484.42 4 833.33 5 416.67

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    double p, d, a, b, f, t, flyDist;
    int n;
    cin >> p;
    for (int i = 0; i < p; i++){
        cin >> n >> d >> a >> b >> f;
        t = d / (a + b);
        flyDist = f * t;
        cout.precision(2);
        cout << fixed << n << " " << flyDist << endl;
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double p, d, a, b, f, t, flyDist;

int n;

cin >> p;

for (int i = 0; i < p; i++){

cin >> n >> d >> a >> b >> f;

t = d / (a + b);

flyDist = f * t;

cout.precision(2);

cout << fixed << n << " " << flyDist << endl;

}

return 0;

}

Решение задачи

Безусловно, многие ознакомленные с курсом математического анализа люди (или же юные подражатели Фон-Неймана) после ознакомления с условием задачи мгновенно подумали о сумме сходящегося бесконечного ряда. Однако, если абстрагироваться от пестрых намеков содержания и попробовать мыслить менее глобально, можно прийти к куда более простому варианту решения. На самом деле под витиеватой формулировкой таится обыкновенная задача на движение с некоторым дополнительным фактором!

Согласно условию, велосипедисты [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] двигаются навстречу друг другу, а следовательно их скорость сближения (общая скорость) будет равна сумме скоростей каждого из велосипедистов: [latex]a + b[/latex]. По знакомой из школьного курса математики формуле [latex]S = V \times t[/latex] (тогда [latex]t = \frac { S }{ V }[/latex]), разделив расстояние между велосипедистами [latex]d[/latex] на их скорость сближения, найдем время [latex]t[/latex], спустя которое велосипедисты встретятся: [latex]t = d / (a + b)[/latex]. Муха, перелетающая с одного колеса на другое со скоростью [latex]f[/latex] достигнет момента своей погибели ровно тогда же, когда встретятся велосипедисты, то есть спустя то же время [latex]t[/latex]. Тогда, умножив скорость мухи на это время, то есть [latex]f\times t[/latex], получим расстояние [latex]flyDist[/latex], преодолённое мухой.
Для корректной реализации кода задачи сначала считываем количество тестов [latex]p[/latex], затем создаём цикл, внутри которого считываем все необходимые для вышеописанных действий переменные, производим нужные вычисления и, с помощью функции cout.precision и замечания fixed, выводим номер теста и его результат с точностью до двух десятичных знаков.

Конечно, данную задачу можно решить и используя сумму ряда, однако этот способ получился бы намного более сложным и громоздким. Поэтому такое удивительное высказывание, скорее всего, было лишь тонкой шуткой остроумного Фон-Неймана. Сам же он мог решить задачу в уме простым путем, описанным выше, но назвать более сложный, чтобы удивить современников и последователей.

Related Images:

D2549. Сумма ряда

24/12/2017 by Алла Марокко

Условие задачи:
Найти сумму сходящегося ряда:
[latex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} + …[/latex]

Входные данные:
Целое число [latex]n[/latex] — номер искомой частичной суммы.

Выходные данные:
Искомая частичная сумма.

Тесты:

№	Вход	Выход
1	1	0.5
2	500	0.998004
3	100000	0.999965

Код на языке C++ (первый вариант):

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    double S = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        S += 1.0/(i*(i + 1)); 
    }
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

double S = 0;

cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i++){

S += 1.0/(i*(i + 1));

}

cout << S;

return 0;

}

Код на языке Java (первый вариант):

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n;
        n=in.nextInt();
        double S = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++){
            S += 1.0/(i*(i + 1)); 
        }
        System.out.println(S);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

int n;

n=in.nextInt();

double S = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++){

S += 1.0/(i*(i + 1));

}

System.out.println(S);

}

Код на языке C++ (второй вариант):

#include <iostream>
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    double S = 0;
    cin >> n;
    S = 1-(1/n); 
    cout << S;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

double S = 0;

cin >> n;

S = 1-(1/n);

cout << S;

return 0;

}

Код на языке Java (второй вариант):

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Main
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        int n;
        n=in.nextInt();
        double S = 0;
        S=1-(1/n);
        System.out.println(S);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Main

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

int n;

n=in.nextInt();

double S = 0;

S=1-(1/n);

System.out.println(S);

}

Решения:
Вариант первый (решение с циклом): Зададим цикл с счетчиком [latex]i[/latex] от 1 до заданного пользователем числа [latex]n.[/latex] Именно такое количество необходимых слагаемых [latex]\frac{1}{n(n + 1)}[/latex] будет найдено на каждом шаге цикла для последующего суммирования и нахождения искомой частичной суммы.

Вариант второй (решение без цикла): Ряд сводится к ряду: [latex](1 — \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} — \frac{1}{3}) + … + (\frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1})[/latex]. От сюда имеем: [latex]1 — \frac{1}{n + 1}.[/latex]

Ссылки:
Условие задачи (стр.248).
Первый вариант C++ .
Первый вариант Java .
Второй вариант C++ .
Второй вариант Java .

Related Images:

D2630. Сходимость ряда

13/12/2017 by Курьянов Павел

Задача
Исследовать сходимость ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln(n!)}{n^{a}}[/latex] и вычислить его сумму при заданной точности.

Входные данные
Натуральное число [latex]a[/latex]

Выходные данные
Сумма ряда если она существует.

Тесты

входящие данные	выходящие данные
2	-nan
3	0.578615
6	0.0146958
12	0.000172786
22	1.65259e-07

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int poww(int a,int n) {
  return (!n)?1:a*poww(a,n-1);
}
int main() {
    int a;
    cin>>a; //ряд будет сходящимся только при a>2
    double s=0;
    long double f=1;
    double e=10;
    for(int n=2;e>0.000001;n++){
    f*=n;
    s+=log(f)/poww(n,a);
    e=log(f)/poww(n,a);
    }
    cout<<s;
    return 0;
    
}

#include <cmath>

#include <iostream>

using namespace std;

int poww(int a,int n) {

return (!n)?1:a*poww(a,n-1);

}

int main() {

int a;

cin>>a; //ряд будет сходящимся только при a>2

double s=0;

long double f=1;

double e=10;

for(int n=2;e>0.000001;n++){

f*=n;

s+=log(f)/poww(n,a);

e=log(f)/poww(n,a);

}

cout<<s;

return 0;

}

Решение задачи
Исследуем ряд на сходимость при различных значениях переменных [latex]a[/latex]. При [latex]a\leq 1[/latex] случай тривиальный — ряд будет расходиться.
Рассчитаем его при [latex]a\geq 2[/latex]. Как видно при [latex]a=2[/latex] ряд продолжает расходиться, а при [latex]a>2[/latex] он начинает сходиться и становиться возможным вычислить его сумму.

Ссылки
Условие задачи (стр. 257)
Код на ideone

Related Images:

D2550. Сумма ряда

10/12/2017 by Сытников Дан

Условие задачи:
Найти сумму сходящегося ряда:
[latex]\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + … + \frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)} + …[/latex]

Входные данные:
Целое число [latex]k[/latex] — номер искомой частичной суммы.

Выходные данные:
Искомая частичная сумма.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	0.25
2	234	0.3328591749644379
3	10000	0.33332222259257893

Код на языке C++:

#include <iostream>
#include <iomanip> 
using namespace std;

int main() {
    int k;
    long double val = 0;
    cin >> k;
    for (int n = 1; n <= k; n++){
        val += 1.0/((3*n - 2)*(3*n + 1)); 
    }
    cout << setprecision(15) <<val;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main() {

int k;

long double val = 0;

cin >> k;

for (int n = 1; n <= k; n++){

val += 1.0/((3*n - 2)*(3*n + 1));

}

cout << setprecision(15) <<val;

return 0;

}

Код на языке Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
    public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
    {   
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int k;
        double val = 0;
        k = in.nextInt();
        for (int n = 1; n <= k; n++){
            val += 1.0/((3*n - 2)*(3*n + 1)); 
        }
        System.out.println(val);
    }
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

int k;

double val = 0;

k = in.nextInt();

for (int n = 1; n <= k; n++){

val += 1.0/((3*n - 2)*(3*n + 1));

}

System.out.println(val);

}

Решение задачи:
Используем цикл for от 1 до заданного пользователем [latex]k[/latex] номера частичной суммы, в котором будем суммировать слагаемые ряда вида: [latex]\frac{1}{(3n — 2)(3n + 1)},[/latex] где [latex]n = \overline{1,k}[/latex].

Условие задачи (стр.248)
Код задачи на C++: Ideone
Код задачи на Java: Ideone

Related Images:

D2580. Сходимость ряда

24/10/2016 by Иванна Ялымова

Задача. Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость ряда: [latex]\frac{1!}{1}+\frac{2!}{2^2}+\frac{3!}{3^3}+\ldots+\frac{n!}{n^n}+\ldots[/latex]

Входные данные

[latex]n[/latex] — количество взятых членов ряда.

Выходные данные

[latex]sum[/latex] — сумма.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
1	Сумма: 1 Числитель: 1 Знаменатель: 1
3	Сумма: 1.72222 Числитель: 6 Знаменатель: 9
20	Сумма: 1.87985 Числитель: 2.4329e+18 Знаменатель: 5.24288e+24

Код на C++

#include <iostream>
using namespace std;
long double pow(long double number, unsigned int power) {
    long double answer = 1;
    for (int i = 0; i < power; i++){
        answer *= number;
    }
    return answer;
}
int main() {
    long double sum = 0; unsigned int n = 0; long double numerator = 1, denominator = 1;
    //numerator - числитель, denominator - знаменатель, sum - сумма.
    cin >> n;
    for (unsigned int i = 1; i <= n; i++) {
        denominator = pow(i, i-1);
        sum += (1.0*numerator)/denominator; 
        numerator*=i;
    }
    cout << "Сумма: " << sum << endl;
    cout << "Числитель: " << numerator << endl;
    cout << "Знаменатель: " << denominator << endl;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

long double pow(long double number, unsigned int power) {

long double answer = 1;

for (int i = 0; i < power; i++){

answer *= number;

}

return answer;

}

int main() {

long double sum = 0; unsigned int n = 0; long double numerator = 1, denominator = 1;

//numerator - числитель, denominator - знаменатель, sum - сумма.

cin >> n;

for (unsigned int i = 1; i <= n; i++) {

denominator = pow(i, i-1);

sum += (1.0*numerator)/denominator;

numerator*=i;

}

cout << "Сумма: " << sum << endl;

cout << "Числитель: " << numerator << endl;

cout << "Знаменатель: " << denominator << endl;

return 0;

}

Код на Java

import java.io.PrintWriter;
import java.util.Scanner;

public class A {

    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

        double sum = 0;
        double numerator = 1, denominator = 1;
        int n = in.nextInt();

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            denominator = pow(i,i-1);
            sum += (1.0*numerator)/denominator;
            numerator*=i;
        }
        System.out.println("Сумма: " + sum);
        System.out.println("Числитель: " + numerator);
        System.out.println("Знаменатель: " + denominator);
    }

    public static double pow(double number, int power)
    {
        double answer = 1;
        for (int i = 0; i < power; i++)
        {
            answer *= number;
        }
        return answer;
    }
}

import java.io.PrintWriter;

import java.util.Scanner;

public class A {

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);

double sum = 0;

double numerator = 1, denominator = 1;

int n = in.nextInt();

for (int i = 1; i <= n; i++)

{

denominator = pow(i,i-1);

sum += (1.0*numerator)/denominator;

numerator*=i;

}

System.out.println("Сумма: " + sum);

System.out.println("Числитель: " + numerator);

System.out.println("Знаменатель: " + denominator);

}

public static double pow(double number, int power)

{

double answer = 1;

for (int i = 0; i < power; i++)

{

answer *= number;

}

return answer;

}

Решение

Используем цикл [latex]for[/latex]: высчитываем [latex]i[/latex]-тый слагаемый, и добавляем его в сумму. В цикле высчитываем числитель, добавляем в сумму [latex]i[/latex]-тый слагаемый и домножаем числитель [latex]i[/latex]-того слагаемого на значение счётчика.
Воспользуемся веб-приложением и посчитаем сумму ряда.

Ссылки

Условие задачи (стр.251)
Решение задачи на сайте Ideone.com (C++)
Решение задачи на сайте Ideone.com (Java)
Сходимости ряда

Related Images:

MLoop19

28/11/2015 by Антон Локтев

Условие задачи

Вычислите с заданной точностью [latex]\varepsilon[/latex]сумму ряда [latex]\sum\limits_{i=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{i+1}}{ie^i}} [/latex].

Задачу также можно найти здесь.

Тесты

№	Точность [latex]\varepsilon[/latex]	Сумма ряда
1	0.1	0.637464
2	0.001	0.685288
3	0.0001	0.685782
4	0.000001	0.685848

Алгоритм решения

Поскольку в данной задаче использование рекуррентной формулы приведет только к накоплению погрешности, будем считать каждое слагаемое суммы непосредственно, пока не достигнем заданной точности. Для этого зададим начальное значение переменной exponent = M_E для [latex]i=1[/latex] , а также для первого члена ряда а = sqrt(2)/ exponent. Тогда для каждого значения счетчика нам нужного всего лишь накапливать степень экспоненты и вычислять текущий член ряда по формуле [latex]\frac{\sqrt{i+1}}{i\cdot{e}^{i}} [/latex] , накапливая сумму, пока не достигнем заданной точности эпсилон.

Проверить правильность найденной суммы можно с помощью сайта WolframAlpha.

Код программы

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main(){
	double exponent = M_E, a = sqrt(2)/exponent, sum = 0, E;
	cin >> E; 
	for (int i = 1; (a = sqrt(i+1)/(i * exponent)) >= E; i++){
		exponent *= M_E;
		sum += a;
	}
	cout << sum;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double exponent = M_E, a = sqrt(2)/exponent, sum = 0, E;

cin >> E;

for (int i = 1; (a = sqrt(i+1)/(i * exponent)) >= E; i++){

exponent *= M_E;

sum += a;

}

cout << sum;

return 0;

}

Код программы на сайте ideone.

Related Images:

MLoop 20

01/11/2015 by Кудымовская Вика

Задача. Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{i}{3^i}}[/latex].

Входные данные

Точность [latex]\varepsilon[/latex].

Выходные данные

Вывести значение суммы ряда.

Также условие задачи можно посмотреть здесь.

Тестирование

№	Входные данные	Выходные данные
1.	0.1	0.666667
2.	0.01	0.736626
3.	0.001	0.749276
4.	0.0001	0.749903
5.	0.0000001	0.75

Реализация (первый вариант кода)

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	int i;
	double E; // переменная для обозначения точности
	double a = 1/3.0, sum = 1/3.0;
  	//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда
 	cin >> E;
 	/*a *= (i+1)/(3*i) - формула для вычисления очередного члена ряда*/
 	for (i = 1; fabs(a *= (double)(i+1)/(3*i)) >= E; i++)
 	{
    	sum +=a;
 	}
 	cout << sum << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int i;

double E; // переменная для обозначения точности

double a = 1/3.0, sum = 1/3.0;

//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда

cin >> E;

/*a *= (i+1)/(3*i) - формула для вычисления очередного члена ряда*/

for (i = 1; fabs(a *= (double)(i+1)/(3*i)) >= E; i++)

{

sum +=a;

}

cout << sum << endl;

return 0;

}

Реализация (второй вариант кода)

#include <iostream>
#include <cmath> 
using namespace std;

double arr(double sum, double a, double E, int i)
{
	if (fabs(a *= (double)(i + 1) * pow(3 * i, -1)) < E)
	{
		return sum;
	}
	else
	{
		i++;
		sum += a;
		return arr(sum, a, E, i);
	}
}
int main()
{
	int i=1;
	double E; // переменная для обозначения точности
	double a = 1 / 3.0, sum = 1 / 3.0;
	//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда
	cin >> E;
	cout << arr(sum, a, E, i) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

double arr(double sum, double a, double E, int i)

{

if (fabs(a *= (double)(i + 1) * pow(3 * i, -1)) < E)

{

return sum;

}

else

{

i++;

sum += a;

return arr(sum, a, E, i);

}

int main()

{

int i=1;

double E; // переменная для обозначения точности

double a = 1 / 3.0, sum = 1 / 3.0;

//присваиваем переменным a(член ряда) и sum значение первого члена ряда

cin >> E;

cout << arr(sum, a, E, i) << endl;

system("pause");

return 0;

}

Алгоритм решения

Выводим формулу для вычисления значения каждого последующего члена ряда: [latex]a_{n+1}=a_n\cdot \frac{i+1}{3^{i+1}}\cdot \frac{3^i}{i}=a_n\cdot \frac{i+1}{3i}[/latex].
Вычисляем значение первого члена ряда: [latex]a[/latex]: [latex]a=\frac{i}{3^i}=\frac{1}{3}[/latex].
Присваиваем [latex]sum[/latex] значение первого члена ряда.
Абсолютное значение каждого последующего члена ряда сравниваем с [latex]\varepsilon[/latex]: при условии, что [latex]|a_{n+1}|\geq\varepsilon[/latex], накапливается сумма (значение суммы увеличивается на очередной член ряда [latex]a_{n+1}[/latex]). Если же [latex]|a_{n+1}|<\varepsilon[/latex], выводится значение суммы ряда.

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (первый вариант кода).

Для запроса на выполнение следует перейти по ссылке (второй вариант кода).

Related Images:

MLoop22

31/10/2015 by Молоканов Юрий

Условие

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac {(-1)^i}{i^2}[/latex].

Тестирование

№	Входные данные	Выходные данные
1	1	-1
2	0.25	-0.75
3	0.1	-0.861111
4	0.01	-0.827962
5	0.0000001	-0.822467

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
	double a = -1, sum = -1, E;	// Объявляем переменные для члена ряда, суммы и точности, присваиваем первым двум значение первого члена ряда 
	cin >> E;
	for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++)	// Повторяем цикл, пока значение очередного члена ряда по модулю не меньше заданной точности
		sum += a;	// Накапливаем сумму
	cout << sum;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double a = -1, sum = -1, E; // Объявляем переменные для члена ряда, суммы и точности, присваиваем первым двум значение первого члена ряда

cin >> E;

for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++) // Повторяем цикл, пока значение очередного члена ряда по модулю не меньше заданной точности

sum += a; // Накапливаем сумму

cout << sum;

return 0;

}

Решение

Вычисление суммы ряда с точностью [latex]\varepsilon[/latex] представляет собой процесс нахождения членов ряда и их суммирования до тех пор, пока значение очередного члена по модулю не окажется меньше указанной точности.

Прежде всего найдем зависимость [latex]a_{n+1}[/latex] от [latex]a_n[/latex] и выведем рекуррентную формулу для очередного члена:

[latex]a_{n+1} = a_n \cdot \frac {a_{n+1}}{a_n} = a_n \cdot \frac {\frac {(-1)^{i+1}}{(i+1)^2}}{\frac {(-1)^i}{i^2}} = a_n \cdot -(\frac {i}{i+1})^2[/latex]

Для вычислений мы используем рекуррентное соотношение, поэтому до выполнения цикла, накапливающего сумму, переменным члена ряда a и суммы sum потребуется присвоить значение [latex]a_1 = \frac {(-1)^1}{1^2} = -1[/latex]:

double a = -1, sum = -1, E;

1	double a = -1, sum = -1, E;

Теперь опишем, каким образом будет работать цикл:

Цикл будет начинаться со счетчиком [latex]i = 1[/latex], который будет инкрементироваться в конце каждой итерации.
Цикл будет выполняться до тех пор, пока абсолютное значение очередного члена ряда [latex]a_i[/latex] будет не меньше, чем заданная точность [latex]\varepsilon[/latex].
В каждой итерации цикла значение суммы будет увеличиваться на [latex]a_i[/latex].

Реализуем описанный алгоритм с помощью цикла for. Чтобы сократить количество операций в теле цикла до одной, вычислять очередной член ряда будем при проверке выполнения условия продолжения. При присвоении переменной a нового значения воспользуемся кастингом (double) ; в противном случае уже второй член ряда будет обнуляться из-за умножения на дробь с целой частью [latex]0[/latex]:

for(int i = 1; abs(a *= (double)(-i*i)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++)
	sum += a;

1 2	for(int i = 1; abs(a = (double)(-ii)/(i+1)/(i+1)) >= E; i++) sum += a;

Наконец, выведем требуемое значение — сумму ряда:

cout << sum;

1	cout << sum;

Ссылки

Код программы на Ideone.com;

Список задач на циклы.

Related Images:

MLoop 23

31/10/2015 by Андрей Яроцкий

Задача:

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon[/latex] сумму ряда [latex]{\sum_{i=1}^\infty}\frac{(-1)^i}{i!}[/latex].

Входные данные: Точность [latex]\varepsilon[/latex].

Выходные данные: Сумма ряда [latex]{\sum_{i=1}^\infty}\frac{(-1)^i}{i!}[/latex] с точностью [latex]\varepsilon[/latex].

Тесты:

0.1

0.01

0.001

0.0001

№	Точность [latex]\varepsilon[/latex]	Сумма ряда [latex]{\sum_{i=1}^\infty}\frac{(-1)^i}{i!}[/latex]
1	0.1	0.375
2	0.01	0.366667
3	0.001	0.367857
4	0.0001	0.367882

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main() {
   double E; // Точность
   cin >> E;
   double x = 1;// ((-1)^0)/0! = 1 : первое слагаемое
   double sum = 1;// При любой точности сумма начинается с первого члена
   for(int i = 1; abs(x) > E; i++){ // Цикл подсчета суммы пока слагаемое больше точности
      x = -x/i; // С каждым действием знак меняется на противоположный
      sum += x;
   }
   cout << sum;
   return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

double E; // Точность

cin >> E;

double x = 1;// ((-1)^0)/0! = 1 : первое слагаемое

double sum = 1;// При любой точности сумма начинается с первого члена

for(int i = 1; abs(x) > E; i++){ // Цикл подсчета суммы пока слагаемое больше точности

x = -x/i; // С каждым действием знак меняется на противоположный

sum += x;

}

cout << sum;

return 0;

}

Алгоритм решения:

В условии нам дана формула суммы ряда [latex]{\sum_{i=1}^\infty}\frac{(-1)^i}{i!}[/latex] с точностью [latex]\varepsilon[/latex].

Для начала, программа читает входные данные и присваивает их переменной [latex]\varepsilon[/latex](точность). Также вводим переменную [latex]sum[/latex], равную первому члену (на случай если введенная точность не позволит циклу начаться), накапливающую сумму ряда.

Далее следует цикл [latex]for[/latex] считающий сумму членов [latex]x[/latex] пока не достигнет точности [latex]\varepsilon[/latex]. Цикл прибавляет к [latex]sum[/latex] слагаемое, деленное на [latex]i[/latex] и с противоположным знаком. По окончании цикла выводим значение суммы [latex]sum[/latex] .

Ссылка на условие задачи

Ссылка на компилятор с кодом

Related Images:

MLoop 24

31/10/2015 by Настя Филипчук

Условие задачи

Вычислите с точностью [latex]\varepsilon [/latex] сумму ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i}\cdot \frac{2^{i}}{\left ( 2\cdot i+1 \right )!} [/latex].

Алгоритм решения

В условии нужно найти сумму ряда,задан его общий член. Благодаря этому можно найти формулу, согласно которой каждый последующий член ряда выражается как предыдущий, умноженный на выражение: [latex]\frac{-2}{2 \cdot k + 3}[/latex].
Вычисляется первый член ряда, предполагается, что он и будет равен сумме ряда, и этот член ряда сравнивается по модулю с заданной точностью [latex]\varepsilon [/latex].
В случае, если требуемая точность не достигнута — подсчитывается следующий член ряда, он прибавляется к сумме и сравнивается по модулю с заданной точностью.
Пункт 3 повторяется до тех пор, пока заданная точность не достигнута.

Код

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double sum, eps, prev,next,dif;
	int i;
	eps=1e-10;
	prev=1; next=-1/3.0;
	i=2; 
	sum=1;
	dif=abs(next-prev);
	while (dif>eps){
		sum=sum+next;
		prev=next;
		next=-prev/((2*i+1)*i);
		i=i+1;
		dif=abs(prev-next);
	}
 	cout << "sum="<< sum << "\n" << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double sum, eps, prev,next,dif;

int i;

eps=1e-10;

prev=1; next=-1/3.0;

i=2;

sum=1;

dif=abs(next-prev);

while (dif>eps){

sum=sum+next;

prev=next;

next=-prev/((2*i+1)*i);

i=i+1;

dif=abs(prev-next);

}

cout << "sum="<< sum << "\n" << endl;

return 0;

}

Исправленный вариант

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double sum, eps, A;
	cin >> eps;
	int i=1;
	A=-1/3.0;
	sum=A;
	while (abs(A)>eps){
		i++;
		A=A*(-2)/(2*i+3);
		sum+=A;
	}
 	cout << "sum="<< sum << endl;
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double sum, eps, A;

cin >> eps;

int i=1;

A=-1/3.0;

sum=A;

while (abs(A)>eps){

i++;

A=A*(-2)/(2*i+3);

sum+=A;

}

cout << "sum="<< sum << endl;

return 0;

}

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
	double long sum, eps, A;
	cin >> eps;
	int i=0;
	A=-1/3.0;
	sum=A;
	while (abs(A)>=eps){
		i++;
		A=A*(-2)/((2*i+2)*(2*i+3));
		sum+=A;
	}
 	cout << "sum="<< sum << endl; 
 	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

int main(){

double long sum, eps, A;

cin >> eps;

int i=0;

A=-1/3.0;

sum=A;

while (abs(A)>=eps){

i++;

A=A*(-2)/((2*i+2)*(2*i+3));

sum+=A;

}

cout << "sum="<< sum << endl;

return 0;

}

Тесты

Входные данные (точность [latex]\epsilon [/latex])	Выходные данные (сумма ряда [latex]\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{i}\cdot \frac{2^{i}}{2\cdot i+1}[/latex])
e=1e-10	sum=-0.301544
e=0.0001	sum=-0.301543
e=0.001	sum=-0.301543
e=0.01	sum=-0.301587
e=0.1	sum=-0.3

Ссылки

условие задачи;
решение на ideone;
исправленное решение на ideone;
подсчёт суммы ряда в WolframAlpha;