e-olymp 7095. Факторіали

13/12/2020 by Федяєва Євгенія

Задача

Президент Першого національного Банку майор Томаса Б. Кiнгмена кожну ніч перекладає вміст сейфів, у яких клієнти банку зберігають свої коштовності. Грабіжникам це також відомо, і тому вони орендували один із сейфів у цьому банку й чекають, поки президент перекладе в їхній сейф щось цінне. Таким чином до їхніх рук потрапила скринька з коштовностями самого майора! Тепер у грабіжників є всього лиш кілька годин для того, щоб відкрити кодовий замок з трьох цифр, забрати цінності й повернути скриньку назад, щоб ніхто навіть не дізнався, що пограбування взагалі відбулося.

Знаючи пристасть майора до великих чисел, грабіжники переконані, що кодом є три послідовні цифри числа $N!$, що записують безпосередньо перед нулями наприкінці запису числа $N!$. Наприклад:

при $N$ = $7$ кодом буде $504$, бо $7!$ = $5040$;
при $N$ = $17$ кодом буде $096$, бо $17!$ = $355687428096000$.

За даним натуральним числом $N$ знайти три послідовні цифри числа $N!$, що записують безпосередньо перед нулями наприкінці запису числа $N!$.

Вхідні дані

Вхідний файл містить єдине ціле число $N$. $(7 \leqslant N \leqslant 1000000000)$.

Вихідні дані

Вихідний файл має містити рівно три цифри — шуканий код.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	7	504
2	17	096
3	50	512
4	1000000000	144

Код

#include <iostream>

#define COEF 10000000
#define TEN 10

using namespace std;

unsigned int arr[] = { 1, 94194688,80754176,28792576,93638144,44194688,16269824,94550272,61946112,68933632,
                       68754176,19323648,22612992,36351232,57997312,66792576,2167808,95748096,88043776,
                       37690112,65638144,99247872,80831232,42968832,38960896,2194688,36401664,29433088,
                       21091328,35679232,40269824,3200512,39416576,62174976,23727104,49750272,52626176,
                       72337664,68916224,93513984,25146112,14722816,60257024,2170112,13989632,28933632,
                       91983872,29619968,23259904,52859904,2354176,61171456,14485248,81225984,93129472,
                       98123648,42294528,83940096,91339008,90945024,77812992,83786752,30308352,33122816,
                       709376,45551232,13495552,4053504,28486912,65094912,93197312,79194112,80894208,
                       48729344,89670656,26832576,59147776,51826688,14217984,72698112,10487808,29000448,
                       21455616,72560128,94383616,23588096,83462144,14917632,85698816,11810304,3083776,
                       84299264,11034368,6525952,27101696,68170112,92235008,45980416,15386112,44244224,
                       3398144 };
int main()
{
    int N;
    unsigned long long factorial = 1;
    cin >> N;
    int idx = N/COEF;
    factorial = arr[idx];
    int start = !N%COEF ? idx*COEF : idx*COEF + 1;
    if (N % COEF != 0)
    {
        for(int i = start; i <= N; i++)
        {
            factorial *= i;
            while(factorial % TEN == 0) factorial /= TEN;
            factorial %= COEF;
        }
    }
    factorial %= TEN*TEN*TEN;
    cout << factorial/(TEN*TEN) << (factorial/TEN)%TEN << factorial%TEN;
    return  0;
}

#include <iostream>

#define COEF 10000000

#define TEN 10

using namespace std;

unsigned int arr[] = { 1, 94194688,80754176,28792576,93638144,44194688,16269824,94550272,61946112,68933632,

68754176,19323648,22612992,36351232,57997312,66792576,2167808,95748096,88043776,

37690112,65638144,99247872,80831232,42968832,38960896,2194688,36401664,29433088,

21091328,35679232,40269824,3200512,39416576,62174976,23727104,49750272,52626176,

72337664,68916224,93513984,25146112,14722816,60257024,2170112,13989632,28933632,

91983872,29619968,23259904,52859904,2354176,61171456,14485248,81225984,93129472,

98123648,42294528,83940096,91339008,90945024,77812992,83786752,30308352,33122816,

709376,45551232,13495552,4053504,28486912,65094912,93197312,79194112,80894208,

48729344,89670656,26832576,59147776,51826688,14217984,72698112,10487808,29000448,

21455616,72560128,94383616,23588096,83462144,14917632,85698816,11810304,3083776,

84299264,11034368,6525952,27101696,68170112,92235008,45980416,15386112,44244224,

3398144 };

int main()

{

int N;

unsigned long long factorial = 1;

cin >> N;

int idx = N/COEF;

factorial = arr[idx];

int start = !N%COEF ? idx*COEF : idx*COEF + 1;

if (N % COEF != 0)

{

for(int i = start; i <= N; i++)

{

factorial *= i;

while(factorial % TEN == 0) factorial /= TEN;

factorial %= COEF;

}

factorial %= TEN*TEN*TEN;

cout << factorial/(TEN*TEN) << (factorial/TEN)%TEN << factorial%TEN;

return 0;

}

Решение

Поскольку процесс расчёта факториала больших чисел занимает много времени, его можно ускорить использованием массива факториалов некоторых чисел. Полное значение факториала не нужно, поэтому массив содержит последние $8$ ненулевых цифр значений факториалов чисел, кратных $10000000$, которые можно получить с помощью следующего кода:

#include <iostream>
#define TEN 10
using namespace std;
int main()
{
    int N = 1000000000, count = 1;
    unsigned long long factorial = 1;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        factorial *= i;
        while(factorial%TEN == 0) factorial /= TEN;
        factorial %= 100000000;
        if (i % 10000000 == 0) {cout << factorial << ","; count++;}
        if (count == TEN) {cout << endl; count = 1;}
    }
    return  0;
}

#include <iostream>

#define TEN 10

using namespace std;

int main()

{

int N = 1000000000, count = 1;

unsigned long long factorial = 1;

for(int i = 1; i <= N; i++)

{

factorial *= i;

while(factorial%TEN == 0) factorial /= TEN;

factorial %= 100000000;

if (i % 10000000 == 0) {cout << factorial << ","; count++;}

if (count == TEN) {cout << endl; count = 1;}

}

return 0;

}

Если на входе — число $N$, меньшее $10000000$, его факториал рассчитывается обычным циклом, попутно отбрасывая ненужные цифры высших разрядов. В конце выводятся искомые последние три цифры факториала числа $N$. Если на входе — число $N$, большее $10000000$, выбирается соответствующее значение из массива по индексу $N/10000000$, и далее с помощью цикла считается произведение оставшихся чисел из $N!$. С уменьшением кратности чисел, факториалы которых содержатся в массиве, увеличивается скорость выполнения программы.

Ссылки

Код на ideone
Задача на e-olymp
Засчитанное решение на e-olymp

Related Images:

e-olymp 123. Количество нулей у факториала

18/01/2020 by Владислав Гринькив

Задача

Найти количество нулей в конце записи факториала числа $n$.

Входные данные

Одно число $n$ $(1 \leqslant n \leqslant2\cdot10^9)$

Выходные данные

Количество нулей в конце записи $n!$

Тесты

№	ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ	ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1	1	0
2	7	1
3	12	2
4	100	24
5	306	75
6	5000	1249

Код

#include <iostream> 
using namespace std;
int main() { 
    long long n, m = 5, s = 0; 
    cin >> n; 
    while(n >= m){
        s = s + (n / m); 
        m = m * 5;
    }
    cout << s;
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

long long n, m = 5, s = 0;

cin >> n;

while(n >= m){

s = s + (n / m);

m = m * 5;

}

cout << s;

return 0;

}

Решение

Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 — других вариантов нет. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, …, $n$ — всего их насчитывается $\frac{n}{5}$. Два множителя содержат числа 25, 50, …, $n$ всего их $\frac{n}{5^2}$.Три множителя содержат $\frac{n}{5^3}$.Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество:

$\lfloor\frac{n}{5}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5^3}\rfloor+\ldots+\lfloor\frac{n}{5^k}\rfloor$

Суммирование происходит до тех пор, пока очередное слагаемое не станет равным 0.

Ссылки

Формула разложения на простые множители

Условие задачи на e-olymp

Код на Ideone

Засчитанное решение на e-olymp

Related Images:

e-olymp 3873. Счастливый номер

19/12/2019 by Валентин Цушко

Условие

Подавляющее большинство людей стараются найти закономерности, которые приносят удачу! Зуб акулы в ухе папуаса — к удачной рыбной ловле. Черная кошка, которая передумала перебегать вам дорогу — к отмене контрольной. Любимая игрушка у компьютера — к удаче в командном чемпионате по программированию.

Для большинства студентов несомненным является тот факт, что номер трамвайного билетика приносит удачу. А уж если такой билетик достался перед экзаменом, пятерка обеспечена! Главное тут — четко понимать, что такое счастливый билет. И почему, спрашивается, многие считают, что только номер автобусного или троллейбусного билета может приносить удачу своему владельцу?! Чем хуже, скажем, номер паспорта или номер кассового чека в гастрономе? Главное, чтобы номер был счастливым!

Витька всегда считал, что удачу приносят такие номера, в записи которых цифры идут в неубывающем порядке. Например, счастливыми являются номера $11111$ или $12345$. Даже номер $00000$ — тоже счастливый!

Интересно, сколько счастливых номеров существует для заданной длины записи числа? Напишите программу, которая это количество вычислит.

Входные данные

Входной файл содержит единственное целое число $N$, $(1 \leq N \leq 64)$, $N$ — длина числа, для которой нужно вычислить количество счастливых номеров.

Выходные данные

Вывести одно число — количество счастливых номеров.

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
1	2	55
2	4	715
3	3	220

Программный код

#include "iostream"
using namespace std;

long long int factorial(int n){
    long long int a = 1;
    for (int i = (n + 9); i > n; i--) a = a * i;  // мы сократили, чтобы не пришлось делить огромные числа
    return a;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    long long int fact = 1;
    for (int i = 2; i <= 9; i++) fact = fact * i;
    cout << (factorial(n) / fact);

    return 0;
}

#include "iostream"

using namespace std;

long long int factorial(int n){

long long int a = 1;

for (int i = (n + 9); i > n; i--) a = a * i; // мы сократили, чтобы не пришлось делить огромные числа

return a;

}

int main()

{

int n;

cin >> n;

long long int fact = 1;

for (int i = 2; i <= 9; i++) fact = fact * i;

cout << (factorial(n) / fact);

return 0;

}

Решение

Для того, чтобы решить эту задачу, я начертил таблички (рис. 1.1) для всех вариантов $2$ значного числа и $1$ значного (рис. 1.2). Для $3$ значного аналогично, только рядов будет $3$. Из комбинаторики мы помним формулу: $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$, из которой мы получим: $(n + 9)! \over {9! \times n!}$. Потому-что из картинки мы видим что при 1 значном числе количество вариантов равно $10$. В коде я сразу сокращал на $n!$, чтобы не получались огромные числа.

рис 1.1

рис 1.2

Ссылки:
Задача на e-olymp
Код на OnlineGDB
Код на Ideone
Засчитанное решение на e-olymp

Related Images:

e-olymp 1327. Ладьи на шахматной доске

14/12/2019 by Эвелина Алексютенко

Задача

Ещё в детстве маленького Гарика заинтересовал вопрос: а сколькими способами на шахматной доске размером [latex]n \times n[/latex] можно расставить [latex] n [/latex] ладей так, чтобы они не били друг друга. Он очень долго решал эту задачку для каждого варианта, а когда решил — бросил шахматы.

А как быстро Вы управитесь с этой задачкой?

Входные данные

Размер шахматной доски — натуральное число, не превышающее [latex] 1000 [/latex].

Выходные данные

Выведите ответ, найденный Гариком.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
2	2
10	3628800
500	122013682599111006870123878542304692625357434280319284219241 358838584537315388199760549644750220328186301361647714820358 416337872207817720048078520515932928547790757193933060377296 085908627042917454788242491272634430567017327076946106280231 045264421887878946575477714986349436778103764427403382736539 747138647787849543848959553753799042324106127132698432774571 554630997720278101456108118837370953101635632443298702956389 662891165897476957208792692887128178007026517450776841071962 439039432253642260523494585012991857150124870696156814162535 905669342381300885624924689156412677565448188650659384795177 536089400574523894033579847636394490531306232374906644504882 466507594673586207463792518420045936969298102226397195259719 094521782333175693458150855233282076282002340262690789834245 171200620771464097945611612762914595123722991334016955236385 094288559201872743379517301458635757082835578015873543276888 868012039988238470215146760544540766353598417443048012893831 389688163948746965881750450692636533817505547812864000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
999	402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799 910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058 631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823 627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094 646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476 632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347 553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126 867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308 431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348 312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151 027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092 761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186 116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889 679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355 556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200 015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545 257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674 697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179 168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745 992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786 906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933 061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807 075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612 831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301 435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657 245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720 559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688 976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901 886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021 171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819 372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926 649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290 153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506 217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573 630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994 871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457 156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829 230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004 153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000

Программный код

#include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip>
using namespace std;
vector<int> multiply (const vector<int> &s, int b, int base) {
  vector<int> c;
  int carry = 0;
  for (int i = 0; i < s.size(); i++) {
    long long res = (long long)s[i] * b + carry;
    carry = res / 1000;
    c.push_back(res % base);    
  }
  if (carry > 0) { // если в разряде переноса все еще остались цифры
    c.push_back(carry);
  }
  return c;
}
int main() {
  int n;
  int base = 1000;
  cin >> n;
  vector<int> res;
  res.push_back(0);
  res.push_back(1);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    res = multiply(res, i + 1, base);
  }
  cout << res[res.size() - 1];
  for (int i = res.size() - 2; i >= 1; i--) {
    cout << setw(3) << setfill('0') << res[i];
  }
}

#include <iostream>

#include <vector>

#include <iomanip>

using namespace std;

vector<int> multiply (const vector<int> &s, int b, int base) {

vector<int> c;

int carry = 0;

for (int i = 0; i < s.size(); i++) {

long long res = (long long)s[i] * b + carry;

carry = res / 1000;

c.push_back(res % base);

}

if (carry > 0) { // если в разряде переноса все еще остались цифры

c.push_back(carry);

}

return c;

}

int main() {

int n;

int base = 1000;

cin >> n;

vector<int> res;

res.push_back(0);

res.push_back(1);

for (int i = 1; i < n; i++) {

res = multiply(res, i + 1, base);

}

cout << res[res.size() - 1];

for (int i = res.size() - 2; i >= 1; i--) {

cout << setw(3) << setfill('0') << res[i];

}

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

string multiplication (string x, int y) { 
    int carry = 0, temporary = 0;
    string answer = "";
    for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {
    temporary = int(x[i] - '0') * y + carry;
    carry = temporary / 10;
    answer = char(temporary % 10 + '0') + answer;
}
while (carry) {
    answer = char(carry % 10 + '0') + answer;
    carry /= 10;
}
return answer;
}
int main() {
    int n;
    string s = "1";
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
         s = multiplication(s, i);
    } 
    cout << s << endl;
}

#include <iostream>

#include <string>

using namespace std;

string multiplication (string x, int y) {

int carry = 0, temporary = 0;

string answer = "";

for (int i = x.size() - 1; i >= 0; i--) {

temporary = int(x[i] - '0') * y + carry;

carry = temporary / 10;

answer = char(temporary % 10 + '0') + answer;

}

while (carry) {

answer = char(carry % 10 + '0') + answer;

carry /= 10;

}

return answer;

}

int main() {

int n;

string s = "1";

cin >> n;

for (int i = 2; i <= n; i++) {

s = multiplication(s, i);

}

cout << s << endl;

}

Алгоритм решения

Алгоритм решения данной задачи заключается в том, что нужно вычислить [latex]n! = 1\times 2\times 3\times \cdots\times n [/latex] , используя длинную арифметику ( умножение длинного числа на короткое ).
Иллюстрация для восьми ладей:

В коде № 1 разбиваем вектор на ячейки по три цифры. Но, некоторые ячейки могут иметь менее чем три цифры. С учетом того, что перенос может состоять не из трех цифр, следует выводить результат так: cout << setw(3) << setfill('0') << res[i];.
В коде № 2 разбиваем строку посимвольно.

Детали реализации

Безусловно, для использования векторов и строк нам понадобятся соответствующие библиотеки: #include <vector> и #include <string>.
Для вывода данных в коде № 1 стоит подключить библиотеку #include <iomanip>.

Ссылки :
Задача на e-olymp
Код № 1 на ideone
Код № 2 на ideone
Засчитанное решение № 1
Засчитанное решение № 2

Related Images:

e-olimp 1658. Факториал

04/12/2019 by Елизавета Савицкая

Задача

Вычислите факториал числа.

Входные данные

Одно целое число [latex]n[/latex] ([latex] 0 \leqslant n \leqslant 20[/latex]).

Выходные данные

Выведите значение [latex]n! = 1 · 2 · 3 · … · n.[/latex]

Тесты

Входные данные	Выходные данные
3	6
0	1
20	2432902008176640000

Код № 1

#include <iostream>
using namespace std;
     
int main() {
    int n;
    long factorial = 1;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        factorial *= i;
    }
    cout << factorial;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

long factorial = 1;

cin >> n;

for(int i = 1; i <= n; i++) {

factorial *= i;

}

cout << factorial;

}

Решение № 1

Факториал натурального числа [latex]n[/latex] определяется как произведение всех натуральных чисел от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex] включительно.

Код № 2

#include <iostream>
using namespace std;

long factorial (int a) {
   if (a == 0)
      return 1;
   else
      return a*factorial(a - 1);
}

int main() {
   int a, n;
   cin >> n;
   cout << factorial(n);
   return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

long factorial (int a) {

if (a == 0)

return 1;

else

return a*factorial(a - 1);

}

int main() {

int a, n;

cin >> n;

cout << factorial(n);

return 0;

}

Решение № 2

Также факториал числа можно найти при помощи рекурсивной функции (функции, которая вызывает сама себя).

Ссылки

Условие задачи на E-Olymp
Код задачи № 1 на Ideone
Код задачи № 2 на Ideone

Related Images:

e-olymp 97. Числа Белла

23/05/2018 by Томас Пасенченко

Задача

Число Белла [latex]B_n[/latex] равно количеству разбиений множества из [latex]n[/latex] элементов на произвольное количество непересекающихся непустых подмножеств. Например, [latex]B_3 = 5[/latex], так как существует [latex]5[/latex] возможных разбиений множества [latex]\lbrace a, b, c\rbrace[/latex]: [latex]\lbrace\lbrace a\rbrace, \lbrace b\rbrace, \lbrace c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, b\rbrace, \lbrace c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, c\rbrace, \lbrace b\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a\rbrace, \lbrace b, c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, b, c\rbrace\rbrace[/latex]. Дополнительно считаем, что [latex]B_0 = 1[/latex].
Рассмотрим определитель [latex]D_n[/latex]:
$$D_n = \begin{vmatrix}
B_0& B_1& B_2&\ldots& B_n\\
B_1& B_2& B_3&\ldots& B_{n+1}\\
\ldots& \ldots& \ldots& \ldots& \ldots\\
B_n& B_{n+1}& B_{n+2}&\ldots& B_{2n}
\end{vmatrix}$$
Для заданного простого числа [latex]p[/latex] найти наибольшее целое [latex]k[/latex], для которого [latex]D_n[/latex] делится на [latex]p^k[/latex].

Входные данные

Каждая строка ввода содержит два целых числа [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] ( [latex]\;0\leq\; n,\;p \;\leq\; 10000[/latex] ). Известно, что [latex]p[/latex] – простое.

Выходные данные

Для каждой пары входных значений [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] в отдельной строке выведите наибольшее целое [latex]k[/latex], для которого [latex]D_n[/latex] делится на [latex]p^k[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
1 5 3 2 4 2 4 3 10000 3	0 2 5 2 24962375
18 2 465 1009 9998 9221 548 11	134 0 778 14412
1093 1093 1103 1723 3931 617 4868 6113 9534 71	1 0 10635 0 639989
617 17 42 11 0 5	11295 63 0

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    // Числа Белла
    int n, p;
    while (cin >> n >> p) {
        int k = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int fact = i;
            while (fact) {
                fact /= p;
                k += fact;
            }
        }
        cout << k << "\n";
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

// Числа Белла

int n, p;

while (cin >> n >> p) {

int k = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) {

int fact = i;

while (fact) {

fact /= p;

k += fact;

}

cout << k << "\n";

}

return 0;

}

Решение

Числа Белла обладают интересным свойством:
$$D_n = \begin{vmatrix}
B_0& B_1& B_2&\ldots& B_n\\
B_1& B_2& B_3&\ldots& B_{n+1}\\
\ldots& \ldots& \ldots& \ldots& \ldots\\
B_n& B_{n+1}& B_{n+2}&\ldots& B_{2n}
\end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n i! $$

Воспользуемся этим свойством для решения данной задачи. Найдём степень числа [latex]p[/latex] в разложении на простые множители. Для этого узнаем степень вхождения этого числа в каждый из факториалов. Суммой полученных значений и будет являться искомое число [latex]k[/latex].

Ссылки

Условия задачи на e-olymp
Код задачи на ideone
Число Белла на wikipedia

Related Images:

e-olymp 513. Проблема Николая

28/12/2017 by Данила Савчак

Задача

Николаю нужно доставить подарки для [latex]n[/latex] [latex](n ≤ 10^{18})[/latex] детей. Его интересует сколькими способами он может это сделать. Вам нужно дать ответ на этот простой вопрос. Так как это количество может быть очень большим, выведите результат по модулю [latex]m[/latex] [latex](m ≤ 2009)[/latex].

Входные данные

В одной строке заданы два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex].

Выходные данные

Вывести искомое количество способов.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
[latex]500[/latex] [latex]2001[/latex]	[latex]0[/latex]
[latex]4[/latex] [latex]5[/latex]	[latex]4[/latex]
[latex]4[/latex] [latex]7[/latex]	[latex]3[/latex]
[latex]15[/latex] [latex]213[/latex]	[latex]147[/latex]
[latex]10[/latex] [latex]3[/latex]	[latex]0[/latex]

Код программы

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, k = 1;
    cin >> n >> m;
    if ( n >= m) {
        cout << 0;
    }
    else {
        for ( int i = 2; i <= n; i++ ) {
            k = ( k * i ) % m;
        }
        cout << k; 
    }
    return 0; 
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n, m, k = 1;

cin >> n >> m;

if ( n >= m) {

cout << 0;

}

else {

for ( int i = 2; i <= n; i++ ) {

k = ( k * i ) % m;

}

cout << k;

}

return 0;

}

Решение задачи

Если [latex]m[/latex] является членом произведения [latex]n![/latex], то остаток от деления на [latex]m[/latex] равен [latex]0[/latex].В остальных случаях ищем [latex]n![/latex] с вычислением остатка от деления после каждого перемножения.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com.

Код решения на ideone.com.

Related Images:

D2655B. Cумма ряда с заданной точностью

15/10/2016 by Эммануил Прокопов

Задача
Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти его сумму с точностью до
[latex]\varepsilon [/latex], если [latex]\sum\limits _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ (2n-1)! } } [/latex]

Тесты

№	Входные данные	Выходные данные
	Точность	Кол-во взятых членов ряда	Значение суммы
1	1	2	1.1666666667
2	1е-5	5	1.1752011684
3	100	1	1
4	1e-10	7	1.1752011936

Код на C++

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;

double e = exp(1);

double bin_pow(double x, int n){
    if(n == 1) return x;
    if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;
    double b = bin_pow(x, n/2);
    return b*b;
}

double Rn(int n){
    double v = e/(2*n+1);
    return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);
}

int main() {
    double eps, sum = 0, last=0;
    int n = 0;
    cin >> eps;
    do{
        n++;
        if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);
        else last = 1;
        sum += last;
    } while(Rn(n) > eps);
    cout << fixed << setprecision(10) << "Количество взятых членов ряда: " << n << "\nЗначение суммы: " << sum;
    return 0;
}

#include <iostream>

#include <iomanip>

#include <cmath>

using namespace std;

double e = exp(1);

double bin_pow(double x, int n){

if(n == 1) return x;

if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;

double b = bin_pow(x, n/2);

return b*b;

}

double Rn(int n){

double v = e/(2*n+1);

return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);

}

int main() {

double eps, sum = 0, last=0;

int n = 0;

cin >> eps;

do{

n++;

if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);

else last = 1;

sum += last;

} while(Rn(n) > eps);

cout << fixed << setprecision(10) << "Количество взятых членов ряда: " << n << "\nЗначение суммы: " << sum;

return 0;

}

Код на Java

import java.util.*;

class Main
{
    static double e = Math.exp(1);
    
    static double bin_pow(double x, int n){
        if(n == 1) return x;
        if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;
        double b = bin_pow(x, n/2);
        return b*b;
    }

    static double Rn(int n){
        double v = e/(2*n+1);
        return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);
    }
    
    public static void main (String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        double eps, sum = 0, last=0;
        int n = 0;
        eps = in.nextDouble();
        do{
            n++;
            if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);
            else last = 1;
            sum += last;
        } while(Rn(n) > eps);
        System.out.print("Количество взятых членов ряда: " + n + "\nЗначение суммы: " + String.format("%.10f",sum));
    }
}

import java.util.*;

class Main

{

static double e = Math.exp(1);

static double bin_pow(double x, int n){

if(n == 1) return x;

if(n%2 == 1) return bin_pow(x, n-1)*x;

double b = bin_pow(x, n/2);

return b*b;

}

static double Rn(int n){

double v = e/(2*n+1);

return bin_pow(v, 2*n+1)/(1-v*v);

}

public static void main (String[] args)

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double eps, sum = 0, last=0;

int n = 0;

eps = in.nextDouble();

do{

n++;

if(n > 1) last /= (2*n-2)*(2*n-1);

else last = 1;

sum += last;

} while(Rn(n) > eps);

System.out.print("Количество взятых членов ряда: " + n + "\nЗначение суммы: " + String.format("%.10f",sum));

}

Решение
Очевидно, ряд является положительным, и общий член ряда стремится к нулю. Ряд сходится по признаку Д’аламбера:
[latex] \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{ a_{n+1} }{a_{n}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{ \big(2n-1\big)! }{ \big(2n+1\big)! } = \lim\limits_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2n \big(2n+1\big) } =0 < 1[/latex].
Оценим остаток ряда, исходя из того, что [latex]k! > \left( \frac{k}{e} \right) ^{k} , \big(k=1,2,\dots\big) [/latex]:
[latex]R_{N}<\sum\limits_{n=N+1}^\infty \left(\frac{e}{2n-1}\right)^{2n-1}\leq\sum\limits_{n=N+1}^\infty \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2n-1}=\left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2N+1}\sum\limits_{i=0}^\infty \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2i}[/latex] Поскольку при [latex]N\geq1[/latex] [latex]\frac{e}{2N+1}<1[/latex]:
[latex]R_{N} < \left(\frac{e}{2N+1}\right)^{2N+1}\frac{1}{1-\left(\frac{e}{2N+1}\right)^2}[/latex]

В переменной sum хранится текущее значение суммы ряда, в last — последний рассмотренный член ряда. В начале работы программы вводится требуемая точность eps. Можно заметить, что для получения [latex]n[/latex]-го члена ряда достаточно разделить предыдущий на [latex]\left(2n-2\right)\cdot\left(2n-1\right)[/latex], однако необходимо отдельно рассмотреть случай, когда [latex]n = 1[/latex]. В цикле увеличиваем [latex]n[/latex], находим значение следующего члена ряда и прибавляем к sum, пока остаток ряда не станет достаточно маленьким. Оцениваем остаток ряда при помощи функции Rn(int n). Во время её работы может потребоваться возведение числа в большую степень, делаем это по алгоритму бинарного возведения в степень.

Ссылка на код на ideone.com: здесь (C++) и здесь (Java).
Условие задачи (стр. 259)

Related Images:

А137е

28/11/2014 by Осецимський Анатолій Вадимович

Даны натуральные [latex] n[/latex], действительные [latex] a_{1},\ldots,a_{n}[/latex].

Вывести: [latex] a_1+1!, a_2 +2!, …, a_n+n![/latex].

	n	a1	a2	a3	a4
Input:	4	1	2	3	4	Output:	2.00	4.00	9.00	28.00
Input:	4	0.1	0.2	0.3	0.4	Output:	1.10	2.20	6.30	24.40

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    double a,fact=1.0;
    scanf("%d",&n);//читаем n
    for(int k=1;k<=n;k++)
    {
        scanf("%lf",&a);//читаем из потока k-ый элемент 
        fact*=k;//увеличиваем фаториал
        printf("%.2lf ",(a+fact));//выводим сумму цифры из потока и факториала
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int n;

double a,fact=1.0;

scanf("%d",&n);//читаем n

for(int k=1;k<=n;k++)

{

scanf("%lf",&a);//читаем из потока k-ый элемент

fact*=k;//увеличиваем фаториал

printf("%.2lf ",(a+fact));//выводим сумму цифры из потока и факториала

}

return 0;

}

Описываем переменную факториала и переменную из потока типа [latex]double[/latex]. Запускаем цикл [latex]for[/latex], от [latex]1[/latex] до [latex]n[/latex]. Дальше в теле цикла описываем чтение элементов, увеличение факториала и вывод суммы цифр из потока и факториала.

Ссылка на программу.

Related Images:

А99

26/11/2014 by Щебетовський Дмитро Геннадійович

Задача: Пусть [latex]a_{1}=4[/latex], b1=v, an=2bk-1+ak-1. bk=2a^2k-1+bk-1, k=2,3…

Даны действительные u, v, натуральное n.

Найти Е от n при k=1 (ak*bk)/(k+1)!

Тесты:

N	U	V	Результат	Вывод
2	4	3	64	тест пройден
1	4	2	4	тест пройден
2	1	2	4	тест пройден
0	3	1	1	тест пройден
1	2	3	3	тест пройден

Код:

    #include <iostream>
    using namespace std;
     
    long int fact(int M)
    {
    	if (M == 0) //
    	return 1; // возвращаем факториал от нуля, это 1 =)
    	else // Во всех остальных случаях
    	return M * fact(M - 1); // делаем рекурсию.
    }
     
    int main()
    {
    	int n, u, v, a, b, t, sum;
    	cout << "Введите n: ";
    	cin >> n;
    	cout << "Введите u: ";
    	cin >> u;
    	cout << "Введите v: ";
    	cin >> v;
    	int k; // счетчик цикла
    	a = u;
    	b = v;
    	k = 1;
    	sum = a * b / fact(k + 1);
    	for (k = 2; k <= n; k++) // цикл
    	{
    		t = a;
    		a = 2*b + a;
    		b = 2 * t * t + b;
    		sum = sum + (a * b / fact(k + 1));
    	}
    	cout << "Сумма ряда равна: " << sum << endl;
    return 0;
    }

#include <iostream>

using namespace std;

long int fact(int M)

{

if (M == 0) //

return 1; // возвращаем факториал от нуля, это 1 =)

else // Во всех остальных случаях

return M * fact(M - 1); // делаем рекурсию.

}

int main()

{

int n, u, v, a, b, t, sum;

cout << "Введите n: ";

cin >> n;

cout << "Введите u: ";

cin >> u;

cout << "Введите v: ";

cin >> v;

int k; // счетчик цикла

a = u;

b = v;

k = 1;

sum = a * b / fact(k + 1);

for (k = 2; k <= n; k++) // цикл

{

t = a;

a = 2*b + a;

b = 2 * t * t + b;

sum = sum + (a * b / fact(k + 1));

}

cout << "Сумма ряда равна: " << sum << endl;

return 0;

}

Решение:
if (M == 0) // массив
return 1; // возвращаем факториал от нуля, это 1
else // Во всех остальных случаях
return M * fact(M — 1); // делаем рекурсию.

Пишем условия и формулы:

sum = a * b / fact(k + 1);
for (k = 2; k <= n; k++) // цикл

Цикл:
t = a;
a = 2*b + a;
b = 2 * t * t + b;
sum = sum + (a * b / fact(k + 1));

код задачи в ideone: http://ideone.com/1fNmWc

Related Images:

А136з

19/11/2014 by Фесенко Катерина Володимирівна

Задача Вычислить: [latex]-\frac{a_1}{1!}+\frac{a_2}{2!}-…+\frac{(-1)^na_n}{n!}[/latex]

Тест

n	последовательность	sum(wolframalpha)
2	0 0	0
2	5 8	-1
3	5 8 12	-3
4	1 2 3 24	1
5	0 0 0 2 3	0, 058333

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	int a[n];
	for (int i=0; i<n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	double sum=0;
	int f=1;
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		f*=i;
		double sign = (i%2==0) ? 1 : -1;
		sum+=(sign*a[i-1])/f;
	}
	cout << sum << endl;
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

int a[n];

for (int i=0; i<n; i++) {

cin >> a[i];

}

double sum=0;

int f=1;

for (int i=1; i<=n; i++) {

f*=i;

double sign = (i%2==0) ? 1 : -1;

sum+=(sign*a[i-1])/f;

}

cout << sum << endl;

return 0;

}

Ссылка на программу:http://ideone.com/F0UyqY

Решение:
В этой задаче главное правильно расставить знаки, так как это повлияет на результат.Поэтому мы заводим переменную [latex]sign[/latex], которая будет следить за знаком. Далее проверяем чётность, если элемент делиться на 2 без остатка, то он получает знак [latex]+[/latex], в противном случае [latex]-[/latex]:

double sign = (i%2==0) ? 1 : -1;

16	double sign = (i%2==0) ? 1 : -1;

Описываем факториал:

for (int i=1; i<=n; i++) {
		f*=i;

for (int i=1; i<=n; i++) {

f*=i;

Выполняем суммирование и делим на факториал:

sum+=(sign*a[i-1])/f;

17	sum+=(sign*a[i-1])/f;

Вводим в [latex]input[/latex] количество элементов ([latex]n[/latex]) и сами элементы.Получаем ответ.

Related Images:

Ю3.37

12/11/2014 by Божик Семен

Задача. Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]e[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex](слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности.

[latex]\frac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2} =x+\frac {{x}^{3}}{3!}+\frac {{x}^{5}}{5!} +…+\frac {{x}^{2n-1}}{(2n-1)!} +…[/latex]

x	e	результат	Комментарий
5	0.01	0.002312	Работает
3.14	0.999	0.686728	Работает
4	0	Эквивалентно	Работает

#include <iostream>
#include <cmath>

int main() {
	double dif, le, pr = 0, u, x, e; 
	int n = 0;
	scanf("%lg %lg", &x, &e);
	u = x; // 1 шаг цикла таким образом включит первое слагаемое
	le = (pow (M_E, x) - pow (M_E, -x)) / 2; // вычисляем левую часть
	if (e == 0){ // частный случай
		printf("Эквивалентно");
	}
	else{
		do{ // вычисляем правую часть
			n ++;
			pr += u;
		 	u *= x * x / ((2 * n + 1) * 2 * n); // считаю следущее слагаемое
			dif = le - pr;
		}
		while(dif > fabs(e));
		printf("Разница = %lf", dif); // вывод
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <cmath>

int main() {

double dif, le, pr = 0, u, x, e;

int n = 0;

scanf("%lg %lg", &x, &e);

u = x; // 1 шаг цикла таким образом включит первое слагаемое

le = (pow (M_E, x) - pow (M_E, -x)) / 2; // вычисляем левую часть

if (e == 0){ // частный случай

printf("Эквивалентно");

}

else{

do{ // вычисляем правую часть

n ++;

pr += u;

u *= x * x / ((2 * n + 1) * 2 * n); // считаю следущее слагаемое

dif = le - pr;

}

while(dif > fabs(e));

printf("Разница = %lf", dif); // вывод

}

return 0;

}

Всё просто. Считаем левую часть, считает правую часть циклом. В том же цикле ждём момента когда [latex]le-pr[/latex] будет меньше или равно заданной погрешности.

ideone

Вывод: Задача решена.

Related Images:

А36

04/11/2014 by Гусак Дмитро Євгенович

Задача: Даны действительные числа [latex]a[/latex], [latex]b[/latex], [latex]c[/latex]. Проверить, выполняются ли неравенства [latex]a<b<c[/latex].

Тесты:

Ввод			Вывод	Результат
a	b	c		неравенство не выполнено
2	1	3	b<=a<c: нер-во a<b<c не выполняется	неравенство не выполнено
1	3	2	a<=c<=b: нер-во a<b<c не выполняется	неравенство не выполнено
3	1	2	b<=c<=a: нер-во a<b<c не выполняется	неравенство не выполнено
3	2	1	c<=b<=a: нер-во a<b<c не выполняется	неравенство не выполнено
2	3	1	c<=a<b: нер-во a<b<c не выполняется	неравенство не выполнено
1	2	3	нер-во a<b<c справедливо	неравенство выполнено

Код программы:

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
	double a, b, c;
	printf("введите a: \n");
	scanf("%lf", &a);
	printf("введите b: \n");
	scanf("%lf", &b);
	printf("введите c: \n");
	scanf("%lf", &c);
	if (a >= b && a < c)
	{
		printf("b<=a<c: неравенство a<b<c не выполняется \n");
	}
	else if (a < b && a <= c && b >= c)
	{
		printf("a<=c<=b: неравенство a<b<c не выполняется \n");
	}
	else if (a >= b && a >= c && b < c)
	{
		printf("b<=c<=a: неравенство a<b<c не выполняется \n");
	}
	else if (a >= b && a >= c && b >= c)
	{
		printf("c<=b<=a: неравенство a<b<c не выполняется \n");
	}
	else if (a < b && a >= c && b > c)
	{
		printf("c<=a<b: неравенство a<b<c не выполняется \n");
	}
	else
	{
		printf("неравенство a<b<c справедливо \n");
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double a, b, c;

printf("введите a: \n");

scanf("%lf", &a);

printf("введите b: \n");

scanf("%lf", &b);

printf("введите c: \n");

scanf("%lf", &c);

if (a >= b && a < c)

{

printf("b<=a<c: неравенство a<b<c не выполняется \n");

}

else if (a < b && a <= c && b >= c)

{

printf("a<=c<=b: неравенство a<b<c не выполняется \n");

}

else if (a >= b && a >= c && b < c)

{

printf("b<=c<=a: неравенство a<b<c не выполняется \n");

}

else if (a >= b && a >= c && b >= c)

{

printf("c<=b<=a: неравенство a<b<c не выполняется \n");

}

else if (a < b && a >= c && b > c)

{

printf("c<=a<b: неравенство a<b<c не выполняется \n");

}

else

{

printf("неравенство a<b<c справедливо \n");

}

return 0;

}

Отчет:

После ввода чисел a, b, c программа проверит их соотношения. Ввиду наличия трех сравниваемых чисел имеем 3! = 6 возможных комбинаций чисел, и только одна из них соответствует требованию. Если неравенство [latex]a<b<c[/latex] имеет место быть, то программа сообщит о его выполнении. В противном же случае консоль выдаст ответ о не выполненном неравенстве, предварительно сообщив причину.

Копия кода на сайте Ideone: ideone.com/aYmMJ2

Related Images:

А116е

22/10/2014 by Осецимський Анатолій Вадимович

Вычислить [latex] \prod_{i=1}^{n}{\frac{(1-x)^{i+1}+1}{((i-1)!+1)^2}} [/latex]

Числа [latex] n [/latex] и [latex] x [/latex] вводятся с клавиатуры.

n	x	Ответ
1	3	1.25
2	3	-2.1875
3	3	-4.13194

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
	double pro = 1;// искомое произведение
	int n,x;
	cin >> n >> x;//Вводим числа
	double v = 1-x,u = 1;//v-это у нас 1-х, которое возводится в степень, а u-это факториал
        v*=1-x;
        pro*=(v+1)/((1+1)*(1+1));
	for(int i = 2;i <= n;i++)
	{
		v*=(1-x);u*=i-1;
		pro*=(v+1)/((u+1)*(u+1));
	}
	cout << pro;
	return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

double pro = 1;// искомое произведение

int n,x;

cin >> n >> x;//Вводим числа

double v = 1-x,u = 1;//v-это у нас 1-х, которое возводится в степень, а u-это факториал

v*=1-x;

pro*=(v+1)/((1+1)*(1+1));

for(int i = 2;i <= n;i++)

{

v*=(1-x);u*=i-1;

pro*=(v+1)/((u+1)*(u+1));

}

cout << pro;

return 0;

}

Вводим n и x типа int. Инициализируем переменные v=1-x и u=1 типа double. Присваем значение переменной pro, при n=1. Запускаем цикл от 2 до n в котором увеличиваем факториал u*=i-1 и степень v*=1-x. Так цикл пройдет n раз и в конце выдаст итоговое произведение cout<< pro.

Link

Java

/* package whatever; // don't place package name! */

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */
class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		double pro = 1;
		int n = in.nextInt(), x = in.nextInt();
		double v = 1 - x, u = 1;
		v*=1-x;
        pro*=(v+1)/((1+1)*(1+1));
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			v *= (1-x);u *= i - 1; pro *= (v+1)/((u+1)*(u+1));
		}
		System.out.println((double)pro);
	}
}

/* package whatever; // don't place package name! */

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

double pro = 1;

int n = in.nextInt(), x = in.nextInt();

double v = 1 - x, u = 1;

v*=1-x;

pro*=(v+1)/((1+1)*(1+1));

for(int i = 2; i <= n; i++){

v *= (1-x);u *= i - 1; pro *= (v+1)/((u+1)*(u+1));

}

System.out.println((double)pro);

}

Related Images:

А137е(а)

22/10/2014 by Осецимський Анатолій Вадимович

Даны натуральные [latex] n[/latex], действительные [latex] a_{1}…a_{n}[/latex].

Вывести: [latex] a_1+1!, a_2 +2!, …, a_n+n![/latex].

Input : 1	2	3	4	Output: 2.00	4.00	9.00	28.00
Input : 0.1	0.2	0.3	0.4	Output: 1.10	2.20	6.30	24.40

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int i=1;
    double a,fact=1.0;
    while(scanf("%lf",&a)!=EOF)//читаем поток
    {
        fact*=i;//увеличиваем факториал
        printf("%.2lf ",(a+fact));//выводим сумму цифры из потока и факториала
        i++;//увеличиваем i для увеличения факториала каждый раз при  проходе цикла
    }
    return 0;
}

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {

int i=1;

double a,fact=1.0;

while(scanf("%lf",&a)!=EOF)//читаем поток

{

fact*=i;//увеличиваем факториал

printf("%.2lf ",(a+fact));//выводим сумму цифры из потока и факториала

i++;//увеличиваем i для увеличения факториала каждый раз при проходе цикла

}

return 0;

}

Описываем переменную факториала и переменную из потока типа [latex]double[/latex]. Запускаем цикл [latex]while[/latex], у которого в условии ставим:

scanf("%lf",&a)!=EOF

1	scanf("%lf",&a)!=EOF

(Работать, пока файл не закончится (конец потока)). Дальше в теле цикла описываем увеличение факториала и выводим сумму цифр из потока и факториала, в конце цикла увеличиваем [latex]i[/latex] для увеличения факториала.

Java

/* package whatever; // don't place package name! */

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */
class Ideone
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		long i = 1,fact = 1;
		while(in.hasNext()){
			double r = in.nextDouble();
			fact *= i;i++;
			System.out.print(r+fact + " ");
		}
	}
}

/* package whatever; // don't place package name! */

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

/* Name of the class has to be "Main" only if the class is public. */

class Ideone

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

Scanner in = new Scanner(System.in);

long i = 1,fact = 1;

while(in.hasNext()){

double r = in.nextDouble();

fact *= i;i++;

System.out.print(r+fact + " ");

}

Ссылка на программу.

Related Images:

Ю3.36

21/10/2014 by Байков Дмитро

Задача

Численно убедиться в справедливости равенства, для чего для заданного значения аргумента [latex]x[/latex] вычислить левую его часть и разложение, стоящее в правой части, с заданной погрешностью [latex]\varepsilon[/latex]. Испытать разложение на сходимость при разных значениях аргумента, оценить скорость сходимости, для чего вывести число итераций [latex]n[/latex] (слагаемых или сомножителей), необходимых для достижения заданной точности.

[latex]\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 } =1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +\cdots+\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! } +\cdots[/latex]

Тесты

x	[latex]\varepsilon[/latex]	Левая часть	Правая часть	n	Разность	Комментарий
3	0.00005	10.0676619958	10.0676598764	8	0.0000021194	Пройден
11.33	0.0000314	41641.5114284855	41641.5114045419	19	0.0000239436	Пройден
6	0	Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой 201.7156361225 (n=бесконечность)				Не пройден

Код программы на C++:

#include <iostream>
#include <math.h>
int main() 
{
	double E, x, dife, left, right = 0.0, u = 1.0 ; int n = 0;//Описание переменных для хранения входных данных.//
	scanf("%lf %lf", &x, &E); //Чтение из стандартного потока ввода.// 
	left = ( pow (M_E , x) + pow (M_E , -x) ) / 2; //Расчет левой части равенства.
	if (E != 0) //Критерий, при котором программа может быть выполнена//
	{	
		do //Цикл программы (для подсчета правой части равенства).
		{	
			n ++;
			right += u ;
		 	u *=  x * x / ( (2 * n - 1) * 2 * n );
			dife = left - right; //Вычисление разности значения левой части и правой части//
		}
		while(dife > fabs(E)); //Конечный критерий, при котором цикл останавливается//
		//Вывод окончательных результатов на экран//
		printf("Левая часть равна = %.10lf \nПравая часть равна = %.10lf \n",left,right);
		printf("После n=%d исследуемое выражение отличается от левой части менее, чем на %.10lf, ",n,fabs(E)); 
		printf("а именно на %.10lf \n",fabs(dife));
	}
	else
	{	//Вывод оповещения о неправильном вводе данных (при несоответствии начальному критерию).//
		if (fabs(E) == 0)
		{
			printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой %.10lf (n=бесконечность)",left);
		}
	}
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

int main()

{

double E, x, dife, left, right = 0.0, u = 1.0 ; int n = 0;//Описание переменных для хранения входных данных.//

scanf("%lf %lf", &x, &E); //Чтение из стандартного потока ввода.//

left = ( pow (M_E , x) + pow (M_E , -x) ) / 2; //Расчет левой части равенства.

if (E != 0) //Критерий, при котором программа может быть выполнена//

{

do //Цикл программы (для подсчета правой части равенства).

{

n ++;

right += u ;

u *= x * x / ( (2 * n - 1) * 2 * n );

dife = left - right; //Вычисление разности значения левой части и правой части//

}

while(dife > fabs(E)); //Конечный критерий, при котором цикл останавливается//

//Вывод окончательных результатов на экран//

printf("Левая часть равна = %.10lf \nПравая часть равна = %.10lf \n",left,right);

printf("После n=%d исследуемое выражение отличается от левой части менее, чем на %.10lf, ",n,fabs(E));

printf("а именно на %.10lf \n",fabs(dife));

}

else

{ //Вывод оповещения о неправильном вводе данных (при несоответствии начальному критерию).//

if (fabs(E) == 0)

{

printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой %.10lf (n=бесконечность)",left);

}

return 0;

}

В данной задаче необходимо было доказать равенство при заданном [latex]x[/latex] и [latex]\varepsilon [/latex].

Для этого вначале высчитывалось значение левой части [latex]\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ 2 } [/latex] при заданном [latex]x[/latex], а далее, в цикле, высчитывалось значение правой части [latex]\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! } +\frac { { x }^{ 4 } }{ 4! } +…+\frac { { x }^{ 2n } }{ (2n)! } +…[/latex]. В цикле программа находила последующий элемент последовательности, стоящей в правой части равенства, каждый раз умножая предыдущий элемент на [latex]\frac { { x }^{ 2 } }{ (2n-1)*(2n) } [/latex] до тех пор пока разность между левой и правой частью равенства [latex]dife=left-right[/latex] не стала меньше заданной погрешности, заданной по модулю [latex]dife < \left|\varepsilon \right|[/latex]. После завершения цикла программа запоминает последнее значение [latex]n[/latex] и после этого выводит его на экран.

Код программы на Java

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Equation
{
	public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception
	{
		//Описание переменных для хранения входных данных.//
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		double eps = in.nextDouble();
		double x = in.nextDouble();
		double difference, right = 0.0, tmp = 1.0;
		double left = (Math.pow(Math.E, x) + Math.pow(Math.E , -x)) / 2; //Расчет левой части равенства.
		int n = 0;
		if (eps != 0){ //Критерий, при котором программа может быть выполнена//	
			do{ //Цикл программы (для подсчета правой части равенства).
				n ++;
				right += tmp ;
			 	tmp *=  x * x / ((2 * n - 1) * 2 * n);
				difference = left - right; //Вычисление разности значения левой части и правой части//
			}
			while(Math.abs(difference) > eps); //Конечный критерий, при котором цикл останавливается//
			//Вывод окончательных результатов на экран//
			System.out.printf("Левая часть равна = " + left + "\nПравая часть равна = " + right + " \n");
			System.out.printf("После n=" + n + " исследуемое выражение отличается от левой части менее, чем на " + Math.abs(eps) + ", а именно на " + Math.abs(difference)); 
		}
		else{	//Вывод оповещения о неправильном вводе данных (при несоответствии начальному критерию).//
			if (Math.abs(eps) == 0)
				System.out.printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой" + left + "(n=infinity)");
		}
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Equation

{

public static void main (String[] args) throws java.lang.Exception

{

//Описание переменных для хранения входных данных.//

Scanner in = new Scanner(System.in);

double eps = in.nextDouble();

double x = in.nextDouble();

double difference, right = 0.0, tmp = 1.0;

double left = (Math.pow(Math.E, x) + Math.pow(Math.E , -x)) / 2; //Расчет левой части равенства.

int n = 0;

if (eps != 0){ //Критерий, при котором программа может быть выполнена//

do{ //Цикл программы (для подсчета правой части равенства).

n ++;

right += tmp ;

tmp *= x * x / ((2 * n - 1) * 2 * n);

difference = left - right; //Вычисление разности значения левой части и правой части//

}

while(Math.abs(difference) > eps); //Конечный критерий, при котором цикл останавливается//

//Вывод окончательных результатов на экран//

System.out.printf("Левая часть равна = " + left + "\nПравая часть равна = " + right + " \n");

System.out.printf("После n=" + n + " исследуемое выражение отличается от левой части менее, чем на " + Math.abs(eps) + ", а именно на " + Math.abs(difference));

}

else{ //Вывод оповещения о неправильном вводе данных (при несоответствии начальному критерию).//

if (Math.abs(eps) == 0)

System.out.printf("Погрешность равна 0, тогда правая часть стремится к левой" + left + "(n=infinity)");

}

Related Images:

А114е

10/10/2014 by Фесенко Катерина Володимирівна

Задача. Вычислить [latex]\prod_{i=1}^{10}{(2+\frac{1}{i!})}.[/latex]

По условию [latex]i[/latex] у нас изменяется от [1; 10], но, чтобы полностью убедиться, что программа правильно работает, изменим интервал, на котором изменяется[latex]i[/latex], к примеру [1; n].

Тест

i	f	p (wolframalpha)
1	1	3
2	2	7.5
3	6	16.25
4	24	33.17708
5	120	66.630635
6	720	133.3538125486111
7	5040	266.7340841820129
8	40320	533.4747839927034
9	362880	1066.951038098899
10	3628800	2133.902370220902

Код программы на языке С++ :

#include <iostream>
#include <math.h>
 
int main() {
	double  i, f = 1, p= 1;
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
		f = f * i;
		p *= ( 1 / f  + 2);
	}
	printf("%f ", p);
	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

int main() {

double i, f = 1, p= 1;

int n;

scanf("%d",&n);

for(int i = 1; i <= n; i++)

{

f = f * i;

p *= ( 1 / f + 2);

}

printf("%f ", p);

return 0;

}

Ссылка на код программы: http://ideone.com/DEEFJd
Решение задачи сводится к нахождению произведения [latex]p[/latex]. Присваиваем [latex]p = 1[/latex], [latex]f = 1[/latex]. Далее фиксируем значение [latex]i[/latex]:

for(int i = 1; i <= n; i++)

8	for(int i = 1; i <= n; i++)

Анализируем, [latex]f [/latex] увеличивается в зависимости от [latex]i[/latex], следовательно:

f = f * i;

10	f = f * i;

Следующим шагом будет вычисление искомого произведения — каждый последующий член вычисляем и умножаем на предыдущий:

p *= ( 1 / f  + 2);

11	p *= ( 1 / f + 2);

Получаем ответ.

Код программы на языке Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;
 
class Ideone
{
	public static void main (String[] args) {
		double f = 1;
		double p = 1;
		Scanner in=new Scanner(System.in);
		int n = in.nextInt();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{ 
		f = f * i;
		p *= ( 1 / f  + 2);
	}
 System.out.println(p);
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args) {

double f = 1;

double p = 1;

Scanner in=new Scanner(System.in);

int n = in.nextInt();

for(int i = 1; i <= n; i++)

{

f = f * i;

p *= ( 1 / f + 2);

}

System.out.println(p);

}

Ссылка на программу: http://ideone.com/JzB87V

Related Images:

А116 (б)

28/09/2014 by Нарусевич Никита Мирославович

Даны натуральное число [latex]n[/latex], действительное число [latex]x[/latex]. Вычислить: [latex]\sum_{i=1}^{n}{(\frac{1}{i!}+\sqrt{|x|})}[/latex];

n	x	Ответ
2	-4	5.5
3	4	7.6666
1	4	3

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
int n;
cin >> n;
double x, s=0, f=1, b;
cin >> x;
x=sqrt(fabs(x));
for(int i=1; i<=n; i++){
	f=f*i;
	b=1/f;
	s+=b;
}
cout << s+n*x;

	return 0;
}

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n;

double x, s=0, f=1, b;

cin >> x;

x=sqrt(fabs(x));

for(int i=1; i<=n; i++){

f=f*i;

b=1/f;

s+=b;

}

cout << s+n*x;

return 0;

}

Для решения этой задачи воспользуемся циклом for. Для начала запишем квадрат модуля числа x. Далее создадим цикл для решения этой задачи. Вычислим сначала сумму факториалов, а вне цикла добавим к ней квадрат модуля x, умноженный на n.

Related Images:

А114в

25/09/2014 by Сорокина Полина

Задача: Вычислить [latex]\sum_{i=1}^{10}{\frac{1}{i!}}[/latex].

Ответ

1.718282

C++:

#include <stdio.h>
 
int main(void) {
	double a=1, b=0;
	for (int i=1; i<=10; i++)
	{
		a=a/i;
		b=b+a;
	}
	printf("Сумма элементов равна %lf\n", b);
	return 0;
}

#include <stdio.h>

int main(void) {

double a=1, b=0;

for (int i=1; i<=10; i++)

{

a=a/i;

b=b+a;

}

printf("Сумма элементов равна %lf\n", b);

return 0;

}

Java:

import java.util.*;
import java.lang.*;
import java.io.*;

class Ideone
{
	public static void main (String[] args)
	{
		double a=1, b=0;
		for (int i=1; i<=10; i++){
			a=a/i;
			b=b+a;
		}
		System.out.println("Сумма элементов равна "+b);
	}
}

import java.util.*;

import java.lang.*;

import java.io.*;

class Ideone

{

public static void main (String[] args)

{

double a=1, b=0;

for (int i=1; i<=10; i++){

a=a/i;

b=b+a;

}

System.out.println("Сумма элементов равна "+b);

}

Для переменных [latex]a, b[/latex] я использовала тип double, так как они они используются для вычислений и являются вещественными числами. Для переменной [latex]i[/latex] — тип int, так как [latex]i[/latex] — это целые числа от 1 до 10.

Чтобы решить задачу, воспользуемся циклом for, который работает при [latex]1\leq i\leq 10[/latex] и каждый раз прибавляет к [latex]i[/latex] единицу. Переменную [latex]i[/latex] я объявила в цикле, так как вне цикла она не нужна.

Сначала найдём [latex]a[/latex] — элемент суммы, который зависит от выбранного [latex]i[/latex]. После сложим [latex]a[/latex] и переменную [latex]b[/latex], которая обозначает сумму предыдущих элементов, a результат запишем снова в переменную [latex]b[/latex].

Когда цикл дойдёт до 11, его условие перестанет выполняться и напечатается последнее значение, присвоенное переменной [latex]d[/latex].

Эта задача на Ideone:
C++
Java