e-olymp 1509. Раздел королевства.

25/12/2018 by Виктор Иванов

Задача

Король страны Геометрии в заботах. У него есть три сына, которые постоянно ссорятся. Король применял разные методы примерения, но все напрасно. И это его очень беспокоило.

«А что если разделить королевство?» подумал король. Он пригласил советников и описал свой план. Король открыл карту.

Королевство имеет форму треугольника с вершинами [latex]A, B, C[/latex]. Король провел линию от [latex]B[/latex] к [latex]E[/latex] ([latex]E[/latex] — произвольная точка на отрезке [latex]AC[/latex]) и линию от [latex]C[/latex] к [latex]F [/latex]([latex]F[/latex] — произвольная точка на отрезке [latex]AB[/latex]). Пересечение [latex]BE[/latex] и [latex]CF[/latex] обозначено через [latex]X[/latex].

Теперь образовалось четыре части — [latex]a[/latex] (треугольник [latex]BFX[/latex]), [latex]b[/latex] (треугольник [latex]BCX[/latex]), [latex]c[/latex] (треугольник [latex]CEX[/latex]) и [latex]d[/latex] (четырехугольник [latex]AEXF[/latex]). Король решил отдать области[latex] a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex] трем сыновьям. А область [latex]d[/latex] станет новым королевством.

Вы — главный советник. Король сообщает Вам значения [latex]a, b, c[/latex]. Вам необходимо найти значение [latex]d[/latex]. Если его найти невозможно, то сообщить об этом.

Входные данные

Состоит из не более чем [latex]1000[/latex] тестов. Каждый тест содержит три неотрицательных действительных числа [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex] (разделенных пробелом). Входные данные заканчиваются тестом у которого [latex]a = -1[/latex] и он не обрабатывается.

Выходные данные

Для каждого теста вывести его номер, начиная с [latex]1[/latex]. В следующей строке вывести [latex]d[/latex] (величина области королевства после раздела) округленное до [latex]4[/latex] десятичных знаков или ‘Poor King!’ (без кавычек) если значение [latex]d[/latex] определить невозможно. Формат выходных данных показан в примере.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	1 2 1	Set 1: 2.0000
2	2 4 2	Set 2: 4.0000
3	1 3 3	Set 3: 5.0000
4	-1 0 0

Код программы

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

int main () {

double a, b, c, d, d1, d2;

int l = 0;

while (cin >> a >> b >> c && a!= -1.0) {

d1 = a * c / b;

l++;

if (b > d1) {

d2 = (c + d1) * (a + d1) / (b - d1);

cout << fixed << setprecision(4) << "Set" << " " << l << ':' << endl;

cout << d1 + d2<< endl;

}

else cout << "Set" << " " << l << ':' << endl << "Poor King!" << endl;

}

return 0;

}

Решение задачи

Для решения задачи соединим точки [latex]F[/latex] и [latex]E[/latex] линией. Получили два треугольника: [latex]d1[/latex] и [latex]d2[/latex]. Искомую площадь [latex]d[/latex] будем искать как сумму площадей [latex]d1[/latex] и [latex]d2[/latex]. Треугольники [latex]BFO[/latex] и [latex]EFO[/latex] имеют общее основание [latex]FO[/latex]. Следовательно их площади [latex]d1[/latex] и [latex]a[/latex] относятся как высоты, опущенные из вершин [latex]E[/latex] и [latex]B[/latex] на прямую [latex]FO[/latex]. Аналогично треугольники [latex]BCO[/latex] и [latex]ECO[/latex] имеют общее основание [latex]OF[/latex]. Значит их площади [latex]c[/latex] и [latex]b[/latex] относятся как высоты, опущенные из вершин [latex]E[/latex] и [latex]B[/latex] на прямую [latex]CO[/latex]. То есть $\frac{d_1}{a}=\frac{c}{b}$. Отсюда $d_1=\frac{ac}{b}$. Теперь рассмотрим треугольники [latex]CAF[/latex] и [latex]CBF[/latex] с основаниями [latex]AF[/latex] и [latex]BF[/latex]. Они имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины [latex]С[/latex] на прямую [latex]AB[/latex]. Следовательно площади этих треугольников относятся как длины сторон [latex]AF[/latex] и [latex]BF[/latex]. Аналогично треугольники [latex]EAF[/latex] и [latex]EBF[/latex] имеют основания [latex]AF[/latex] и [latex]BF[/latex]. Они имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины [latex]E[/latex] на прямую [latex]AB[/latex]. Площади этих треугольников относятся как длины сторон [latex]AF[/latex] и [latex]BF[/latex]. Тогда $$\frac{AF}{BF}=\frac{S_{\blacktriangle} CAF}{S\blacktriangle CBF}=\frac{c+d_1+d_2}{a+b}$$. $$\frac{AF}{BF}=\frac{S\blacktriangle EAF}{S\blacktriangle EBF}=\frac{d_2}{a+d_1}$$. Следовательно $\frac{c+d_1+d_2}{a+b}=\frac{d_2}{a+d_1}$. Поскольку [latex]d1[/latex] уже найдено, то имеем равенство с одним неизвестным [latex]d2[/latex] : $$d_2=\frac{(c+d_1)(a+d_1)}{b-d_1}$$. Если [latex]b \leqslant d1[/latex], то решения не существует.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код программы на ideone

Виктор Иванов

e-olymp 774. Торт

22/12/2018 by Виктор Иванов

Задача

После окончания второго тура олимпиады по программированию участники олимпиады решили отметить это событие. Для этой цели был заказан один большой торт прямоугольной формы. При этом стол, вокруг которого собрались участники был круглым. Естественно, у них возник вопрос, поместиться ли прямоугольный торт на круглом столе так, чтобы ни одна часть торта не выходила за пределы стола. Вам необходимо дать ответ на этот вопрос, зная размеры торта и радиус стола.

Входные данные

Содержит три натуральных числа: радиус стола [latex]r \left(1\leqslant r\leqslant 1000 \right)[/latex], ширину [latex]w[/latex] и длину [latex]l[/latex] торта [latex] \left(1\leqslant w \leqslant l \leqslant 1000\right)[/latex].

Выходные данные

Вывести слово [latex]YES[/latex], если торт помещается на стол, и слово [latex]NO[/latex] в противном случае.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	38 40 60	YES
2	35 20 70	NO
3	50 60 80	YES
4	30 60 90	NO

Код программы

с ветвлением:

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int r, w, l;

cin >> r >> w >> l;

cout << (w * w + l * l <= 4 * r * r ? "YES" : "NO");

return 0;

}

без ветвления:

#include <iostream>

using namespace std;

bool myBool(int x, int y, int z) {

return(x * x + y * y <= 4 * z * z);

}

int main() {

int r, w, l;

cin >> r >> w >> l;

myBool(w, l, r) && cout << "YES";

!myBool(w, l, r) && cout << "NO";

return 0;

}

Решение задачи

Вписанный в окружность прямоугольник

Для того, чтобы узнать, помещается торт на столе или нет, необходимо найти диагональ прямоугольного торта. Зная длину и ширину прямоугольника, находим диагональ по теореме Пифагора. Если она равна или меньше диаметра стола $AB^2$ + $AD^2$ <= 4$OD^2$, значит торт помещается, и пишем "YES". Если диагональ больше диаметра стола, пишем "NO".

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код программы с ветвлением на ideone
Код программы без ветвления на ideone

Виктор Иванов

e-olymp 7944. Площадь прямоугольника

22/12/2018 by Лиза Севастьянова

Задача

Найдите площадь прямоугольника.

Входные данные

Целочисленные стороны прямоугольника $a$ и $b$ ($1 \leq a$, $b \leq 1000$).

Выходные данные

Выведите площадь прямоугольника.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	3 4	12
2	5 12	60
3	1 1	1
4	1000 1000	1000000

Решение

Для нахождение площади прямоугольника воспользуемся формулой $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — стороны данного прямоугольника, а $S$ — площадь прямоугольника.

Код программы

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int a;

int b;

cin >> a;

cin >> b;

cout << a*b;

}

Ссылки

Лиза Севастьянова

e-olymp 7943. Периметр прямоугольника

15/12/2018 by Александр Колаев

Задача:

Найдите периметр прямоугольника.

Входные данные:

Целочисленные стороны прямоугольника [latex]a[/latex] и [latex]b\left(1\leq a, b\leq 1000\right)[/latex]

Выходные данные:

Выведите периметр прямоугольника.

Тесты:

Входные данные	Выходные данные
1 1	4
1000 1000	4000
10 20	60
12 13	50
176 37	426

Решение:

#include <iostream>;

using namespace std;

int main() {

int a, b;

cin >> a >> b;

cout << (a + b) * 2;

return 0;

}

Объяснение: Поскольку стороны прямоугольника, используемые в задаче, целочисленные, и каждое из них меньше [latex]1000[/latex] то переменные создаём типа int. Для решения этой задачи воспользуемся формулой нахождения периметра прямоугольника: [latex] (a+b) \cdot 2 [/latex]

e-olymp
Запустить код на выполнение можно здесь

Александр Колаев

e-olymp 8357. Точка в многоугольнике

05/12/2018 by Владислав Шеванов

Задача

Как известно, простой многоугольник — это фигура, состоящая из не пересекающихся отрезков («сторон»), соединённых попарно с образованием замкнутого пути. По заданному простому многоугольнику и точке требуется определить, лежит ли эта точка внутри или на границе этого многоугольника или вне его.

Входные данные

В первой строке заданы три числа: [latex]n (3 \le n \le 10^5)[/latex] и координаты точки. Далее в $n$ строках заданы по паре чисел — координаты очередной вершины простого многоугольника в порядке обхода по или против часовой стрелки.

Выходные данные

Вывести строку «YES», если заданная точка содержится в приведённом многоугольнике или на его границе, и «NO» в противном случае.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 0 0 1 0 0 1 1 1	NO
4 3 2 0 0 1 5 5 5 6 0	YES
3 5 6 2 3 8 0 -1 -3	NO
4 -2 3 0 0 5 0 0 6 3 3	NO
5 3 1 9 2 3 0 -2 -4 -4 0 -4 5	YES

Код программы

#include <iostream>

using namespace std;

struct point {

int x;

int y;

};

int f (point *p, int N, int x, int y) {

int i1, i2, n, S, S1, S2, S3, flag;

for (n = 0; n < N; n++) {

flag = 0;

i1 = n < N-1 ? n + 1 : 0;

while (flag == 0) {

i2 = i1 + 1;

if (i2 >= N)

i2 = 0;

if (i2 == (n < N-1 ? n + 1 : 0))

break;

S = abs (p[i1].x * (p[i2].y - p[n].y) +

p[i2].x * (p[n].y - p[i1].y) +

p[n].x * (p[i1].y - p[i2].y));

S1 = abs (p[i1].x * (p[i2].y - y) +

p[i2].x * (y - p[i1].y) +

x * (p[i1].y - p[i2].y));

S2 = abs (p[n ].x * (p[i2].y - y) +

p[i2].x * (y - p[n].y) +

x * (p[n].y - p[i2].y));

S3 = abs (p[i1].x * (p[n].y - y) +

p[n].x * (y - p[i1].y) +

x * (p[i1].y - p[n].y));

if (S == S1 + S2 + S3) {

flag = 1;

break;

}

i1++;

if (i1 >= N)

i1 = 0;

}

if (flag == 0)

break;

}

return flag;

}

int main() {

int n, x, y;

cin >> n >> x >> y;

point* p = new point[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> p[i].x >> p[i].y;

cout << (f(p, n, x, y) ? "YES" : "NO");

return 0;

}

Решение

Задача сводится к поиску площадей. Считаю площадь треугольника, образующегося тремя последовательными точками многоугольника. Далее считаю площади треугольников которые заданная точка образует с каждой парой точек из этой пары. Если площадь первого треугольника равна сумме площадей этих, то точка находится в треугольнике, а следовательно и в многоугольнике. Если нет перехожу к следующей тройке точек. Если точка не принадлежит ни одному треугольнику, то точка находится вне многоугольника.

Ссылки

Владислав Шеванов

e-olymp 2501. Круговая диаграмма

04/11/2018 by Александр Дьяченко

Задача

Для графического изображения соотношения между различного рода величинами во многих областях человеческой деятельности используются различные графики и диаграммы. Одним из типов диаграмм является так называемая круговая диаграмма.

Исходными данными для этой диаграммы является набор чисел $a_1,\ldots, a_n, а$ диаграмма представляет собой круг радиуса $r$, разделенный на секторы. При этом каждому из чисел соответствует ровно один сектор, площадь которого пропорциональна этому числу. Общая площадь секторов равна площади круга.

Ваша задача состоит в том, чтобы по набору чисел и по радиусу круга определить площадь каждого из секторов круговой диаграммы.

Входные данные

Первая строка содержит два целых числа $n$ и $r \space (1 \leq n, r \leq 100)$. Вторая строка содержит $n$ целых чисел $a_1,\ldots, a_n \space (1 \leq a_i \leq 100$ для всех $i$ от $1$ до $n)$.

Выходные данные

Выведите $n$ вещественных чисел — площади секторов, соответствующих числам $a_1,\ldots, a_n$. Выводите каждое из чисел в отдельной строке.

Все эти числа должны быть выведены с точностью не хуже $10^{-6}$.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3 2 1 4 3	1.570796327 6.283185307 4.712388980
2 3 3 8	7.711181968 20.563151914
4 5 2 5 9 1	9.239978393 23.099945982 41.579902768 4.619989196
5 9 4 16 8 20 11	17.252135928 69.008543713 34.504271856 86.260679641 47.443373803

Код программы

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

using namespace std;

int main() {

int n, r, sum = 0;

double S;

cin >> n >> r;

int *x = new int[n];

for (int i = 0; i < n; i++)

cin >> x[i];

for (int i = 0; i < n; i++)

sum += x[i];

S = M_PI * r * r;

for (int i = 0; i < n; i++)

cout << fixed << setprecision(9) << (S / sum) * x[i] << endl;

return 0;

}

Решение

Найдем сперва сумму всех чисел $a_i$ и площадь диаграммы (по известной формуле площади круга). Теперь можем легко посчитать площади каждого из секторов нашей диаграммы, разделив площадь последней на ранее найденную сумму и умножив их частное на соответствующее число $a_i$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone

Александр Дьяченко

e-olymp 8372. Составить треугольник

28/09/2018 by Алина Гук

Задача взята с сайта e-olymp

Задача

По заданным длинам трех отрезков определить, можно ли из них составить невырожденный треугольник. Треугольник называется невырожденным, если его площадь больше 0.